विशार्ट वितरण

Wishart

Notation	X ~ Wp(V, n)
Parameters	n > p − 1 degrees of freedom (real) V > 0 scale matrix (p × p pos. def)
Support	X(p × p) positive definite matrix
PDF	$f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )={\frac {|\mathbf {x} |^{(n-p-1)/2}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {V} ^{-1}\mathbf {x} )/2}}{2^{\frac {np}{2}}|{\mathbf {V} }|^{n/2}\Gamma _{p}({\frac {n}{2}})}}$ Γp is the multivariate gamma function tr is the trace function
Mean	$\operatorname {E} [X]=n{\mathbf {V} }$
Mode	(n − p − 1)V for n ≥ p + 1
Variance	$\operatorname {Var} (\mathbf {X} _{ij})=n\left(v_{ij}^{2}+v_{ii}v_{jj}\right)$
Entropy	see below
CF	$\Theta \mapsto \left|{\mathbf {I} }-2i\,{\mathbf {\Theta } }{\mathbf {V} }\right|^{-{\frac {n}{2}}}$

आँकड़ों में, विशार्ट वितरण गामा वितरण के कई आयामों का सामान्यीकरण है। इसका नाम जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्) के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1928 में वितरण तैयार किया था। यह संभाव्यता वितरण का एक परिवार है जो सममित, गैर-नकारात्मक-निश्चित यादृच्छिक मैट्रिक्स (यानी मैट्रिक्स (गणित) -मूल्यवान यादृच्छिक चर) पर परिभाषित किया गया है। यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में, विशार्ट मैट्रिसेस के स्थान को विशार्ट पहनावा कहा जाता है।

बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में सहप्रसरण मैट्रिक्स के अनुमान में इन वितरणों का बहुत महत्व है। बायेसियन अनुमान में, विशार्ट वितरण मैट्रिक्स व्युत्क्रम सहप्रसरण मैट्रिक्स उलटा पहले का संयुग्म है | एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का सहप्रसरण-मैट्रिक्स | बहुभिन्नरूपी-सामान्य यादृच्छिक-वेक्टर। अन्य नामों में विशार्ट एनसेम्बल (यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में, मैट्रिसेस पर संभाव्यता वितरण को आमतौर पर पहनावा कहा जाता है), या विशार्ट-लगुएरे पहनावा (चूंकि इसके ईजेनवेल्यू वितरण में लैगुएरे बहुपद शामिल हैं), या एलओई, एलयूई, एलएसई (रैंडम मैट्रिक्स # गॉसियन के अनुरूप) शामिल हैं। पहनावा | GOE, GUE, GSE)।

परिभाषा

कल्पना करना G एक है p × n मैट्रिक्स, जिसका प्रत्येक स्तंभ सांख्यिकीय स्वतंत्रता है जो एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से लिया गया हैp-भिन्न सामान्य वितरण शून्य माध्य के साथ:

$G_{i}=(g_{i}^{1},\dots ,g_{i}^{p})^{T}\sim {\mathcal {N}}_{p}(0,V).$

फिर विशार्ट वितरण का संभाव्यता वितरण है p × p यादृच्छिक मैट्रिक्स

$S=GG^{T}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{T}$

तितर बितर मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है। एक इंगित करता है S में लेखन द्वारा प्रायिकता वितरण है

$S\sim W_{p}(V,n).$

सकारात्मक पूर्णांक n स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) की संख्या है। कभी-कभी यह लिखा जाता है W(V, p, n). के लिए n ≥ p गणित का सवाल S संभाव्यता के साथ उलटा है 1 अगर V उलटा है।

अगर p = V = 1 तो यह वितरण एक ची-वर्ग वितरण है n स्वतंत्रता की कोटियां।

घटना

विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से नमूने के लिए नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स के वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण में संभावना-अनुपात परीक्षणों में यह अक्सर होता है। यह यादृच्छिक मैट्रिक्स के वर्णक्रमीय सिद्धांत में भी उत्पन्न होता है और बहुआयामी बायेसियन विश्लेषण में। रेले लुप्तप्राय एमआईएमओ वायरलेस चैनलों के प्रदर्शन का विश्लेषण करते समय वायरलेस संचार में भी इसका सामना करना पड़ता है।

संभाव्यता घनत्व समारोह

विशार्ट-लागुएरे एनसेंबल का स्पेक्ट्रल घनत्व आयामों के साथ (8, 15)। के चित्र 1 का पुनर्निर्माण .

