आव्यूह सामान्य वितरण

Matrix normal

Notation	${\mathcal {MN}}_{n,p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )$
Parameters	$\mathbf {M}$ location (real $n\times p$ matrix) $\mathbf {U}$ scale (positive-definite real $n\times n$ matrix) $\mathbf {V}$ scale (positive-definite real $p\times p$ matrix)
Support	$\mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{n\times p}$
PDF	${\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {tr} \left[\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}\mathbf {U} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\right]\right)}{(2\pi )^{np/2}|\mathbf {V} |^{n/2}|\mathbf {U} |^{p/2}}}$
Mean	$\mathbf {M}$
Variance	$\mathbf {U}$ (among-row) and $\mathbf {V}$ (among-column)

आंकड़ों में, मैट्रिक्स सामान्य वितरण या मैट्रिक्स गॉसियन वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो मैट्रिक्स-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का सामान्यीकरण है।

परिभाषा

रैंडम मैट्रिक्स X (n ×p) के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन जो मैट्रिक्स सामान्य वितरण का अनुसरण करता है ${\mathcal {MN}}_{n,p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )$ रूप है:

$p(\mathbf {X} \mid \mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )={\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {tr} \left[\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}\mathbf {U} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\right]\right)}{(2\pi )^{np/2}|\mathbf {V} |^{n/2}|\mathbf {U} |^{p/2}}}$

कहाँ $\mathrm {tr}$ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है और M n × 'p है, U n × n है और V p × p है, और घनत्व को प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन के रूप में समझा जाता है, जिसमें मानक लेबेसेग माप के संबंध में $\mathbb {R} ^{n\times p}$, यानी: के संबंध में एकीकरण के अनुरूप उपाय $dx_{11}dx_{21}\dots dx_{n1}dx_{12}\dots dx_{n2}\dots dx_{np}$.

मैट्रिक्स सामान्य निम्नलिखित तरीके से बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से संबंधित है:

$\mathbf {X} \sim {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} ),$

अगर और केवल अगर

$\mathrm {vec} (\mathbf {X} )\sim {\mathcal {N}}_{np}(\mathrm {vec} (\mathbf {M} ),\mathbf {V} \otimes \mathbf {U} )$

कहाँ $\otimes$ क्रोनकर उत्पाद को दर्शाता है और $\mathrm {vec} (\mathbf {M} )$ के वैश्वीकरण (गणित) को दर्शाता है $\mathbf {M}$.

प्रमाण

उपरोक्त मैट्रिक्स सामान्य और बहुभिन्नरूपी सामान्य घनत्व कार्यों के बीच समानता को ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और क्रोनकर उत्पाद के कई गुणों का उपयोग करके निम्नानुसार दिखाया जा सकता है। हम मैट्रिक्स सामान्य पीडीएफ के प्रतिपादक के तर्क से शुरू करते हैं:

${\begin{aligned}&\;\;\;\;-{\frac {1}{2}}{\text{tr}}\left[\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}\mathbf {U} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\right]\\&=-{\frac {1}{2}}{\text{vec}}\left(\mathbf {X} -\mathbf {M} \right)^{T}{\text{vec}}\left(\mathbf {U} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\mathbf {V} ^{-1}\right)\\&=-{\frac {1}{2}}{\text{vec}}\left(\mathbf {X} -\mathbf {M} \right)^{T}\left(\mathbf {V} ^{-1}\otimes \mathbf {U} ^{-1}\right){\text{vec}}\left(\mathbf {X} -\mathbf {M} \right)\\&=-{\frac {1}{2}}\left[{\text{vec}}(\mathbf {X} )-{\text{vec}}(\mathbf {M} )\right]^{T}\left(\mathbf {V} \otimes \mathbf {U} \right)^{-1}\left[{\text{vec}}(\mathbf {X} )-{\text{vec}}(\mathbf {M} )\right]\end{aligned}}$

जो लेबेसेग माप के संबंध में बहुभिन्नरूपी सामान्य पीडीएफ के प्रतिपादक का तर्क है $\mathbb {R} ^{np}$. निर्धारक संपत्ति का उपयोग करके सबूत पूरा हो गया है: $|\mathbf {V} \otimes \mathbf {U} |=|\mathbf {V} |^{n}|\mathbf {U} |^{p}.$

गुण

अगर $\mathbf {X} \sim {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )$, तो हमारे पास निम्नलिखित गुण हैं:

अपेक्षित मूल्य

माध्य, या अपेक्षित मान है:

$E[\mathbf {X} ]=\mathbf {M}$

और हमारे पास निम्नलिखित दूसरे क्रम की अपेक्षाएँ हैं:

$E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]=\mathbf {U} \operatorname {tr} (\mathbf {V} )$

$E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )]=\mathbf {V} \operatorname {tr} (\mathbf {U} )$

कहाँ $\operatorname {tr}$ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है।

अधिक आम तौर पर, उचित रूप से आयाम वाले मैट्रिक्स ए, बी, सी के लिए:

${\begin{aligned}E[\mathbf {X} \mathbf {A} \mathbf {X} ^{T}]&=\mathbf {U} \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {V} )+\mathbf {MAM} ^{T}\\E[\mathbf {X} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {X} ]&=\mathbf {V} \operatorname {tr} (\mathbf {U} \mathbf {B} ^{T})+\mathbf {M} ^{T}\mathbf {BM} \\E[\mathbf {X} \mathbf {C} \mathbf {X} ]&=\mathbf {V} \mathbf {C} ^{T}\mathbf {U} +\mathbf {MCM} \end{aligned}}$

