पैरामीट्रिक मॉडल

This article is about statistics. For mathematical and computer representation of objects, see Solid modeling.

आंकड़ों में, पैरामीट्रिक मॉडल या पैरामीट्रिक परिवार या परिमित-आयामी मॉडल सांख्यिकीय मॉडल का विशेष वर्ग है। विशेष रूप से, पैरामीट्रिक मॉडल संभाव्यता वितरण का परिवार है जिसमें पैरामीटर की सीमित संख्या होती है।

परिभाषा

एक सांख्यिकीय मॉडल कुछ नमूना स्थान पर संभाव्यता वितरण का संग्रह है। हम मानते हैं कि संग्रह, 𝒫, कुछ सेट द्वारा अनुक्रमित किया जाता है Θ. सेट Θ पैरामीटर सेट या, अधिक सामान्यतः, पैरामीटर स्थान कहा जाता है। प्रत्येक के लिए θ ∈ Θ, होने देना P_θ संग्रह के संबंधित सदस्य को निरूपित करें; इसलिए P_θ संचयी वितरण समारोह है। फिर सांख्यिकीय मॉडल के रूप में लिखा जा सकता है

${\mathcal {P}}={\big \{}P_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.$

मॉडल पैरामीट्रिक मॉडल है यदि Θ ⊆ ℝ^k कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए k.

जब मॉडल में पूरी तरह से निरंतर वितरण होते हैं, तो इसे प्रायिकता घनत्व कार्यों के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जाता है:

${\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.$

उदाहरण

• बंटनों का प्वासों बंटन एकल संख्या द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है λ > 0:

${\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},$

कहाँ p_λ संभाव्यता द्रव्यमान कार्य है। यह परिवार घातीय परिवार है।

• सामान्य वितरण द्वारा parametrized है θ = (μ, σ), कहाँ μ ∈ ℝ स्थान पैरामीटर है और σ > 0 स्केल पैरामीटर है:

${\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.$

यह पैरामीट्रिज्ड परिवार घातीय परिवार और स्थान-स्तरीय परिवार दोनों है।

• वेइबुल वितरण का त्रि-आयामी पैरामीटर है θ = (λ, β, μ):

${\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}}.$

• द्विपद बंटन द्वारा parametrized है θ = (n, p), कहाँ n गैर-नकारात्मक पूर्णांक है और p संभावना है (यानी p ≥ 0 और p ≤ 1):

${\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.$

यह उदाहरण कुछ असतत मापदंडों वाले मॉडल की परिभाषा दिखाता है।

सामान्य टिप्पणी

मानचित्रण होने पर पैरामीट्रिक मॉडल को पहचान योग्य कहा जाता है θ ↦ P_θ व्युत्क्रमणीय है, अर्थात दो अलग-अलग पैरामीटर मान नहीं हैं θ₁ और θ₂ ऐसा है कि P_θ1 = P_θ2.

मॉडल के अन्य वर्गों के साथ तुलना

पैरामीट्रिक आँकड़े सेमीपैरामेट्रिक मॉडल|सेमी-पैरामीट्रिक, अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल|सेमी-नॉनपैरामीट्रिक, और गैर पैरामीट्रिक मॉडल के विपरीत होते हैं, जिनमें से सभी में विवरण के लिए पैरामीटर का अनंत सेट होता है। इन चार वर्गों के बीच अंतर इस प्रकार है:

• एक पैरामीट्रिक सांख्यिकी मॉडल में सभी पैरामीटर परिमित-आयामी पैरामीटर रिक्त स्थान में हैं;
• एक मॉडल गैर-पैरामीट्रिक आँकड़े है | गैर-पैरामीट्रिक यदि सभी पैरामीटर अनंत-आयामी पैरामीटर रिक्त स्थान में हैं;
• एक अर्ध-पैरामीट्रिक मॉडल में रुचि के परिमित-आयामी पैरामीटर और अनंत-आयामी उपद्रव पैरामीटर शामिल हैं;
• एक अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल में रुचि के परिमित-आयामी और अनंत-आयामी दोनों अज्ञात पैरामीटर हैं।

कुछ सांख्यिकीविदों का मानना ​​है कि पैरामीट्रिक, गैर-पैरामीट्रिक और अर्ध-पैरामीट्रिक अवधारणाएं अस्पष्ट हैं। यह भी ध्यान दिया जा सकता है कि सभी संभाव्यता उपायों के सेट में कॉन्टिनम (सेट सिद्धांत) की प्रमुखता है, और इसलिए किसी भी मॉडल को (0,1) अंतराल में ही नंबर से पैरामीट्रिज करना संभव है। केवल चिकने पैरामीट्रिक मॉडल पर विचार करके इस कठिनाई से बचा जा सकता है।

यह भी देखें

• पैरामीट्रिक परिवार
• पैरामीट्रिक आँकड़े
• सांख्यिकीय मॉडल
• सांख्यिकीय मॉडल विनिर्देश

ग्रन्थसूची

• Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2001), Mathematical Statistics: Basic and selected topics, vol. 1 (Second (updated printing 2007) ed.), Prentice-Hall
• Bickel, Peter J.; Klaassen, Chris A. J.; Ritov, Ya’acov; Wellner, Jon A. (1998), Efficient and Adaptive Estimation for Semiparametric Models, Springer
• Davison, A. C. (2003), Statistical Models, Cambridge University Press
• Le Cam, Lucien; Yang, Grace Lo (2000), Asymptotics in Statistics: Some basic concepts (2nd ed.), Springer
• Lehmann, Erich L.; Casella, George (1998), Theory of Point Estimation (2nd ed.), Springer
• Liese, Friedrich; Miescke, Klaus-J. (2008), Statistical Decision Theory: Estimation, testing, and selection, Springer
• Pfanzagl, Johann; with the assistance of R. Hamböker (1994), Parametric Statistical Theory, Walter de Gruyter, MR 1291393