विशार्ट वितरण को इसके संभाव्यता घनत्व समारोह द्वारा लक्षण वर्णन (गणित) किया जा सकता है:

होने देना X एक हो p × p यादृच्छिक चर का सममित मैट्रिक्स जो सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित। होने देना V आकार का एक (निश्चित) सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स हो p × p.

तो अगर n ≥ p, X के साथ विशार्ट वितरण है n स्वतंत्रता की डिग्री अगर इसमें प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है

$f_{\mathbf {X} }(\mathbf {X} )={\frac {1}{2^{np/2}\left|{\mathbf {V} }\right|^{n/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}{\left|\mathbf {X} \right|}^{(n-p-1)/2}e^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {V} }^{-1}\mathbf {X} )}$

कहाँ $\left|{\mathbf {X} }\right|$ का निर्धारक है $\mathbf {X}$ और Γ_p बहुभिन्नरूपी गामा फलन के रूप में परिभाषित है

$\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left({\frac {n}{2}}-{\frac {j-1}{2}}\right).$

ऊपर का घनत्व सभी का संयुक्त घनत्व नहीं है $p^{2}$ यादृच्छिक मैट्रिक्स के तत्व X (ऐसा {{nowrap|$p^{2}$-dimensional}समरूपता की कमी के कारण } घनत्व मौजूद नहीं है $X_{ij}=X_{ji}$), बल्कि यह का संयुक्त घनत्व है $p(p+1)/2$ तत्वों $X_{ij}$ के लिए $i\leq j$ (,पृष्ठ 38). साथ ही, उपरोक्त घनत्व सूत्र केवल सकारात्मक निश्चित आव्यूहों पर लागू होता है $\mathbf {x} ;$ अन्य आव्यूहों के लिए घनत्व शून्य के बराबर है।

वर्णक्रमीय घनत्व

आइगेनवैल्यू के लिए ज्वाइंट-आइगेनवैल्यू डेंसिटी $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p}\geq 0$ एक यादृच्छिक मैट्रिक्स का $\mathbf {X} \sim W_{p}(\mathbf {I} ,n)$ है,

$c_{n,p}e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\lambda _{i}}\prod \lambda _{i}^{(n-p-1)/2}\prod _{i<j}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|$

कहाँ $c_{n,p}$एक स्थिरांक है।

वास्तव में उपरोक्त परिभाषा को किसी भी वास्तविक तक बढ़ाया जा सकता है n > p − 1. अगर n ≤ p − 1, तो विशार्ट में अब कोई घनत्व नहीं है - इसके बजाय यह एक विलक्षण वितरण का प्रतिनिधित्व करता है जो अंतरिक्ष के निम्न-आयाम उप-स्थान में मान लेता है p × p मैट्रिक्स।

बायेसियन सांख्यिकी में प्रयोग करें

बायेसियन सांख्यिकी में, बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के संदर्भ में, विशार्ट वितरण सटीक मैट्रिक्स से पहले का संयुग्म है Ω = Σ⁻¹, कहाँ Σ सहप्रसरण मैट्रिक्स है।

मापदंडों का चुनाव

कम से कम जानकारीपूर्ण, उचित विशार्ट प्रायर सेटिंग द्वारा प्राप्त किया जाता है n = p.

