बीजगणितीय विविधताओं का मॉर्फिज्म

"Biregular" redirects here. For the graph theory concept, see Biregular graph.

बीजगणितीय ज्यामिति में, बीजगणितीय किस्मों के बीच एक रूपवाद उन किस्मों के बीच एक कार्य है जो स्थानीय रूप से बहुपदों द्वारा दिया जाता है। इसे नियमित मानचित्र भी कहा जाता है। बीजगणितीय विविधता से एफ़िन लाइन तक के रूपवाद को नियमित फ़ंक्शन भी कहा जाता है। एक नियमित मानचित्र जिसका व्युत्क्रम भी नियमित होता है, द्विनियमित कहलाता है, और द्विनियमित मानचित्र बीजगणितीय किस्मों की समरूपताएँ हैं। क्योंकि नियमित और द्विनियमित बहुत ही प्रतिबंधात्मक स्थितियाँ हैं - प्रक्षेप्य विविधता पर कोई गैर-निरंतर नियमित कार्य नहीं हैं - तर्कसंगत मानचित्र और द्विवार्षिक मानचित्र की अवधारणाओं का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है; वे आंशिक फलन हैं जिन्हें स्थानीय रूप से बहुपदों के बजाय तर्कसंगत भिन्नों द्वारा परिभाषित किया जाता है।

एक बीजगणितीय किस्म में स्वाभाविक रूप से स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान की संरचना होती है; बीजगणितीय किस्मों के बीच एक रूपवाद वास्तव में अंतर्निहित स्थानीय रिंग वाले स्थानों का एक रूपवाद है।

परिभाषा

यदि X और Y की बंद उप-किस्में हैं $\mathbb {A} ^{n}$ और $\mathbb {A} ^{m}$ (इसलिए वे एफ़िन किस्में हैं), फिर एक नियमित मानचित्र $f\colon X\to Y$ बहुपद मानचित्र का प्रतिबंध है $\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}$. स्पष्ट रूप से, इसका रूप है:

$f=(f_{1},\dots ,f_{m})$

जहां $f_{i}$s, X के निर्देशांक वलय में हैं:

$k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,$

जहां I, X को परिभाषित करने वाला आदर्श (रिंग सिद्धांत) है (ध्यान दें: दो बहुपद f और g, X पर समान फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं यदि और केवल यदि f - g I में है)। छवि f(X) Y में स्थित है, और इसलिए Y के परिभाषित समीकरणों को संतुष्ट करती है। यानी, एक नियमित मानचित्र $f:X\to Y$ एक बहुपद मानचित्र के प्रतिबंध के समान है जिसके घटक परिभाषित समीकरणों को संतुष्ट करते हैं $Y$.

अधिक आम तौर पर, दो अमूर्त विविधताओं के बीच एक नक्शा f:X→Y 'एक बिंदु पर नियमित' x होता है यदि x का पड़ोस U और f(x) का पड़ोस V है जैसे कि f(U) ⊂ V और प्रतिबंधित फ़ंक्शन f:U→V, U और V के कुछ एफ़िन चार्ट पर एक फ़ंक्शन के रूप में नियमित है। फिर f को 'नियमित' कहा जाता है, यदि यह X के सभी बिंदुओं पर नियमित है।

• 'नोट:' यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि दोनों परिभाषाएँ मेल खाती हैं: यदि साथ ही, यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि क्या नियमितता एफ़िन चार्ट की पसंद पर निर्भर करती है (ऐसा नहीं है)।) हालाँकि, यदि कोई औपचारिक परिभाषा अपनाता है तो इस प्रकार की स्थिरता का मुद्दा गायब हो जाता है। औपचारिक रूप से, एक (अमूर्त) बीजगणितीय विविधता को एक विशेष प्रकार के स्थानीय रिंग वाले स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है। जब इस परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो किस्मों का रूपवाद स्थानीय रूप से चक्रित स्थानों का रूपवाद मात्र होता है।

नियमित मानचित्रों की संरचना पुनः नियमित होती है; इस प्रकार, बीजगणितीय किस्में बीजगणितीय ज्यामिति#एफ़िन किस्मों की आकृतिवाद बनाती हैं जहां रूपवाद नियमित मानचित्र होते हैं।

एफ़िन किस्मों के बीच नियमित मानचित्र समन्वय रिंगों के बीच एक-से-एक बीजगणित समरूपता में विपरीत रूप से मेल खाते हैं: यदि f:X→Y एफ़िन किस्मों का एक रूपवाद है, तो यह बीजगणित समरूपता को परिभाषित करता है

