एमवी-बीजगणित

अमूर्त बीजगणित में, शुद्ध गणित की एक शाखा, एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें बाइनरी संक्रिया $\oplus$, एकल संक्रिया $\neg$, और नियतांक $0$ होते है, जो कुछ अभिगृहीत को संतुष्ट करता है। एमवी-बीजगणितीय लुकासिविज़ तर्क के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) हैं; अक्षर एमवी-बीजगणितीय लुकासिविज़ के बहु-मान तर्क का उल्लेख करते हैं। एमवी-बीजगणितीय परिबद्ध क्रमविनिमेय बीसीके बीजगणित के वर्ग के साथ समतुल्य होता है।

परिभाषाएँ

एमवी-बीजगणित एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें $\langle A,\oplus ,\lnot ,0\rangle$ सम्मिलित है

• अरिक्त समुच्चय (गणित) $A,$
• बाइनरी संक्रिया $\oplus$ पर $A,$
• एकल संक्रिया $\lnot$ पर $A,$ और
• नियतांक $0$ जो $A$ एक निश्चित अवयव (गणित) को दर्शाता है,

जो निम्नलिखित सर्वसमिकाओं (गणित) को संतुष्ट करता है:

• $(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z),$
• $x\oplus 0=x,$
• $x\oplus y=y\oplus x,$
• $\lnot \lnot x=x,$
• $x\oplus \lnot 0=\lnot 0,$ और
• $\lnot (\lnot x\oplus y)\oplus y=\lnot (\lnot y\oplus x)\oplus x.$

पहले तीन अभिगृहीत के आधार पर, $\langle A,\oplus ,0\rangle$ क्रमविनिमेय मोनोइड है। सर्वसमिकाओं द्वारा परिभाषित होने के कारण, एमवी- बीजगणित विभिन्न प्रकार के (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं। एमवी-बीजगणित की विविधता बीएल (तर्क) -बीजगणित की विविधता की एक उप-प्रजाति है और इसमें सभी बूलियन बीजगणित (संरचना) सम्मिलित होते हैं।

एक एमवी-बीजगणित को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है (पेट्र हेजेक 1998) एक पूर्वरेखीय क्रमविनिमेय सीमित समाकल अवशेष लेटिस के रूप में $\langle L,\wedge ,\vee ,\otimes ,\rightarrow ,0,1\rangle$ अतिरिक्त सर्वसमिकाओं $x\vee y=(x\rightarrow y)\rightarrow y$ को संतुष्ट करता है।

एमवी-बीजगणित के उदाहरण

एक साधारण संख्यात्मक उदाहरण $A=[0,1]$ है, जिसमे संक्रिया $x\oplus y=\min(x+y,1)$ और $\lnot x=1-x$ के साथ सम्मिलित है। गणितीय फजी तर्क में, इस एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित कहा जाता है, क्योंकि यह लुकासिविक्ज़ तर्क के मानक वास्तविक मान शब्दार्थ का निर्माण करता है।

सामान्य एमवी-बीजगणित में केवल अवयव 0 है और संक्रिया को एकमात्र संभव $0\oplus 0=0$ और $\lnot 0=0$ तरीके से परिभाषित किया गया है।

दो-अवयव एमवी-बीजगणित वास्तव में दो-अवयव बूलियन बीजगणित $\{0,1\}$ है, जिसमे $\oplus$ बूलियन संयोजन के साथ समतुल्य है और $\lnot$ बूलियन निषेध के साथ नहीं है। वास्तव में अभिगृहीत जोड़ना $x\oplus x=x$ एमवी-बीजगणित को परिभाषित करने वाले अभिगृहीतों के परिणामस्वरूप बूलियन बीजगणित का अभिगृहीतीकरण होता है।

यदि इसके अतिरिक्त $x\oplus x\oplus x=x\oplus x$ अभिगृहीत जोड़ा गया है, तब अभिगृहीत MV₃ को परिभाषित करते हैं बीजगणित तीन-मान लुकासिविक्ज़ तर्क Ł₃ के संगत है। अन्य परिमित रैखिक रूप से क्रमित एमवी-बीजगणित को मानक एमवी-बीजगणित के समष्टि और संक्रिया को समुच्चय $n$ 0 और 1 (दोनों सम्मिलित) के बीच समदूरस्थ वास्तविक संख्याएँ करने के लिए प्रतिबंधित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात् समुच्चय $\{0,1/(n-1),2/(n-1),\dots ,1\},$ जो संक्रिया $\oplus$ और $\lnot$ मानक एमवी-बीजगणित के अंतर्गत संवृत है; इन बीजगणितों को सामान्य रूप से MV_n के रूप में दर्शाया जाता है

एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण सी.सी. चांग का एमवी-बीजगणित है, जिसमें केवल अनंत-सूक्ष्म (आदेश प्रकार ω के साथ) और उनके सह-अनंत-सूक्ष्म सम्मिलित हैं।

चांग ने एक धनात्मक अवयव u को निर्धारित करके और भाग [0, u] को { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } जो x ⊕ y = min(u, x + y) और ¬x = u − x के साथ एक एमवी-बीजगणित बन जाता है। इसके अतिरिक्त, चांग ने दिखाया कि इस तरह से एक समूह से निर्मित एमवी-बीजगणित के लिए प्रत्येक रैखिक रूप से आदेश दिया गया एमवी-बीजगणित समरूप होते है।

डेनियल मुंडिसी ने उपरोक्त निर्माण को एबेलियन लेटिस-क्रमित समूह तक बढ़ाया। यदि G प्रबल (क्रम) इकाई u वाला एक ऐसा समूह है, तो इकाई अंतराल {x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u} को ¬x = u − x, x ⊕ y = u ∧_G (x + y) और x ⊗ y = 0 ∨_G (x + y − u) से सुसज्जित किया जा सकता है। यह निर्माण प्रबल इकाई और एमवी-बीजगणित के साथ लेटिस-क्रमित एबेलियन समूहों के बीच एक स्पष्ट समानता स्थापित करता है।

एक प्रभाव बीजगणित जो लेटिस-क्रमित है और लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित एक एमवी-बीजगणित है। इसके विपरीत, कोई भी एमवी-बीजगणित एक लेटिस-क्रमित प्रभाव बीजगणित है जिसमें रीज़ अपघटन गुण होता है।

लुकासिविक्ज़ तर्क से संबंध

सी.सी. चांग ने 1920 में जैन लुकासिविक्ज़ द्वारा प्रस्तुत किए गए कई-मान तर्क्स का अध्ययन करने के लिए एमवी-बीजगणित तैयार किया। विशेष रूप से, एमवी-बीजगणित लुकासिविक्ज़ तर्क के बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) का निर्माण करते हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

एमवी-बीजगणित A दिया गया है, A-मूल्यांकन (तर्क) प्रस्तावपरक सूत्रों (भाषा में $\oplus ,\lnot ,$ और 0) A के बीजगणित से एक समरूपता है। सूत्र 1 के लिए मानचित्रण किए गए (अर्थात, $\lnot$0) सभी A-मानो के लिए A-पुनरुक्ति (तर्क) कहा जाता है। यदि [0,1] से अधिक मानक एमवी-बीजगणित नियोजित है, तो सभी [0,1]-पुनरुक्ति का समुच्चय तथाकथित अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क को निर्धारित करता है।

चांग (1958, 1959) पूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी एमवी-बीजगणित समीकरण मानक एमवी-बीजगणित में अंतराल [0,1] पर धारण करना प्रत्येक एमवी-बीजगणित में होगा। बीजगणितीय रूप से, इसका तात्पर्य है कि मानक एमवी-बीजगणित सभी एमवी-बीजगणित की विविधता उत्पन्न करता है। समान रूप से, चांग की पूर्णता प्रमेय कहती है कि एमवी-बीजगणितीय अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क की विशेषता है, जिसे [0,1]-पुनरुक्ति के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है।

जिस तरह से [0,1] एमवी-बीजगणित सभी संभव एमवी-बीजगणित की विशेषता बताता है, वह इस प्रसिद्ध तथ्य के समानांतर है कि दो-अवयव बूलियन बीजगणित में सम्मिलित सर्वसमिकाओं सभी संभव बूलियन बीजगणित में होती है। इसके अतिरिक्त, एमवी-बीजगणितीय अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क को इस तरह से चित्रित करते हैं जैसे कि बूलियन बीजगणितीय उत्कृष्ट दो-अवयव (लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित देखें) बूलियन बीजगणित की विशेषता रखते हैं।

1984 में, फॉन्ट, रोड्रिग्ज और टॉरेंस ने वाज्सबर्ग बीजगणित को अनंत-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए एक वैकल्पिक मॉडल के रूप में प्रस्तुत किया। वाज्सबर्ग बीजगणित और एमवी-बीजगणित पद-समतुल्य हैं।