का पूर्व माध्य W_p(V, n) है nV, यह सुझाव देते हुए कि एक उचित विकल्प V होगा n⁻¹Σ₀⁻¹, कहाँ Σ₀ सहप्रसरण मैट्रिक्स के लिए कुछ पूर्व अनुमान है।

गुण

लॉग-अपेक्षा

निम्नलिखित सूत्र बेयस नेटवर्क के लिए वेरिएबल बेयस डेरिवेशन में एक भूमिका निभाता है विशार्ट वितरण को शामिल करना:

$\operatorname {E} [\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,]=\psi _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)+p\,\ln(2)+\ln |\mathbf {V} |$

कहाँ $\psi _{p}$ बहुभिन्नरूपी डिगामा फ़ंक्शन है (बहुभिन्नरूपी गामा फ़ंक्शन के लॉग का व्युत्पन्न)।

लॉग-विचरण

बायेसियन सांख्यिकी में निम्न विचरण संगणना सहायक हो सकती है:

$\operatorname {Var} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]=\sum _{i=1}^{p}\psi _{1}\left({\frac {n+1-i}{2}}\right)$

कहाँ $\psi _{1}$ त्रिगामा कार्य है। यह विशार्ट रैंडम वेरिएबल की फिशर जानकारी की गणना करते समय सामने आता है।

एंट्रॉपी

वितरण की सूचना एन्ट्रापी में निम्नलिखित सूत्र हैं:

$\operatorname {H} \left[\,\mathbf {X} \,\right]=-\ln \left(B(\mathbf {V} ,n)\right)-{\frac {n-p-1}{2}}\operatorname {E} \left[\,\ln \left|\mathbf {X} \right|\,\right]+{\frac {np}{2}}$

कहाँ B(V, n) वितरण का सामान्यीकरण स्थिरांक है:

$B(\mathbf {V} ,n)={\frac {1}{\left|\mathbf {V} \right|^{n/2}2^{np/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}.$

इसका विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:

क्रॉस-एन्ट्रॉपी

दो विशार्ट वितरणों की क्रॉस एन्ट्रापी $p_{0}$ मापदंडों के साथ $n_{0},V_{0}$ और $p_{1}$ मापदंडों के साथ $n_{1},V_{1}$ है

ध्यान दें कि कब $p_{0}=p_{1}$ और $n_{0}=n_{1}$हम एंट्रॉपी पुनर्प्राप्त करते हैं।

केएल-विचलन

कुल्बैक-लीब्लर विचलन $p_{1}$ से $p_{0}$ है

${\begin{aligned}D_{KL}(p_{0}\|p_{1})&=H(p_{0},p_{1})-H(p_{0})\\[6pt]&=-{\frac {n_{1}}{2}}\log |\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0}|+{\frac {n_{0}}{2}}(\operatorname {tr} (\mathbf {V} _{1}^{-1}\mathbf {V} _{0})-p)+\log {\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {n_{1}}{2}}\right)}{\Gamma _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)}}+{\tfrac {n_{0}-n_{1}}{2}}\psi _{p}\left({\frac {n_{0}}{2}}\right)\end{aligned}}$

विशेषता समारोह

विशार्ट वितरण का अभिलाक्षणिक फलन (संभाव्यता सिद्धांत) है

$\Theta \mapsto \operatorname {E} \left[\,\exp \left(\,i\operatorname {tr} \left(\,\mathbf {X} {\mathbf {\Theta } }\,\right)\,\right)\,\right]=\left|\,1-2i\,{\mathbf {\Theta } }\,{\mathbf {V} }\,\right|^{-n/2}$

कहाँ E[⋅] अपेक्षा दर्शाता है। (यहाँ Θ समान आयामों वाला कोई भी मैट्रिक्स है V, 1 पहचान मैट्रिक्स को इंगित करता है, और i का वर्गमूल है−1). इस सूत्र की ठीक से व्याख्या करने के लिए थोड़ी सावधानी बरतने की आवश्यकता है, क्योंकि गैर-पूर्णांक जटिल शक्तियाँ रीमैन सतह हैं; कब n गैर-पूर्णांक है, विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से सही शाखा निर्धारित की जानी चाहिए।

प्रमेय

यदि एक p × p यादृच्छिक मैट्रिक्स X के साथ विशार्ट वितरण है m स्वतंत्रता और विचरण मैट्रिक्स की डिग्री V - लिखना $\mathbf {X} \sim {\mathcal {W}}_{p}({\mathbf {V} },m)$ - और C एक है q × p रैंक का मैट्रिक्स (मैट्रिक्स सिद्धांत) q, तब

