मिन्कोव्स्की-बौलीगैंड आयाम

ग्रेट ब्रिटेन के तट के बॉक्स-गिनती आयाम का अनुमान लगाना फ्रैक्टल ज्यामिति में, मिन्कोव्स्की-बौलीगैंड आयाम, जिसे मिन्कोव्स्की आयाम या बॉक्स-गिनती आयाम के रूप में भी जाना जाता है, समुच्चय के फ्रैक्टल आयाम को निर्धारित करने की विधि है। यूक्लिडियन स्थान में $S$ $\mathbb {R} ^{n}$, या अधिक सामान्यतः मीट्रिक स्थान में $(X,d)$ है। इसका नाम पोलिश गणितज्ञ हरमन मिन्कोव्स्की और फ्रांसीसी गणितज्ञ जॉर्जेस बाउलीगैंड के नाम पर रखा गया है।

फ्रैक्टल के लिए इस आयाम $S$ की गणना करना, समान दूरी वाले ग्रिड पर पड़े इस फ्रैक्टल की कल्पना करें और गिनें कि समुच्चय को कवर करने के लिए कितने बक्सों की आवश्यकता है। बॉक्स-गिनती आयाम की गणना यह देखकर की जाती है कि जब हम बॉक्स गिनती एल्गोरिथ्म को प्रारम्भ करके ग्रिड को उत्तम बनाते हैं तो यह संख्या कैसे परिवर्तित होती है।

लगता है कि $N(\varepsilon )$ भुजा की लंबाई वाले बक्सों की संख्या है समुच्चय को कवर करने के लिए $\varepsilon$ की आवश्यकता है। फिर बॉक्स-गिनती आयाम को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}.$

सामान्यतः कहें तो इसका अर्थ यह है कि आयाम ही प्रतिपादक है $d$ ऐसा है कि $N(1/n)\approx Cn^{d}$, जो कि सामान्य स्थिति में कोई भी अपेक्षा कर सकता है $S$ पूर्णांक आयाम का सहज स्थान (मैनिफोल्ड) $d$ है।

यदि किसी फ़ंक्शन की उपरोक्त सीमा उपस्थित नहीं है, तब भी कोई ऊपरी सीमा और निचली सीमा ले सकता है, जो क्रमशः ऊपरी बॉक्स आयाम और निचले बॉक्स आयाम को परिभाषित करते हैं। ऊपरी बॉक्स आयाम को कभी-कभी एन्ट्रॉपी आयाम, कोलमोगोरोव आयाम, कोलमोगोरोव क्षमता, सीमा क्षमता या ऊपरी मिन्कोव्स्की आयाम कहा जाता है, जबकि निचले बॉक्स आयाम को निचला मिन्कोव्स्की आयाम भी कहा जाता है।

ऊपरी और निचले बॉक्स आयाम दृढ़ता से अधिक लोकप्रिय हॉसडॉर्फ आयाम से संबंधित हैं। केवल अधिक विशेष अनुप्रयोगों में ही तीनों के मध्य अंतर करना महत्वपूर्ण है (देखें हॉसडॉर्फ आयाम से संबंध)। भग्न आयाम का अन्य माप सहसंबंध आयाम है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

