स्थानीय भिन्नता

गणित में, अधिक विशेष रूप से अवलकनीय सांस्थिति, स्थानीय अवकलनीय तद्वता सामान्य रूप से फलन (गणित) है जो सम प्रसमष्‍टि के बीच है जो स्थानीय अवलकनीय संरचना को संरक्षित करता है। स्थानीय अवकलनीय तद्वता की औपचारिक परिभाषा नीचे दी गई है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए $X$ और $Y$ अलग-अलग प्रसमष्‍टि हो। फलन (गणित) $f:X\to Y$ एक स्थानीय अवकलनीय तद्वता है, यदि प्रत्येक बिंदु $x\in X$ के लिए एक $x$ युक्त विवृत समुच्चय $U$ सम्मिलित है, जैसे कि $f(U),$ $Y$ में विवृत है और

$$f\vert _{U}:U\to f(U)$$

डिफियोमोर्फिज्म (अवकलनीय तद्वता) है।

स्थानीय अवकलनीय तद्वता अंतर्वेशन (गणित) $f:X\to Y$ का एक विशेष मामला है, जहां स्थानीय रूप से $f$ के अंतर्गत $U$ की छवि (गणित) $f(U)$ मे $Y$ के उप-प्रसमष्‍टि की अलग-अलग संरचना होती है तब $f(U)$ और $X$ का आयाम $Y$ से कम हो सकता है।

विशेषीकरण

मानचित्र एक स्थानीय अवकलनीय तद्वता है यदि और केवल यदि यह एक सरल अंतर्वेशन (गणित) (सरल स्थानीय अंत:स्थापन) और एक विवृत मानचित्र है।

व्युत्क्रम फलन प्रमेय का तात्पर्य है कि सरल मानचित्र $f:M\to N$ स्थानीय अवकलनीय तद्वता है यदि और केवल यदि व्युत्पन्न $Df_{p}:T_{p}M\to T_{f(p)}N$ सभी बिंदुओं $p\in M$ के लिए एक रेखीय समरूपता है इसका अर्थ यह है कि $M$ और $N$ समान आयाम होना चाहिए।

मानचित्र $f:X\to Y$ समान आयाम के दो जुड़े प्रसमष्‍टि के बीच ($\operatorname {dim} X=\operatorname {dim} Y$) स्थानीय अवकलनीय तद्वता है यदि और केवल यदि यह सरल अंतर्वेशन (गणित) (सरल स्थानीय अंत:स्थापन) है, या समकक्ष, यदि और केवल यदि यह एक सरल सबमर्सन (गणित) है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक सुचारू अंतर्वेशन स्थानीय रूप से एकैकी फलन है, जबकि प्रक्षेत्र का व्युत्क्रम यह गारंटी (प्रत्याभूति) देता है कि समान आयामों के प्रसमष्‍टि के बीच कोई भी निरंतर एकैकी फलन आवश्यक रूप से विवृत मानचित्र है।

चर्चा

प्रमाण के लिए, यद्यपि सभी प्रसमष्‍टि स्थानीय रूप से समान दिखते हों (जैसे $\mathbb {R} ^{n}$ कुछ $n$ के लिए) सांस्थितिक अर्थ में, यह पूछना स्वाभाविक है कि क्या उनकी अलग-अलग संरचनाएं स्थानीय स्तर पर समान तरीके से व्यवहार करती हैं। उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} ^{4}$ पर दो अलग-अलग संरचनाओं को लगाया जा सकता है जो $\mathbb {R} ^{4}$ अलग-अलग प्रसमष्‍टि में बनाते है, लेकिन दोनों संरचनाएं स्थानीय रूप से भिन्न नहीं हैं (नीचे देखें)। हालांकि स्थानीय अवकलनीय तद्वता स्थानीय रूप से अलग-अलग संरचना को संरक्षित करती है, यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रक्षेत्र संपूर्ण (सरल) सामान्य प्रसमष्‍टि है, इन (स्थानीय) अवकलनीय तद्वता को निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, 2-क्षेत्र से यूक्लिडियन 2-समष्टि तक कोई वैश्विक अवकलनीय तद्वता नहीं हो सकती है, हालांकि उनके पास वास्तव में एक ही स्थानीय अवकलनीय संरचना है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सभी स्थानीय अवकलनीय तद्वता सतत फलन (सांस्थिति) हैं, एक सुसंहत समष्टि की निरंतर छवि संहत है, क्षेत्र सुसंहत है जबकि यूक्लिडियन 2-समष्टि नहीं है।

गुण

यदि दो प्रसमष्‍टि के बीच एक स्थानीय अवकलनीय तद्वता सम्मिलित है तो उनके आयाम बराबर होना चाहिए। प्रत्येक स्थानीय अवकलनीय तद्वता भी एक स्थानीय सम-आकारिता है और इसलिए एक स्थानीय रूप से एकैकी फलन विवृत मानचित्र है। स्थानीय डिफियोमोर्फिज्म मे $n$ का स्थिरांक पद (अंतर सांस्थिति) होता है

उदाहरण

एक अवकलनीय तद्वता एक विशेषण स्थानीय अवकलनीय तद्वता है। मानचित्र को आच्छादन करने वाले प्रसमष्‍टि पर और उनके बीच एक सरल फलन स्थानीय अवकलनीय तद्वता है जैसे कि लक्ष्य के प्रत्येक बिंदु में प्रतिवेश (गणित) है है जो समान रूप से मानचित्र द्वारा आच्छादित किया गया है।

स्थानीय परिमाण अवकलनीय तद्वता

See also: परिमाण (गणित)

यह भी देखें

• डिफियोमोर्फिज्म - सरल प्रसमष्टि की समरूपता; सरल व्युत्क्रम के साथ सामान्य आपत्ति
• होमोमोर्फिज्म - मानचित्रण जो किसी दिए गए स्थान के सभी स्थलीय गुणों को संरक्षित करता है
• प्रक्षेत्र का व्युत्क्रम - यूक्लिडियन समष्टि के होमोमोर्फिक उप-समुच्चय के बारे में सांस्थिति में प्रमेय
• बड़ा अंतररूपवाद
• स्थानीय होमोमोर्फिज्म - गणितीय फलन प्रत्येक बिंदु के पास प्रत्यावर्ती हो सकता है
• दिक्काल समरूपता - समरूपता का प्रतिनिधित्व करने वाले दिक्काल की विशेषताएं

संदर्भ

• Michor, Peter W. (2008), Topics in differential geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 93, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2003-2, MR 2428390.