यादृच्छिक चरण सन्निकटन

ग्रीन के कार्य, दो-कण अंतःक्रियाओं के लिए धराशायी रेखाएँ।

यादृच्छिक चरण सन्निकटन (RPA) संघनित पदार्थ भौतिकी और परमाणु भौतिकी में एक सन्निकटन विधि है। 1952 और 1953 के मौलिक पत्रों की एक श्रृंखला में एक महत्वपूर्ण परिणाम के रूप में इसे पहली बार डेविड बोहम और डेविड पाइंस द्वारा पेश किया गया था।<रेफरी नाम = बोह्म पाइंस पीपी. 609–625 >{{cite journal | last1=Bohm | first1=David |author-link=David Bohm| last2=Pines | first2=David |author-link2=David Pines| title=इलेक्ट्रॉन इंटरैक्शन का एक सामूहिक विवरण: III। डीजेनरेट इलेक्ट्रॉन गैस में कूलम्ब इंटरेक्शन| journal=Physical Review | publisher=American Physical Society (APS) | volume=92 | issue=3 | date=1 October 1953 | issn=0031-899X | doi=10.1103/physrev.92.609 | pages=609–625| bibcode=1953PhRv...92..609B }</ref> दशकों से भौतिक विज्ञानी पदार्थ के सिद्धांत में इलेक्ट्रॉन के बीच सूक्ष्म क्वांटम यांत्रिकी के प्रभाव को शामिल करने की कोशिश कर रहे थे। बोहम और पाइंस का आरपीए कमजोर स्क्रीन वाले कूलम्ब इंटरेक्शन के लिए है और आमतौर पर इलेक्ट्रॉन सिस्टम की गतिशील रैखिक इलेक्ट्रॉनिक प्रतिक्रिया का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है।

RPA में, इलेक्ट्रॉनों को केवल कुल विद्युत क्षमता V('r') पर प्रतिक्रिया करने के लिए माना जाता है जो बाहरी पर्टुरबिंग क्षमता V का योग है।_ext(आर) और एक स्क्रीनिंग क्षमता 'वी'_sc(आर)। बाहरी गड़बड़ी की क्षमता को एक आवृत्ति ω पर दोलन करने के लिए माना जाता है, ताकि मॉडल एक स्व-सुसंगत क्षेत्र (एससीएफ) विधि <रेफ नाम = एहरेनरेच कोहेन पीपी। 786-790>Ehrenreich, H.; Cohen, M. H. (15 August 1959). "बहु-इलेक्ट्रॉन समस्या के लिए स्व-संगत क्षेत्र दृष्टिकोण". Physical Review. American Physical Society (APS). 115 (4): 786–790. Bibcode:1959PhRv..115..786E. doi:10.1103/physrev.115.786. ISSN 0031-899X.</ref> ε द्वारा निरूपित एक गतिशील परावैद्युत फलन_RPA(के, ω)।

कुल विद्युत क्षमता से ढांकता हुआ कार्य में योगदान 'औसत बाहर' माना जाता है, ताकि तरंग वेक्टर k पर केवल क्षमता का योगदान हो। यादृच्छिक चरण सन्निकटन का यही अर्थ है। परिणामी ढांकता हुआ कार्य, जिसे 'लिंडहार्ड सिद्धांत' भी कहा जाता है, plasmon सहित इलेक्ट्रॉन गैस के कई गुणों की सही भविष्यवाणी करता है। 1950 के दशक के अंत में आरपीए की स्वतंत्रता की डिग्री की अधिक गणना के लिए आलोचना की गई थी और औचित्य के आह्वान ने सैद्धांतिक भौतिकविदों के बीच गहन कार्य को जन्म दिया। मरे गेल-मान और कीथ ब्रुकनर ने एक मौलिक पेपर में दिखाया कि आरपीए को घने इलेक्ट्रॉन गैस में अग्रणी-क्रम श्रृंखला फेनमैन आरेखों के योग से प्राप्त किया जा सकता है। <रेफरी नाम = गेल-मान ब्रुकनर पीपी। 364-368>Gell-Mann, Murray; Brueckner, Keith A. (15 April 1957). "उच्च घनत्व पर एक इलेक्ट्रॉन गैस की सहसंबंध ऊर्जा" (PDF). Physical Review. American Physical Society (APS). 106 (2): 364–368. Bibcode:1957PhRv..106..364G. doi:10.1103/physrev.106.364. ISSN 0031-899X. S2CID 120701027.</ref>

इन परिणामों में निरंतरता एक महत्वपूर्ण औचित्य बन गया और 50 और 60 के दशक के अंत में सैद्धांतिक भौतिकी में बहुत मजबूत वृद्धि को प्रेरित किया।

अनुप्रयोग

एक अंतःक्रियात्मक बोसोनिक प्रणाली की जमीनी स्थिति

आरपीए वैक्यूम $\left|\mathrm {RPA} \right\rangle$ एक बोसोनिक प्रणाली के लिए असंबंधित बोसोनिक वैक्यूम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $\left|\mathrm {MFT} \right\rangle$ और मूल बोसोन उत्तेजना $\mathbf {a} _{i}^{\dagger }$

$\left|\mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left|\mathrm {MFT} \right\rangle$

जहाँ Z एक सममित मैट्रिक्स है $|Z|\leq 1$ और

${\mathcal {N}}={\frac {\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {RPA} \right\rangle }{\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {MFT} \right\rangle }}$

सामान्यीकरण द्वारा गणना की जा सकती है

$\langle \mathrm {RPA} |\mathrm {RPA} \rangle ={\mathcal {N}}^{2}\langle \mathrm {MFT} |\mathbf {e} ^{z_{i}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2}/2}\mathbf {e} ^{z_{j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2}/2}|\mathrm {MFT} \rangle =1$

कहाँ $Z_{ij}=(X^{\mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}$ का विलक्षण मूल्य अपघटन है $Z_{ij}$. ${\tilde {\mathbf {q} }}^{i}=(X^{\dagger })_{j}^{i}\mathbf {a} ^{j}$

${\mathcal {N}}^{-2}=\sum _{m_{i}}\sum _{n_{j}}{\frac {(z_{i}/2)^{m_{i}}(z_{j}/2)^{n_{j}}}{m!n!}}\langle \mathrm {MFT} |\prod _{i\,j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2n_{j}}|\mathrm {MFT} \rangle$

$=\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i}/2)^{2m_{i}}{\frac {(2m_{i})!}{m_{i}!^{2}}}=$

$\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i})^{2m_{i}}{1/2 \choose m_{i}}={\sqrt {\det(1-|Z|^{2})}}$

नए और पुराने उत्तेजनाओं के बीच संबंध किसके द्वारा दिया जाता है

${\tilde {\mathbf {a} }}_{i}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}+\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}Z\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}^{\dagger }$.