$f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f$

कहाँ $k[X],k[Y]$ X और Y के निर्देशांक वलय हैं; तब से यह अच्छी तरह से परिभाषित है $g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})$ के तत्वों में एक बहुपद है $k[X]$. इसके विपरीत, यदि $\phi :k[Y]\to k[X]$ एक बीजगणित समरूपता है, तो यह रूपवाद को प्रेरित करता है

$\phi ^{a}:X\to Y$

द्वारा दिया गया: लेखन $k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,$

$\phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))$

कहाँ ${\overline {y}}_{i}$ की छवियां हैं $y_{i}$'एस। टिप्पणी ${\phi ^{a}}^{\#}=\phi$ साथ ही ${f^{\#}}^{a}=f.$ विशेष रूप से, एफ एफ़िन किस्मों का एक समरूपता है यदि और केवल यदि एफ^#निर्देशांक वलय का एक समरूपता है।

उदाहरण के लिए, यदि^#Y से X पर नियमित कार्यों का प्रतिबंध है। अधिक उदाहरणों के लिए नीचे #उदाहरण देखें।

नियमित कार्य

विशेष मामले में कि Y, A के बराबर है¹नियमित मानचित्र f:X→'A'¹को नियमित फलन कहा जाता है, और विभेदक ज्यामिति में अध्ययन किए गए सुचारु फलनों के बीजगणितीय एनालॉग हैं। नियमित कार्यों का वलय (जो समन्वय वलय या अधिक संक्षेप में संरचना शीफ ​​के वैश्विक खंडों का वलय है) एफ़िन बीजगणितीय ज्यामिति में एक मौलिक वस्तु है। प्रक्षेप्य विविधता पर एकमात्र नियमित कार्य स्थिर है (इसे लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) के बीजगणितीय एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है। जटिल विश्लेषण में लिउविले का प्रमेय)।

एक अदिश फलन f:X→A¹ एक बिंदु x पर नियमित है यदि, x के कुछ खुले एफ़िन पड़ोस में, यह एक तर्कसंगत कार्य है जो x पर नियमित है; यानी, x के निकट नियमित फलन g, h इस प्रकार हैं कि f = g/h और x पर h लुप्त नहीं होता है। सावधानी: शर्त कुछ जोड़ी (जी, एच) के लिए है, सभी जोड़ियों (जी, एच) के लिए नहीं; #उदाहरण देखें.

यदि X एक अर्ध-प्रक्षेपी किस्म है; यानी, एक प्रक्षेप्य किस्म की एक खुली उप-विविधता, तो फ़ंक्शन फ़ील्ड k(X) क्लोजर के समान है ${\overline {X}}$ एक्स का और इस प्रकार एक्स पर एक तर्कसंगत फ़ंक्शन कुछ सजातीय तत्वों के लिए जी/एच के रूप का है, सजातीय समन्वय रिंग में समान डिग्री के जी, एच $k[{\overline {X}}]$ का ${\overline {X}}$ (सीएफ. प्रक्षेप्य विविधता#विविधता संरचना।) तब एक्स पर एक तर्कसंगत फ़ंक्शन एफ एक बिंदु एक्स पर नियमित होता है यदि और केवल तभी जब इसमें समान डिग्री के कुछ सजातीय तत्व जी, एच हों $k[{\overline {X}}]$ जैसे कि f = g/h और h x पर लुप्त नहीं होता है। इस लक्षण वर्णन को कभी-कभी एक नियमित कार्य की परिभाषा के रूप में लिया जाता है।

योजनाओं के रूपवाद के साथ तुलना

यदि एक्स = स्पेक ए और वाई = स्पेक बी एफ़िन योजनाएं हैं, तो प्रत्येक रिंग समरूपता है φ : B → A एक रूपवाद निर्धारित करता है

$\phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})$

प्रमुख आदर्शों की छवि (गणित)|पूर्व-छवियाँ लेकर। एफ़िन योजनाओं के बीच सभी रूपवाद इस प्रकार के होते हैं और ऐसे रूपवादों को जोड़ने से सामान्य रूप से योजनाओं का एक रूपवाद प्राप्त होता है।