$\mathbf {C} \mathbf {X} {\mathbf {C} }^{T}\sim {\mathcal {W}}_{q}\left({\mathbf {C} }{\mathbf {V} }{\mathbf {C} }^{T},m\right).$

कोरोलरी 1

अगर z एक अशून्य है p × 1 निरंतर वेक्टर, फिर:

$\sigma _{z}^{-2}\,{\mathbf {z} }^{T}\mathbf {X} {\mathbf {z} }\sim \chi _{m}^{2}.$

इस मामले में, $\chi _{m}^{2}$ ची-वर्ग वितरण है और $\sigma _{z}^{2}={\mathbf {z} }^{T}{\mathbf {V} }{\mathbf {z} }$ (ध्यान दें कि $\sigma _{z}^{2}$ एक स्थिरांक है; यह सकारात्मक है क्योंकि V सकारात्मक निश्चित है)।

उपप्रमेय 2

मामले पर विचार करें जहां z^T = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) (वह यह है कि j-वाँ तत्व एक है और अन्य सभी शून्य)। फिर उपप्रमेय 1 ऊपर यह दर्शाता है

$\sigma _{jj}^{-1}\,w_{jj}\sim \chi _{m}^{2}$

मैट्रिक्स के विकर्ण पर प्रत्येक तत्व का सीमांत वितरण देता है।

जॉर्ज सेबर बताते हैं कि विशार्ट वितरण को "बहुभिन्नरूपी ची-वर्ग वितरण" नहीं कहा जाता है क्योंकि ऑफ-विकर्ण तत्वों का सीमांत वितरण ची-वर्ग नहीं है। सेबर उस मामले के लिए बहुभिन्नरूपी सांख्यिकी शब्द को आरक्षित करना पसंद करता है जब सभी अविभाजित सीमांत एक ही परिवार के हों।

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुमानक

विशार्ट वितरण एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के सहप्रसरण मैट्रिक्स की अधिकतम संभावना|अधिकतम-संभावना अनुमानक (MLE) का नमूना वितरण है। सहप्रसरण मैट्रिसेस का अनुमान वर्णक्रमीय प्रमेय का उपयोग करता है।

बार्टलेट अपघटन

एक मैट्रिक्स का बार्टलेट अपघटन X एक से {{mvar|p}स्केल मैट्रिक्स के साथ }-विभिन्न विशार्ट वितरण V और n स्वतंत्रता की डिग्री गुणनखंड है:

$\mathbf {X} ={\textbf {L}}{\textbf {A}}{\textbf {A}}^{T}{\textbf {L}}^{T},$

कहाँ L का चोल्स्की अपघटन है V, और:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}c_{1}&0&0&\cdots &0\\n_{21}&c_{2}&0&\cdots &0\\n_{31}&n_{32}&c_{3}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\n_{p1}&n_{p2}&n_{p3}&\cdots &c_{p}\end{pmatrix}}$

कहाँ $c_{i}^{2}\sim \chi _{n-i+1}^{2}$ और n_ij ~ N(0, 1) स्वतंत्र रूप से। यह विशार्ट वितरण से यादृच्छिक नमूने प्राप्त करने के लिए एक उपयोगी तरीका प्रदान करता है।

मैट्रिक्स तत्वों का सीमांत वितरण

होने देना V एक हो 2 × 2 पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक द्वारा अभिलक्षित प्रसरण मैट्रिक्स −1 < ρ < 1 और L इसका निचला चॉल्स्की कारक:

$\mathbf {V} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0\\\rho \sigma _{2}&{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\sigma _{2}\end{pmatrix}}$

उपरोक्त बार्टलेट अपघटन के माध्यम से गुणा करने पर, हम पाते हैं कि एक यादृच्छिक नमूना 2 × 2 विशार्ट वितरण है

$\mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}c_{1}^{2}&\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)\\\sigma _{1}\sigma _{2}\left(\rho c_{1}^{2}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}c_{1}n_{21}\right)&\sigma _{2}^{2}\left(\left(1-\rho ^{2}\right)c_{2}^{2}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}n_{21}+\rho c_{1}\right)^{2}\right)\end{pmatrix}}$

