हाइपरकनेक्टेड समष्टि

For the computer networking term, see Hyperconnectivity. For hyper-connectivity in node-link graphs, see Connectivity (graph theory) § Super- and hyper-connectivity.

टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, हाइपरकनेक्टेड स्पेस या अघुलनशील स्थान टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स है जिसे दो उचित बंद सेटों (चाहे असंयुक्त या गैर-असंयुक्त) के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। बीजगणितीय ज्यामिति में इरेड्यूसिबल स्पेस नाम को प्राथमिकता दी जाती है।

टोपोलॉजिकल स्पेस X के लिए निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:

• कोई भी दो अरिक्त खुले समुच्चय असंयुक्त समुच्चय नहीं हैं।
• X को दो उचित बंद सेटों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
• प्रत्येक गैररिक्त खुला सेट X में सघन (टोपोलॉजी) है।
• प्रत्येक उचित बंद सेट का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) खाली है।
• प्रत्येक उपसमुच्चय सघन है या X में कहीं भी सघन समुच्चय नहीं है।
• किसी भी दो बिंदुओं को असंयुक्त पड़ोस द्वारा अलग नहीं किया जा सकता है।

एक स्थान जो इनमें से किसी शर्त को पूरा करता है उसे हाइपरकनेक्टेड या इरेड्यूसिबल कहा जाता है। विशिष्ट बिंदुओं के पड़ोस के बारे में स्थिति अर्थ में हॉसडॉर्फ़ अंतरिक्ष संपत्ति के विपरीत होने के कारण, कुछ लेखक ऐसे स्थानों को 'हॉसडॉर्फ़ विरोधी' कहते हैं। एक इरेड्यूसिबल सेट टोपोलॉजिकल स्पेस का उपसमुच्चय है जिसके लिए सबस्पेस टोपोलॉजी इरेड्यूसिबल है। कुछ लेखक खाली सेट को अपरिवर्तनीय नहीं मानते हैं (भले ही यह खाली सत्य उपरोक्त शर्तों को पूरा करता हो)।

उदाहरण

प्वाइंट सेट टोपोलॉजी से हाइपरकनेक्टेड स्पेस के दो उदाहरण किसी भी अनंत सेट पर सहपरिमित टोपोलॉजी और ऑर्डर टोपोलॉजी#लेफ्ट और राइट ऑर्डर टोपोलॉजी हैं। $\mathbb {R}$.

बीजगणितीय ज्यामिति में, वलय का स्पेक्ट्रम लेना, जिसका घटा हुआ वलय अभिन्न डोमेन है, इरेड्यूसेबल टोपोलॉजिकल स्पेस है - भागफल मानचित्र के स्पेक्ट्रम को दिखाने के लिए, वलय के नीलरेडिकल पर जाली प्रमेय को लागू करना, जो हर अभाज्य के भीतर है, है होमोमोर्फिज्म, यह अभिन्न डोमेन के स्पेक्ट्रम की अपरिवर्तनीयता को कम करता है। उदाहरण के लिए, योजना (गणित)s

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)$ , ${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-2z))}}\right)$

अघुलनशील हैं क्योंकि दोनों ही मामलों में आदर्श को परिभाषित करने वाले बहुपद अघुलनशील बहुपद हैं (अर्थात् उनमें कोई गैर-तुच्छ गुणनखंड नहीं है)। सामान्य क्रॉसिंग विभाजक <ब्लॉककोट> द्वारा गैर-उदाहरण दिया जाता है${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)$चूंकि अंतर्निहित स्थान एफ़िन विमानों का मिलन है $\mathbb {A} _{x,y}^{2}$, $\mathbb {A} _{x,z}^{2}$, और $\mathbb {A} _{y,z}^{2}$. और गैर-उदाहरण योजना<ब्लॉककोट> द्वारा दिया गया है${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)$</ब्लॉकक्वॉट>कहां $f_{4}$ अपरिवर्तनीय डिग्री 4 सजातीय बहुपद है। यह दो जीनस 3 वक्रों का मिलन है (जीनस-डिग्री सूत्र द्वारा)<ब्लॉककोट>${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)$</ब्लॉककोट>

हाइपरकनेक्टेडनेस बनाम कनेक्टिविटी

प्रत्येक हाइपरजुड़ा हुआ स्थान कनेक्टेड स्पेस और स्थानीय रूप से कनेक्टेड दोनों होता है (हालांकि जरूरी नहीं कि पथ से जुड़ा हुआ या स्थानीय रूप से पथ-कनेक्टेड हो)।

ध्यान दें कि हाइपर-कनेक्टेडनेस की परिभाषा में, बंद सेटों का असंयुक्त होना जरूरी नहीं है। यह जुड़ाव की परिभाषा के विपरीत है, जिसमें खुले सेट असंयुक्त होते हैं।

उदाहरण के लिए, मानक टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं का स्थान जुड़ा हुआ है लेकिन हाइपरकनेक्टेड नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसे दो असंयुक्त खुले सेटों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, लेकिन इसे दो (गैर-असंगठित) बंद सेटों के मिलन के रूप में लिखा जा सकता है।