अब, यदि X, Y एफ़िन किस्में हैं; यानी, ए, बी अभिन्न डोमेन हैं जो बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड के पर अंतिम रूप से उत्पन्न बीजगणित हैं, फिर, केवल बंद बिंदुओं के साथ काम करते हुए, उपरोक्त #परिभाषा में दी गई परिभाषा से मेल खाता है। (प्रमाण: यदि f : X → Y एक रूपवाद है, फिर लिखना $\phi =f^{\#}$, हमें दिखाने की जरूरत है

${\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})$

कहाँ ${\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}$ बिंदु x और f(x) के संगत अधिकतम आदर्श हैं; अर्थात।, ${\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}$. यह तत्काल है।)

इस तथ्य का अर्थ है कि एफ़िन किस्मों की श्रेणी को k से अधिक एफ़िन योजनाओं की पूर्ण उपश्रेणी के साथ पहचाना जा सकता है। चूँकि किस्मों की आकृतियाँ एफ़िन किस्मों की आकृतियों को चिपकाकर प्राप्त की जाती हैं, उसी प्रकार योजनाओं की आकृतियाँ एफ़िन योजनाओं की आकृतियों को चिपकाकर प्राप्त की जाती हैं, यह इस प्रकार है कि किस्मों की श्रेणी k से अधिक योजनाओं की श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी है।

अधिक विवरण के लिए, [1] देखें।

उदाहरण

See also: Morphism of schemes § Examples

• ए पर नियमित कार्यⁿ बिल्कुल n चरों में बहुपद और 'P' पर नियमित फलन हैंⁿ बिल्कुल स्थिरांक हैं।
• मान लीजिए कि X एफ़िन वक्र है $y=x^{2}$. तब
  $$f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x$$
  एक रूपवाद है; यह व्युत्क्रम के साथ विशेषण है $g(x)=(x,x^{2})$. चूँकि g भी एक रूपवाद है, f किस्मों का एक समरूपता है।
• मान लीजिए कि X एफ़िन वक्र है $y^{2}=x^{3}+x^{2}$. तब
  $$f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)$$
  एक रूपवाद है. यह वलय समरूपता से मेल खाता है
  $$f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),$$
  जिसे विशेषण के रूप में देखा जाता है (चूँकि f विशेषण है)।
• पिछले उदाहरण को जारी रखते हुए, मान लीजिए U = 'A'¹--{1}. चूँकि U हाइपरप्लेन t = 1 का पूरक है, U एफ़िन है। प्रतिबंध $f:U\to X$ वस्तुनिष्ठ है. लेकिन संगत वलय समरूपता समावेशन है $k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]$, जो एक समरूपता नहीं है और इसलिए प्रतिबंध f | है_U एक समरूपता नहीं है.
• मान लीजिए कि X एफ़िन वक्र x है²+और²=1 और चलो
  $$f(x,y)={1-y \over x}.$$
  तब f, X पर एक परिमेय फलन है। अभिव्यक्ति के बावजूद यह (0, 1) पर नियमित है, क्योंकि, X पर एक परिमेय फलन के रूप में, f को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है $f(x,y)={x \over 1+y}$.
• होने देना X = A² − (0, 0). फिर X एक बीजगणितीय किस्म है क्योंकि यह एक किस्म का खुला उपसमुच्चय है। यदि f, X पर एक नियमित फलन है, तो f नियमित रूप से चालू है $D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}$ और इसी तरह अंदर भी है $k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]$. इसी प्रकार, यह में है $k[x,y,y^{-1}]$. इस प्रकार, हम लिख सकते हैं:
  $$f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}$$
  जहाँ g, h k[x, y] में बहुपद हैं। लेकिन इसका तात्पर्य यह है कि g, x से विभाज्य हैⁿऔर इसलिए f वास्तव में एक बहुपद है। इसलिए, X पर नियमित फलनों का वलय केवल k[x, y] है। (इससे यह भी पता चलता है कि X को एफ़िन नहीं किया जा सकता क्योंकि यदि ऐसा होता, तो².)
• कल्पना करना $\mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}$ 'ए' पर बिंदु x के साथ बिंदुओं (x : 1) की पहचान करके¹और ∞ = (1 : 0). P का एक ऑटोमोर्फिज्म σ है¹ द्वारा दिया गया σ(x : y) = (y : x); विशेष रूप से, σ 0 और ∞ का आदान-प्रदान करता है। यदि 'P' पर f एक परिमेय फलन है¹, तो
  $$\sigma ^{\#}(f)=f(1/z)$$
  और f ∞ पर नियमित है यदि और केवल यदि f(1/z) शून्य पर नियमित है।
• एक अपरिवर्तनीय किस्म के बीजगणितीय वक्र V के बीजगणितीय किस्म k(V) के फ़ंक्शन फ़ील्ड को लेते हुए, फ़ंक्शन फ़ील्ड में फ़ंक्शन F को V से k के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा तक आकारिकी के रूप में महसूस किया जा सकता है। (cf. #Properties) छवि या तो एक बिंदु होगी, या संपूर्ण प्रक्षेप्य रेखा होगी (यह प्रक्षेप्य किस्मों की पूर्णता का परिणाम है)। अर्थात्, जब तक F वास्तव में स्थिर न हो, हमें V के कुछ बिंदुओं पर F का मान ∞ देना होगा।
• किसी भी बीजगणितीय किस्मों X, Y के लिए, प्रक्षेपण
  $$p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x$$
  किस्मों का एक रूपवाद है। यदि X और Y एफ़िन हैं, तो संगत वलय समरूपता है
  $$p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1$$
  कहाँ $(f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)$.

