चरम बिंदु

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हल्के नीले रंग में एक उत्तल सेट, और इसके चरम बिंदु लाल रंग में।

गणित में, उत्तल सेट का एक चरम बिंदु $S$ एक वास्तविक संख्या या जटिल संख्या में सदिश स्थान एक बिंदु होता है $S$ के दो बिन्दुओं को मिलाने वाली किसी खुली रेखाखण्ड में स्थित नहीं है $S.$ रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं में, एक चरम बिंदु को वर्टेक्स या कॉर्नर पॉइंट भी कहा जाता है $S.$

परिभाषा

पूरे समय यह माना जाता है $X$ एक वास्तविक संख्या या जटिल संख्या सदिश स्थान है।

किसी के लिए $p,x,y\in X,$ कहते हैं कि $p$ lies between $x$ और $y$ अगर $x\neq y$ और वहाँ एक मौजूद है $0<t<1$ ऐसा है कि $p=tx+(1-t)y.$ अगर $K$ का उपसमुच्चय है $X$ और $p\in K,$ तब $p$ एक कहा जाता हैextreme point का $K$ अगर यह किन्हीं दो के बीच नहीं है distinct के अंक $K.$ यानी अगर होता है not अस्तित्व $x,y\in K$ और $0<t<1$ ऐसा है कि $x\neq y$ और $p=tx+(1-t)y.$ के सभी चरम बिंदुओं का समुच्चय $K$ द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {extreme} (K).$ सामान्यीकरण

अगर $S$ सदिश समष्टि का एक उपसमुच्चय है फिर एक रेखीय उप-किस्म (अर्थात, एक सजातीय उप-वर्ग) $A$ सदिश समष्टि का भाग कहलाता है support variety अगर $A$ की बैठक $S$ (वह है, $A\cap S$ खाली नहीं है) और हर खुला खंड $I\subseteq S$ जिसका आंतरिक भाग मिलता है $A$ अनिवार्य रूप से का एक उपसमुच्चय है $A.$ एक 0-आयामी समर्थन विविधता को चरम बिंदु कहा जाता है $S.$

लक्षण वर्णन

midpoint दो तत्वों का $x$ और $y$ सदिश स्थान में सदिश है ${\tfrac {1}{2}}(x+y).$ किसी भी तत्व के लिए $x$ और $y$ वेक्टर अंतरिक्ष में, सेट $[x,y]=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}$ कहा जाता हैclosed line segment याclosed interval बीच में $x$ और $y.$ open line segment याopen interval बीच में $x$ और $y$ है $(x,x)=\varnothing$ कब $x=y$ जबकि यह है $(x,y)=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}$ कब $x\neq y.$ बिन्दु $x$ और $y$ कहलाते हैंendpoints इन अंतरालों में से। एक अंतराल कहा जाता हैnon−degenerate interval या एproper interval यदि इसके अंतिम बिंदु अलग हैं।midpoint of an interval इसके समापन बिंदुओं का मध्य बिंदु है।

बंद अंतराल $[x,y]$ के उत्तल पतवार के बराबर है $(x,y)$ अगर और केवल अगर) $x\neq y.$ तो यदि $K$ उत्तल है और $x,y\in K,$ तब $[x,y]\subseteq K.$ अगर $K$ का एक अरिक्त उपसमुच्चय है $X$ और $F$ का एक अरिक्त उपसमुच्चय है $K,$ तब $F$ ए कहा जाता हैface का $K$ अगर जब भी एक बिंदु $p\in F$ के दो बिंदुओं के बीच स्थित है $K,$ तो वे दो बिंदु अनिवार्य रूप से संबंधित हैं $F.$

Theorem — Let $K$ be a non-empty convex subset of a vector space $X$ and let $p\in K.$ Then the following statements are equivalent:

1. $p$ is an extreme point of $K.$
2. $K\setminus \{p\}$ is convex.
3. $p$ is not the midpoint of a non-degenerate line segment contained in $K.$
4. for any $x,y\in K,$ if $p\in [x,y]$ then $x=p{\text{ or }}y=p.$
5. if $x\in X$ is such that both $p+x$ and $p-x$ belong to $K,$ then $x=0.$
6. $\{p\}$ is a face of $K.$

उदाहरण

अगर $a<b$ तब दो वास्तविक संख्याएँ हैं $a$ और $b$ अंतराल के चरम बिंदु हैं $[a,b].$ हालाँकि, खुला अंतराल $(a,b)$ कोई चरम बिंदु नहीं है। में कोई खुला अंतराल $\mathbb {R}$ कोई चरम बिंदु नहीं है जबकि कोई गैर-पतित बंद अंतराल के बराबर नहीं है $\mathbb {R}$ में चरम बिंदु होते हैं (अर्थात, बंद अंतराल का समापन बिंदु)। अधिक आम तौर पर, परिमित-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष का कोई भी खुला सेट $\mathbb {R} ^{n}$ कोई चरम बिंदु नहीं है।