गुण

• हाइपरकनेक्टेड स्पेस के गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय इस अर्थ में बड़े हैं कि प्रत्येक एक्स में सघन है और उनमें से कोई भी जोड़ा प्रतिच्छेद करता है। इस प्रकार, हाइपरकनेक्टेड स्पेस हॉसडॉर्फ स्पेस नहीं हो सकता जब तक कि इसमें केवल बिंदु न हो।
• प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड स्पेस कनेक्टेड स्पेस और स्थानीय रूप से कनेक्टेड दोनों होता है (हालांकि जरूरी नहीं कि पथ-कनेक्टेड या स्थानीय रूप से पथ-कनेक्टेड हो)।
• चूंकि हाइपरकनेक्टेड स्पेस में प्रत्येक गैर-रिक्त खुले सेट का बंद होना संपूर्ण स्थान है, जो खुला सेट है, प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड स्पेस अत्यधिक डिस्कनेक्टेड स्पेस है।
• हाइपरकनेक्टेड स्पेस की निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) छवि हाइपरकनेक्टेड है। विशेष रूप से, हाइपरकनेक्टेड स्पेस से हॉसडॉर्फ स्पेस तक कोई भी निरंतर कार्य स्थिर होना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक हाइपरकनेक्टेड स्पेस छद्मकॉम्पैक्ट स्थान है।
• हाइपरकनेक्टेड स्पेस का प्रत्येक खुला उपस्पेस हाइपरकनेक्टेड होता है।

प्रमाण: चलो $U\subset X$ खुला उपसमुच्चय बनें. के कोई भी दो असंयुक्त खुले उपसमुच्चय $U$ स्वयं के असंयुक्त खुले उपसमुच्चय होंगे $X$. तो उनमें से कम से कम खाली होना चाहिए।

• अधिक सामान्यतः, हाइपरकनेक्टेड स्पेस का प्रत्येक सघन उपसमुच्चय हाइपरकनेक्टेड होता है।

प्रमाण: मान लीजिए $S$ का सघन उपसमुच्चय है $X$ और $S=S_{1}\cup S_{2}$ साथ $S_{1}$, $S_{2}$ बंद किया $S$. तब $X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}$. तब से $X$ हाइपरकनेक्टेड है, दो क्लोजर में से संपूर्ण स्थान है $X$, कहना ${\overline {S_{1}}}=X$. इसका अर्थ यह है कि $S_{1}$ में सघन है $S$, और चूंकि यह अंदर बंद है $S$, यह बराबर होना चाहिए $S$.

• हाइपरकनेक्टेड स्पेस के बंद उपस्पेस को हाइपरकनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

प्रतिउदाहरण:$\Bbbk ^{2}$ साथ $\Bbbk$ बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड (इस प्रकार अनंत) हाइपरकनेक्टेड है ज़ारिस्की टोपोलॉजी में, जबकि $V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}$ बंद है और हाइपरकनेक्टेड नहीं है.

• किसी भी अपरिवर्तनीय सेट का समापन (टोपोलॉजी) अपरिवर्तनीय है।

प्रमाण: मान लीजिए $S\subseteq X$ कहाँ $S$ अपरिवर्तनीय है और लिखो $\operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G$ दो बंद उपसमुच्चय के लिए $F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)$ (और इस प्रकार में $X$). $F':=F\cap S,\,G':=G\cap S$ में बंद हैं $S$ और $S=F'\cup G'$ जो ये दर्शाता हे $S\subseteq F$ या $S\subseteq G$, परन्तु फिर $\operatorname {Cl} _{X}(S)=F$ या $\operatorname {Cl} _{X}(S)=G$ क्लोजर (टोपोलॉजी) की परिभाषा के अनुसार।

• एक स्थान $X$ जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है $X=U_{1}\cup U_{2}$ साथ $U_{1},U_{2}\subset X$ खुला और अघुलनशील ऐसा कि $U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ अपरिवर्तनीय है.

प्रमाण: सबसे पहले, हम देखते हैं कि यदि $V$ गैर-रिक्त खुला सेट है $X$ तब यह दोनों को काट देता है $U_{1}$ और $U_{2}$; वास्तव में, मान लीजिए $V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset$, तब $V_{1}$ में सघन है $U_{1}$, इस प्रकार $\exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ और $x\in U_{2}$ के बंद होने का बिंदु है $V_{1}$ जो ये दर्शाता हे $V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ और फ़ोर्टिओरी $V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset$. अब $V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}$ और क्लोजर ले रहा हूं $\operatorname {Cl} _{X}(V)\supseteq {\operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})\cup {\operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=U_{1}\cup U_{2}=X,$ इसलिए $V$ का गैर-रिक्त खुला और सघन उपसमुच्चय है $X$. चूँकि यह प्रत्येक गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय के लिए सत्य है, $X$ अपरिवर्तनीय है.

अघुलनशील घटक

एक अपरिवर्तनीय घटक टोपोलॉजिकल स्पेस में अधिकतम इरेड्यूसिबल उपसमुच्चय होता है (अर्थात इरेड्यूसेबल सेट जो किसी भी बड़े इरेड्यूसेबल सेट में शामिल नहीं होता है)। इरेड्यूसिबल घटक हमेशा बंद रहते हैं।

किसी स्थान विशेषकर, X का प्रत्येक बिंदु सामान्य तौर पर, अपरिवर्तनीय घटक ओवरलैप होंगे।

हॉसडॉर्फ़ स्थान के अपरिवर्तनीय घटक केवल सिंगलटन सेट हैं।

चूँकि प्रत्येक इरेड्यूसिबल स्थान जुड़ा हुआ है, इरेड्यूसेबल घटक हमेशा जुड़े हुए घटकों में स्थित रहेंगे।

प्रत्येक नोथेरियन टोपोलॉजिकल स्पेस में सीमित रूप से कई अपरिवर्तनीय घटक होते हैं।

यह भी देखें

• अल्ट्राकनेक्टेड स्पेस
• शांत स्थान
• ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय

संदर्भ

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• "Hyperconnected space". PlanetMath.