गुण

स्रोत और लक्ष्य पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी के संबंध में किस्मों के बीच एक रूपवाद निरंतर मानचित्र है।

किस्मों के रूपवाद की छवि को न तो खुला होना चाहिए और न ही बंद होना चाहिए (उदाहरण के लिए, की छवि)। $\mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)$ न तो खुला है और न ही बंद है)। हालाँकि, कोई अभी भी कह सकता है: यदि एफ किस्मों के बीच एक रूपवाद है, तो एफ की छवि में इसके समापन का एक खुला घना उपसमुच्चय शामिल है। (सीएफ. रचनात्मक सेट (टोपोलॉजी)।)

बीजगणितीय किस्मों के एक रूपवाद f:X→Y को प्रभावी कहा जाता है यदि इसकी छवि सघन हो। ऐसे f के लिए, यदि V, Y का एक गैर-रिक्त खुला एफ़िन उपसमुच्चय है, तो X का एक गैर-रिक्त खुला एफ़िन उपसमुच्चय U है, जैसे कि f(U) ⊂ V और फिर $f^{\#}:k[V]\to k[U]$ इंजेक्शन है. इस प्रकार, प्रमुख मानचित्र f फ़ंक्शन फ़ील्ड के स्तर पर एक इंजेक्शन प्रेरित करता है:

$k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f$

जहां सीमा Y के सभी गैर-रिक्त खुले एफ़िन उपसमुच्चय पर चलती है। (अधिक संक्षेप में, यह Y के सामान्य बिंदु के अवशेष क्षेत्र से X के अवशेष क्षेत्र तक प्रेरित मानचित्र है।) इसके विपरीत, फ़ील्ड का प्रत्येक समावेश $k(Y)\hookrightarrow k(X)$ X से Y तक एक प्रमुख तर्कसंगत मानचित्र द्वारा प्रेरित है। इसलिए, उपरोक्त निर्माण एक क्षेत्र k पर बीजगणितीय किस्मों की श्रेणी और उनके बीच प्रमुख तर्कसंगत मानचित्रों और k के अंतिम रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार की श्रेणी के बीच एक विरोधाभास-समतुल्यता निर्धारित करता है।

यदि X एक सहज पूर्ण वक्र है (उदाहरण के लिए, 'P'¹) और यदि f, X से प्रक्षेप्य स्थान 'P' तक का एक तर्कसंगत मानचित्र है^m, तो f एक नियमित मानचित्र है X → 'P'^म. विशेष रूप से, जब¹और, इसके विपरीत, एक्स पर एक तर्कसंगत कार्य के रूप में ऐसा रूपवाद। एक सामान्य किस्म (विशेष रूप से, एक चिकनी किस्म) पर, एक तर्कसंगत कार्य नियमित होता है यदि और केवल तभी जब इसमें कोडिमेंशन एक का कोई ध्रुव न हो। यह हार्टोग्स के विस्तार प्रमेय का बीजगणितीय एनालॉग है। इस तथ्य का एक सापेक्ष संस्करण भी है; [2] देखें।

बीजगणितीय किस्मों के बीच एक रूपवाद जो अंतर्निहित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच एक होमियोमोर्फिज्म है, उसे आइसोमोर्फिज्म होने की आवश्यकता नहीं है (एक प्रति उदाहरण फ्रोबेनियस रूपवाद द्वारा दिया गया है) $t\mapsto t^{p}$.) दूसरी ओर, यदि f विशेषण द्विवार्षिक है और f का लक्ष्य स्थान एक सामान्य किस्म है, तो f द्विनियमित है। (सीएफ. ज़ारिस्की का मुख्य प्रमेय।)