बंद यूनिट डिस्क के चरम बिंदु अंदर $\mathbb {R} ^{2}$ इकाई वृत्त है।

समतल में किसी भी उत्तल बहुभुज का परिमाप उस बहुभुज का एक फलक होता है। समतल में किसी भी उत्तल बहुभुज के शीर्ष $\mathbb {R} ^{2}$ उस बहुभुज के चरम बिंदु हैं।

एक इंजेक्शन रैखिक नक्शा $F:X\to Y$ उत्तल सेट के चरम बिंदुओं को भेजता है $C\subseteq X$ उत्तल सेट के चरम बिंदुओं पर $F(X).$ यह इंजेक्टिव एफ़िन मैप्स के लिए भी सही है।

गुण

एक कॉम्पैक्ट उत्तल सेट के चरम बिंदु एक बाहर की जगह (उप-स्पेस टोपोलॉजी के साथ) बनाते हैं लेकिन यह सेट हो सकता है fail में बंद होना है $X.$

प्रमेय

क्रेन–मिलमैन प्रमेय

केरीन-मिलमैन प्रमेय यकीनन चरम बिंदुओं के बारे में सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक है।

Krein–Milman theorem — If $S$ is convex and compact in a locally convex topological vector space, then $S$ is the closed convex hull of its extreme points: In particular, such a set has extreme points.

बनच रिक्त स्थान के लिए

ये प्रमेय रैडॉन-निकोडीम संपत्ति के साथ बानाच रिक्त स्थान के लिए हैं।

जोराम लिंडेनस्ट्रॉस के एक प्रमेय में कहा गया है कि, राडोन-निकोडीम संपत्ति के साथ एक बनच स्थान में, एक गैर-खाली बंधा हुआ सेट और परिबद्ध सेट का एक चरम बिंदु है। (अनंत-आयामी स्थानों में, कॉम्पैक्ट जगह की संपत्ति बंद होने और बाध्य होने के संयुक्त गुणों से अधिक मजबूत होती है।)

Theorem (Gerald Edgar) — Let $E$ be a Banach space with the Radon-Nikodym property, let $C$ be a separable, closed, bounded, convex subset of $E,$ and let $a$ be a point in $C.$ Then there is a probability measure $p$ on the universally measurable sets in $C$ such that $a$ is the barycenter of $p,$ and the set of extreme points of $C$ has $p$-measure 1.

एडगर के प्रमेय का तात्पर्य लिंडेनस्ट्रॉस प्रमेय से है।

संबंधित धारणाएं

एक सांस्थितिक सदिश स्थान का एक बंद उत्तल उपसमुच्चय कहलाता है strictly convex यदि इसकी प्रत्येक सीमा (टोपोलॉजी) | (टोपोलॉजिकल) सीमा बिंदु एक चरम बिंदु है। किसी भी हिल्बर्ट अंतरिक्ष की यूनिट बॉल एक सख्त उत्तल सेट है।

के-चरम अंक

अधिक सामान्यतः, एक उत्तल सेट में एक बिंदु $S$ है$k$-चरम अगर यह एक के इंटीरियर में स्थित है $k$-आयामी उत्तल भीतर सेट $S,$ लेकिन नहीं $k+1$-आयामी उत्तल भीतर सेट $S.$ इस प्रकार, एक चरम बिंदु भी एक है $0$-चरम बिंदु। अगर $S$ एक पॉलीटॉप है, तो $k$-चरम बिंदु ठीक इसके आंतरिक बिंदु हैं $k$-आयामी चेहरे $S.$ अधिक सामान्यतः, किसी भी उत्तल सेट के लिए $S,$ $k$-Extreme Points में विभाजित हैं $k$-आयामी खुले चेहरे।

परिमित-विम Krein-Milman प्रमेय, जो Minkowski के कारण है, की अवधारणा का उपयोग करके जल्दी से सिद्ध किया जा सकता है $k$-चरम बिंदु। अगर $S$ बंद है, घिरा हुआ है, और $n$-आयामी, और अगर $p$ में एक बिंदु है $S,$ तब $p$ है $k$-कुछ के लिए चरम $k\leq n.$ प्रमेय का दावा है कि $p$ चरम बिंदुओं का उत्तल संयोजन है। अगर $k=0$ तो यह तत्काल है। अन्यथा $p$ में एक रेखाखंड पर स्थित है $S$ जिसे अधिकतम बढ़ाया जा सकता है (क्योंकि $S$ बंद और घिरा हुआ है)। यदि खंड के समापन बिंदु हैं $q$ और $r,$ तो उनकी चरम रैंक इससे कम होनी चाहिए $p,$ और प्रमेय प्रेरण द्वारा अनुसरण करता है।

यह भी देखें

• Choquet theory

ग्रन्थसूची

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