सार्वभौमिक सामान्यीकरण

Universal generalization

Type	Rule of inference
Field	Predicate logic
Statement	Suppose $P$ is true of any arbitrarily selected $p$, then $P$ is true of everything.
Symbolic statement	$\vdash \!P(x)$, $\vdash \!\forall x\,P(x)$

विधेय तर्क में, सामान्यीकरण (सार्वभौमिक सामान्यीकरण या सार्वभौमिक परिचय भी, GEN) अनुमान का एक वैधता (तर्क) नियम है। इसमें कहा गया है कि यदि $\vdash \!P(x)$ तब व्युत्पन्न किया गया है $\vdash \!\forall x\,P(x)$ प्राप्त किया जा सकता है।

परिकल्पनाओं के साथ सामान्यीकरण

पूर्ण सामान्यीकरण नियम घूमने वाला दरवाज़ा (प्रतीक)प्रतीक) के बाईं ओर परिकल्पना की अनुमति देता है, लेकिन प्रतिबंधों के साथ। मान लीजिए $\Gamma$ सूत्रों का एक सेट है, $\varphi$ एक सूत्र, और $\Gamma \vdash \varphi (y)$ निकाला गया है. सामान्यीकरण नियम यह बताता है $\Gamma \vdash \forall x\,\varphi (x)$ यदि प्राप्त किया जा सकता है $y$ में उल्लेख नहीं है $\Gamma$ और $x$ में नहीं होता है $\varphi$.

सुदृढ़ता के लिए ये प्रतिबंध आवश्यक हैं। पहले प्रतिबंध के बिना, कोई निष्कर्ष निकाल सकता है $\forall xP(x)$ परिकल्पना से $P(y)$. दूसरे प्रतिबंध के बिना, कोई निम्नलिखित कटौती कर सकता है:

1. $\exists z\,\exists w\,(z\not =w)$ (परिकल्पना)
2. $\exists w\,(y\not =w)$ (अस्तित्वगत तात्कालिकता)
3. $y\not =x$ (अस्तित्वगत तात्कालिकता)
4. $\forall x\,(x\not =x)$ (दोषपूर्ण सार्वभौमिक सामान्यीकरण)

इसका तात्पर्य यह दर्शाना है $\exists z\,\exists w\,(z\not =w)\vdash \forall x\,(x\not =x),$ जो एक अनुचित कटौती है. ध्यान दें कि $\Gamma \vdash \forall y\,\varphi (y)$ यदि अनुमति है $y$ में उल्लेख नहीं है $\Gamma$ (दूसरे प्रतिबंध को शब्दार्थ संरचना के रूप में लागू करने की आवश्यकता नहीं है $\varphi (y)$ किसी भी चर के प्रतिस्थापन द्वारा नहीं बदला जा रहा है)।

प्रमाण का उदाहरण

सिद्ध करना: $\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))$ से व्युत्पन्न है $\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))$ और $\forall x\,P(x)$.

सबूत:

Step	Formula	Justification
1	$\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))$	Hypothesis
2	$\forall x\,P(x)$	Hypothesis
3	$(\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x)))\rightarrow (P(y)\rightarrow Q(y))$	Universal instantiation
4	$P(y)\rightarrow Q(y)$	From (1) and (3) by Modus ponens
5	$(\forall x\,P(x))\rightarrow P(y)$	Universal instantiation
6	$P(y)\$	From (2) and (5) by Modus ponens
7	$Q(y)\$	From (6) and (4) by Modus ponens
8	$\forall x\,Q(x)$	From (7) by Generalization
9	$\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x)),\forall x\,P(x)\vdash \forall x\,Q(x)$	Summary of (1) through (8)
10	$\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\vdash \forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x)$	From (9) by Deduction theorem
11	$\vdash \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))$	From (10) by Deduction theorem

इस प्रमाण में, सार्वभौमिक सामान्यीकरण का उपयोग चरण 8 में किया गया था। कटौती प्रमेय चरण 10 और 11 में लागू था क्योंकि स्थानांतरित किए जा रहे सूत्रों में कोई मुक्त चर नहीं है।

यह भी देखें

• प्रथम-क्रम तर्क
• जल्दबाजी में सामान्यीकरण
• सार्वभौमिक तात्कालिकता