विकर्ण तत्व, स्पष्ट रूप से पहले तत्व में, अनुसरण करते हैं χ² के साथ वितरण n स्वतंत्रता की डिग्री (द्वारा स्केल किया गया σ²) आशा के अनुसार। ऑफ-विकर्ण तत्व कम परिचित है लेकिन इसे सामान्य भिन्नता-माध्य मिश्रण के रूप में पहचाना जा सकता है जहां मिश्रण घनत्व एक है χ² वितरण। ऑफ-विकर्ण तत्व के लिए संबंधित सीमांत संभाव्यता घनत्व इसलिए भिन्नता-गामा वितरण है

$f(x_{12})={\frac {\left|x_{12}\right|^{\frac {n-1}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right){\sqrt {2^{n-1}\pi \left(1-\rho ^{2}\right)\left(\sigma _{1}\sigma _{2}\right)^{n+1}}}}}\cdot K_{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\left|x_{12}\right|}{\sigma _{1}\sigma _{2}\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)\exp {\left({\frac {\rho x_{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}(1-\rho ^{2})}}\right)}$

कहाँ K_ν(z) दूसरी तरह का संशोधित बेसेल कार्य है। उच्च आयामों के लिए समान परिणाम मिल सकते हैं, लेकिन ऑफ-डायगोनल सहसंबंधों की अन्योन्याश्रितता तेजी से जटिल हो जाती है। गैर-केंद्रीय मामले में भी क्षण-उत्पन्न करने वाले कार्य को लिखना संभव है (अनिवार्य रूप से क्रेग की nth शक्ति (1936) समीकरण 10) हालांकि संभाव्यता घनत्व बेसेल कार्यों का एक अनंत योग बन जाता है।

आकृति पैरामीटर की सीमा

इसे दिखाया जा सकता है कि विशार्ट वितरण को परिभाषित किया जा सकता है अगर और केवल अगर आकार पैरामीटर n समुच्चय के अंतर्गत आता है

$\Lambda _{p}:=\{0,\ldots ,p-1\}\cup \left(p-1,\infty \right).$

इस सेट का नाम गिंदिकिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे पेश किया था सजातीय शंकु पर गामा वितरण के संदर्भ में 1970 के दशक में। हालाँकि, Gindikin पहनावा के असतत स्पेक्ट्रम में नए मापदंडों के लिए, अर्थात्,

$\Lambda _{p}^{*}:=\{0,\ldots ,p-1\},$

संबंधित विशार्ट वितरण में कोई लेबेस्ग घनत्व नहीं है।

अन्य वितरणों से संबंध

• विशार्ट वितरण व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण से संबंधित है, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है $W_{p}^{-1}$, इस प्रकार है: यदि X ~ W_p(V, n) और यदि हम चरों का परिवर्तन करते हैं C = X⁻¹, तब $\mathbf {C} \sim W_{p}^{-1}(\mathbf {V} ^{-1},n)$. यह संबंध यह देखते हुए प्राप्त किया जा सकता है कि चर के इस परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक का निरपेक्ष मान है |C|^p+1, उदाहरण के लिए देखें समीकरण (15.15) में।
• बायेसियन सांख्यिकी में, विशार्ट वितरण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण की परिशुद्धता (सांख्यिकी) से पहले एक संयुग्म है, जब औसत पैरामीटर ज्ञात होता है।
• एक सामान्यीकरण बहुभिन्नरूपी गामा वितरण है।
• एक अलग प्रकार का सामान्यीकरण सामान्य-विशार्ट वितरण है, अनिवार्य रूप से विशार्ट वितरण के साथ एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का उत्पाद है।

यह भी देखें

• ची-वर्ग वितरण
• जटिल विशार्ट वितरण
• एफ-वितरण
• गामा वितरण
• होटलिंग का टी-वर्ग वितरण
• व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण
• बहुभिन्नरूपी गामा वितरण
• छात्र का टी-वितरण
• विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण

बाहरी संबंध

• A C++ library for random matrix generator