जटिल बीजगणितीय विविधता के बीच एक नियमित मानचित्र एक होलोमोर्फिक मानचित्र है। (वास्तव में थोड़ा सा तकनीकी अंतर है: एक नियमित मानचित्र एक मेरोमोर्फिक मानचित्र होता है जिसके एकवचन बिंदु हटाने योग्य विलक्षणता होते हैं, लेकिन व्यवहार में अंतर को आमतौर पर नजरअंदाज कर दिया जाता है।) विशेष रूप से, जटिल संख्याओं में एक नियमित मानचित्र केवल एक सामान्य होलोमोर्फिक फ़ंक्शन होता है ( जटिल-विश्लेषणात्मक कार्य)।

एक प्रक्षेप्य स्थान के लिए आकृतियाँ

होने देना

$f:X\to \mathbf {P} ^{m}$

एक प्रक्षेप्य विविधता से एक प्रक्षेप्य स्थान तक एक रूपवाद बनें। मान लीजिए कि x, X का एक बिंदु है। तब f(x) का कुछ i-वें सजातीय निर्देशांक अशून्य है; कहें, सरलता के लिए i = 0। फिर, निरंतरता से, x का एक खुला एफ़िन पड़ोस U इस प्रकार है

$f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}$

एक रूपवाद है, जहाँ y_i सजातीय निर्देशांक हैं. ध्यान दें कि लक्ष्य स्थान एफ़िन स्पेस ए है^मपहचान के माध्यम से $(a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})$. इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, प्रतिबंध f |_U द्वारा दिया गया है

$f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))$

कहाँ जी_iयू पर नियमित कार्य हैं। चूंकि एक्स प्रक्षेप्य है, प्रत्येक जी_i X के सजातीय निर्देशांक वलय k[X] में समान डिग्री के सजातीय तत्वों का एक अंश है। हम भिन्नों को व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि उन सभी का एक ही सजातीय हर हो, मान लीजिए f₀. तब हम g लिख सकते हैं_i = एफ_i/एफ₀ कुछ सजातीय तत्वों के लिए एफ_i'k[X] में है। इसलिए, सजातीय निर्देशांक पर वापस जा रहे हैं,

$f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))$

यू में सभी एक्स के लिए और एक्स में सभी एक्स के लिए निरंतरता द्वारा जब तक एफ_ix पर एक साथ लुप्त नहीं होता। यदि वे X के बिंदु x पर एक साथ गायब हो जाते हैं, तो, उपरोक्त प्रक्रिया द्वारा, कोई व्यक्ति f का एक अलग सेट चुन सकता है_iजो x पर एक साथ गायब नहीं होते हैं (अनुभाग के अंत में नोट देखें।)

वास्तव में, उपरोक्त विवरण किसी भी अर्ध-प्रोजेक्टिव किस्म एक्स के लिए मान्य है, जो एक प्रोजेक्टिव किस्म की एक खुली उप-किस्म है ${\overline {X}}$; अंतर यह है कि एफ_iके सजातीय समन्वय वलय में हैं ${\overline {X}}$.

ध्यान दें: ऊपर यह नहीं कहा गया है कि एक प्रक्षेप्य विविधता से एक प्रक्षेप्य स्थान तक का रूपवाद बहुपदों के एक सेट द्वारा दिया जाता है (एफ़िन केस के विपरीत)। उदाहरण के लिए, मान लीजिए X शंकु है $y^{2}=xz$ पी में². फिर दो मानचित्र $(x:y:z)\mapsto (x:y)$ और $(x:y:z)\mapsto (y:z)$ खुले उपसमुच्चय पर सहमत हों $\{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}$ एक्स का (तब से) $(x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)$) और इसलिए रूपवाद को परिभाषित करता है $f:X\to \mathbf {P} ^{1}$.

एक रूपवाद के रेशे

महत्वपूर्ण तथ्य यह है:

Theorem — Let f: X → Y be a dominating (i.e., having dense image) morphism of algebraic varieties, and let r = dim X − dim Y. Then

1. For every irreducible closed subset W of Y and every irreducible component Z of $f^{-1}(W)$ dominating W,

   $\dim Z\geq \dim W+r.$

2. There exists a nonempty open subset U in Y such that (a) $U\subset f(X)$ and (b) for every irreducible closed subset W of Y intersecting U and every irreducible component Z of $f^{-1}(W)$ intersecting $f^{-1}(U)$,

   $\dim Z=\dim W+r.$

Corollary — Let f: X → Y be a morphism of algebraic varieties. For each x in X, define

$e(x)=\max\{\dim Z\mid Z{\text{ an irreducible component of }}f^{-1}(f(x)){\text{ containing }}x\}.$

Then e is upper-semicontinuous; i.e., for each integer n, the set

$X_{n}=\{x\in X\mid e(x)\geq n\}$

is closed.