परिवर्तन

खिसकाना ट्रांसफ़ॉर्म:

$\mathbf {X} ^{T}\sim {\mathcal {MN}}_{p\times n}(\mathbf {M} ^{T},\mathbf {V} ,\mathbf {U} )$

रैखिक परिवर्तन: D (r-by-n), पूर्ण रैंक (रैखिक बीजगणित) r ≤ n और C (p-by-s) का होना ), पूर्ण रैंक s ≤ p का हो, फिर:

$\mathbf {DXC} \sim {\mathcal {MN}}_{r\times s}(\mathbf {DMC} ,\mathbf {DUD} ^{T},\mathbf {C} ^{T}\mathbf {VC} )$

उदाहरण

आइए n स्वतंत्र पी-आयामी यादृच्छिक चर के एक नमूने की कल्पना करें जो एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के अनुसार समान रूप से वितरित किया गया हो:

$\mathbf {Y} _{i}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}){\text{ with }}i\in \{1,\ldots ,n\}$.

n × p मैट्रिक्स को परिभाषित करते समय $\mathbf {X}$ जिसके लिए ith पंक्ति है $\mathbf {Y} _{i}$, हमने प्राप्त:

$\mathbf {X} \sim {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )$

जहां की प्रत्येक पंक्ति $\mathbf {M}$ के बराबर है ${\boldsymbol {\mu }}$, वह है $\mathbf {M} =\mathbf {1} _{n}\times {\boldsymbol {\mu }}^{T}$, $\mathbf {U}$ n × n पहचान मैट्रिक्स है, यानी पंक्तियाँ स्वतंत्र हैं, और $\mathbf {V} ={\boldsymbol {\Sigma }}$.

अधिकतम संभावना पैरामीटर अनुमान

दिए गए k मेट्रिसेस, प्रत्येक आकार n × p, निरूपित $\mathbf {X} _{1},\mathbf {X} _{2},\ldots ,\mathbf {X} _{k}$, जिसे हम मानते हैं कि Iid|i.i.d का नमूना लिया गया है। मैट्रिक्स सामान्य वितरण से, मापदंडों का अधिकतम संभावना अनुमान अधिकतम करके प्राप्त किया जा सकता है:

$\prod _{i=1}^{k}{\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {X} _{i}\mid \mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} ).$

माध्य के समाधान का एक बंद रूप है, अर्थात्

$\mathbf {M} ={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}\mathbf {X} _{i}$

लेकिन सहप्रसरण पैरामीटर नहीं है। हालाँकि, इन मापदंडों को उनके ग्रेडिएंट को शून्य करके पुनरावृत्त रूप से अधिकतम किया जा सकता है:

$\mathbf {U} ={\frac {1}{kp}}\sum _{i=1}^{k}(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {M} )\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {M} )^{T}$

और

$\mathbf {V} ={\frac {1}{kn}}\sum _{i=1}^{k}(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {M} )^{T}\mathbf {U} ^{-1}(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {M} ),$

उदाहरण के लिए देखें और उसमें संदर्भ। सहप्रसरण पैरामीटर इस अर्थ में गैर-पहचाने जाने योग्य हैं कि किसी भी पैमाने के कारक के लिए, s>0, हमारे पास:

${\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {X} \mid \mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )={\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {X} \mid \mathbf {M} ,s\mathbf {U} ,{\tfrac {1}{s}}\mathbf {V} ).$

वितरण से मूल्य निकालना

मैट्रिक्स सामान्य वितरण से नमूनाकरण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के लिए नमूनाकरण प्रक्रिया का एक विशेष मामला है। होने देना $\mathbf {X}$ मानक सामान्य वितरण से एनपी स्वतंत्र नमूनों के पी मैट्रिक्स द्वारा एन बनें, ताकि

$\mathbf {X} \sim {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {0} ,\mathbf {I} ,\mathbf {I} ).$ तो करने दें

$\mathbf {Y} =\mathbf {M} +\mathbf {A} \mathbf {X} \mathbf {B} ,$ ताकि

$\mathbf {Y} \sim {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {M} ,\mathbf {AA} ^{T},\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} ),$ जहां ए और बी को चॉल्स्की अपघटन या एक समान मैट्रिक्स स्क्वायर रूट ऑपरेशन द्वारा चुना जा सकता है।

अन्य वितरणों से संबंध

दाविद (1981) विशार्ट वितरण, व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण और मैट्रिक्स टी-वितरण सहित अन्य वितरणों के लिए मैट्रिक्स-मूल्यवान सामान्य वितरण के संबंध की चर्चा प्रदान करता है, लेकिन यहां नियोजित से अलग संकेतन का उपयोग करता है।

यह भी देखें

• बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण

संदर्भ

• Dawid, A.P. (1981). "Some matrix-variate distribution theory: Notational considerations and a Bayesian application". Biometrika. 68 (1): 265–274. doi:10.1093/biomet/68.1.265. JSTOR 2335827. MR 0614963.
• Dutilleul, P (1999). "The MLE algorithm for the matrix normal distribution". Journal of Statistical Computation and Simulation. 64 (2): 105–123. doi:10.1080/00949659908811970.
• Arnold, S.F. (1981), The theory of linear models and multivariate analysis, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0471050652