MV_n-बीजगणित

1940 के दशक में ग्रिगोर मोसिल ने अपने लुकासिविक्ज़-मोइसिल बीजगणित (LM_n-बीजगणित) को इस उपेक्षा में प्रस्तुत किया कि वे (अंततः) n-मान लुकासिविज़ तर्क के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ दे सकें। हालांकि, 1956 में एलन रोज़ ने पाया कि n ≥ 5 के लिए, लुकासिविक्ज़-मोइसिल बीजगणित लुकासिविक्ज़ n-मान तर्क को प्रतिरूपित नहीं करता है। हालांकि सीसी चांग ने 1958 में अपना MV-बीजगणित प्रकाशित किया, यह केवल ℵ₀-मान (अनंत-अनेक-मान) लुकासिविक्ज़-टार्स्की तर्क के लिए एक विश्वसनीय मॉडल है। स्वयंसिद्ध रूप से अधिक जटिल (अंतिम रूप से) n-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए, उपयुक्त बीजगणित 1977 में रेवाज़ ग्रिगोलिया द्वारा प्रकाशित किए गए थे और MV_n-बीजगणित कहलाते थे। MV_n-बीजगणित, LM_n-बीजगणित का एक उपवर्ग है; समावेशन n ≥ 5 के लिए प्रबल होता है।

MV_n-बीजगणित MV-बीजगणित होते हैं जो कुछ अतिरिक्त सूक्तियों को संतुष्ट करते हैं, परिशुद्ध रूप से उसी तरह जैसे n-मान लुकासिविक्ज़ तर्कों में ℵ₀-मान तर्क में अतिरिक्त अभिगृहीत जोड़ दिए जाते हैं।

1982 में रॉबर्टो सिग्नोली ने कुछ अतिरिक्त बाधाओं को प्रकाशित किया जो LM_n-बीजगणित में जुड़कर n-मान लुकासिविक्ज़ तर्क के लिए उपयुक्त मॉडल उत्पन्न करते हैं। LM_n-बीजगणित, जो MV_n-बीजगणित भी हैं, परिशुद्ध रूप से सिग्नोली के उपयुक्त n-मूल्य वाले लुकासिविक्ज़ बीजगणित हैं।

कार्यात्मक विश्लेषण से संबंध

एमवी-बीजगणित डेनियल मुंडिसी द्वारा लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित से संबंधित थे, जो लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित के सभी समरूप वर्गों के बीच लेटिस-क्रमित आयाम समूह और गणनीय एमवी बीजगणित के सभी समरूप वर्गों के बीच एक विशेषण पत्राचार स्थापित करके संबंधित थे। इस पत्राचार के कुछ उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

गणनीय एमवी बीजगणित	लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित
{0, 1}	ℂ
{0, 1/n, ..., 1 }	Mn(ℂ), अर्थात n×n सम्मिश्र आव्यूह
अनंत	अनंत-आयाम
बूलियन	क्रमविनिमेय

सॉफ्टवेयर में

Further information: बहु-आसन्न तर्क प्रोग्रामिंग

फ़ज़ी तर्क (प्रकार II) को प्रयुक्त करने वाले कई रूपरेखाएं होती हैं, और उनमें से अधिकांश को बहु-संलग्न तर्क कहा जाता है। यह एमवी-बीजगणित के कार्यान्वयन से अधिकतम कुछ नहीं है।

संदर्भ

• Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476–490.
• ------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74–80.
• Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I. M. L., Mundici, D. (2000) Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
• Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of एमवी-algebras," Journal of Algebra 221: 463–474 doi:10.1006/jabr.1999.7900.
• Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.
• Mundici, D.: Interpretation of AF C*-algebras in लुकासिविक्ज़ sentential calculus. J. Funct. Anal. 65, 15–63 (1986) doi:10.1016/0022-1236(86)90015-7

अग्रिम पठन

• Daniele Mundici, एमवी-ALGEBRAS. A short tutorial
• D. Mundici (2011). Advanced Łukasiewicz calculus and MV-algebras. Springer. ISBN 978-94-007-0839-6.
• Mundici, D. The C*-Algebras of Three-Valued Logic. Logic Colloquium ’88, Proceedings of the Colloquium held in Padova 61–77 (1989). doi:10.1016/s0049-237x(08)70262-3
• Cabrer, L. M. & Mundici, D. A Stone-Weierstrass theorem for एमवी-algebras and unital ℓ-groups. Journal of Logic and Computation (2014). doi:10.1093/logcom/exu023
• Olivia Caramello, Anna Carla Russo (2014) The Morita-equivalence between एमवी-algebras and abelian ℓ-groups with strong unit

बाहरी संबंध

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Many-valued logic"—by Siegfried Gottwald.