ममफोर्ड की लाल किताब में, प्रमेय को नोएदर के सामान्यीकरण लेम्मा के माध्यम से सिद्ध किया गया है। एक बीजगणितीय दृष्टिकोण के लिए जहां सामान्य स्वतंत्रता एक मुख्य भूमिका निभाती है और सार्वभौमिक रूप से कैटेनरी रिंग की धारणा प्रमाण में एक कुंजी है, ईसेनबड, च देखें। बीजगणितीय ज्यामिति की ओर एक दृष्टिकोण के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित का 14। वास्तव में, वहाँ प्रमाण से पता चलता है कि यदि एफ फ्लैट आकारवाद है, तो प्रमेय के 2 में आयाम समानता सामान्य रूप से लागू होती है (केवल सामान्य रूप से नहीं)।

See also: Zariski's connectedness theorem

एक परिमित रूपवाद की डिग्री

मान लीजिए f: X → Y एक क्षेत्र k पर बीजगणितीय किस्मों के बीच एक परिमित रूपवाद विशेषण रूपवाद है। फिर, परिभाषा के अनुसार, f की डिग्री f पर फ़ंक्शन फ़ील्ड k(X) के परिमित फ़ील्ड विस्तार की डिग्री है^*k(Y). सामान्य फ़्रीनेस के अनुसार, Y में कुछ गैर-रिक्त खुला उपसमुच्चय U है, जैसे कि संरचना शीफ़ O का प्रतिबंध_X को f⁻¹(U) मॉड्यूल के शीफ के रूप में मुफ़्त है|O_Y|_U-मापांक। फिर f की डिग्री इस निःशुल्क मॉड्यूल की रैंक भी है।

यदि f étale morphism|étale है और यदि X, Y पूर्ण विविधता है, तो Y पर किसी भी सुसंगत शीफ़ F के लिए, यूलर विशेषता के लिए χ लिखना,

$\chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).$

(एक व्यापक आवरण के लिए रीमैन-हर्विट्ज़ फॉर्मूला दिखाता है कि यहां ईटेल को छोड़ा नहीं जा सकता है।)

सामान्य तौर पर, यदि एफ एक परिमित विशेषण रूपवाद है, यदि एक्स, वाई पूर्ण विविधता है और एफ वाई पर एक सुसंगत शीफ है, तो लेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम से $\operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)$, किसी को मिलता है:

$\chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).$

विशेष रूप से, यदि F एक टेंसर शक्ति है $L^{\otimes n}$ फिर एक लाइन बंडल का $R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}$ और के समर्थन के बाद से $R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ यदि q सकारात्मक है, तो इसका सकारात्मक कोड आयाम है, प्रमुख शब्दों की तुलना करने पर, किसी के पास यह है:

$\operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)$

(के सामान्य रैंक के बाद से $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ एफ की डिग्री है)

यदि f étale है और k बीजगणितीय रूप से बंद है, तो प्रत्येक ज्यामितीय फाइबर f⁻¹(y) में बिल्कुल deg(f) अंक होते हैं।

See also: Degree of a continuous mapping

यह भी देखें

• बीजीय फलन
• चिकनी रूपवाद
• एटले मोर्फिज्म - स्थानीय भिन्नता का बीजगणितीय एनालॉग।
• विलक्षणताओं का समाधान
• संकुचन रूपवाद

संदर्भ

• Fulton, William (1998). Intersection Theory. Springer Science. ISBN 978-0-387-98549-7.
• Harris, Joe (1992). Algebraic Geometry, A First Course. Springer Verlag. ISBN 978-1-4757-2189-8.
• Hartshorne, Robin (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• Milne, Algebraic geometry, old version v. 5.xx.
• Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (2nd ed.). Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 354063293X.
• Shafarevich, Igor R. (2013). Basic Algebraic Geometry 1. Springer Science. ISBN 978-0-387-97716-4.
• Silverman, Joseph H. (2009). The Arithmetic of Elliptic Curves (2nd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6.