बॉल पैकिंग, बॉल कवरिंग और बॉक्स कवरिंग के उदाहरण कवरिंग नंबर या पैकिंग नंबर के साथ गेंदों का उपयोग करके बॉक्स आयामों को परिभाषित करना संभव है। कवरिंग नंबर $N_{\text{covering}}(\varepsilon )$ फ्रैक्टल को कवर करने (टोपोलॉजी) के लिए आवश्यक त्रिज्या ε की खुली गेंदों की न्यूनतम संख्या है, या दूसरे शब्दों में, जैसे कि उनके संघ में फ्रैक्टल शामिल है। हम आंतरिक आवरण संख्या पर भी विचार कर सकते हैं $N'_{\text{covering}}(\varepsilon )$, जिसे उसी तरह परिभाषित किया गया है लेकिन अतिरिक्त आवश्यकता के साथ कि खुली गेंदों के केंद्र समुच्चय एस के अंदर हों। पैकिंग नंबर $N_{\text{packing}}(\varepsilon )$ त्रिज्या ε की खुली गेंदों के असंयुक्त समुच्चय की अधिकतम संख्या है जिसे कोई इस प्रकार स्थित कर सकता है कि उनके केंद्र फ्रैक्टल के अंदर होंगे। जबकि एन, एन_covering, एन'_covering और n_packing बिल्कुल समान नहीं हैं, वे निकटता से संबंधित हैं और ऊपरी और निचले बॉक्स आयामों की समान परिभाषाओं को जन्म देते हैं। निम्नलिखित असमानताएँ सिद्ध हो जाने पर इसे सिद्ध करना आसान है:

$N_{\text{packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon )\leq N_{\text{covering}}(\varepsilon /2).$

ये, बदले में, त्रिभुज असमानता के थोड़े से प्रयास से अनुसरण करते हैं।

वर्गों के बजाय गेंदों का उपयोग करने का लाभ यह है कि यह परिभाषा किसी भी मीट्रिक स्थान को सामान्यीकृत करती है। दूसरे शब्दों में, बॉक्स की परिभाषा डिफरेंशियल_जियोमेट्री#इंट्रिन्सिक_वर्सस_एक्सट्रिंसिक है - मानता है कि फ्रैक्टल स्पेस एस यूक्लिडियन स्पेस में समाहित है, और बॉक्स को युक्त स्पेस की बाहरी ज्यामिति के अनुसार परिभाषित करता है। हालाँकि, S का आयाम डिफरेंशियल_जियोमेट्री#Intrinsic_versus_extrinsic होना चाहिए, यह उस वातावरण से स्वतंत्र होना चाहिए जिसमें S को रखा गया है, और बॉल की परिभाषा आंतरिक रूप से तैयार की जा सकती है। आंतरिक गेंद को चुने गए केंद्र की निश्चित दूरी के भीतर एस के सभी बिंदुओं के रूप में परिभाषित करता है, और कोई आयाम प्राप्त करने के लिए ऐसी गेंदों को गिनता है। (अधिक सटीक रूप से, एन_covering परिभाषा बाह्य है, लेकिन अन्य दो आंतरिक हैं।)

बक्से का उपयोग करने का लाभ यह है कि कई मामलों में एन (ε) की गणना आसानी से स्पष्ट रूप से की जा सकती है, और बक्से के लिए कवरिंग और पैकिंग संख्या (समकक्ष तरीके से परिभाषित) बराबर होती है।

पैकिंग और कवरिंग संख्याओं के लघुगणक को कभी-कभी एन्ट्रापी संख्या के रूप में संदर्भित किया जाता है और ये कुछ हद तक एन्ट्रापी और एन्ट्रापी (सूचना सिद्धांत) | सूचना-सैद्धांतिक एन्ट्रापी की अवधारणाओं के अनुरूप होते हैं, जिसमें वे मीट्रिक स्पेस या फ्रैक्टल में विकार की मात्रा को मापते हैं। पैमाने पर ε और यह भी मापें कि सटीकता ε के लिए स्थान के बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए कितने बिट्स या अंकों की आवश्यकता होगी।

बॉक्स-गिनती आयाम के लिए और समकक्ष (बाहरी) परिभाषा सूत्र द्वारा दी गई है

$\dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\log r}},$

जहां प्रत्येक r > 0 के लिए, समुच्चय $S_{r}$ इसे S के r-पड़ोस के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात इसमें सभी बिंदुओं का समुच्चय $R^{n}$ जो S से r से कम दूरी पर हैं (या समकक्ष, $S_{r}$ S) में बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या r की सभी खुली गेंदों का मिलन है।

गुण

दोनों बॉक्स आयाम परिमित रूप से योगात्मक हैं, अर्थात यदि {ए₁, ..., ए_n} तो, समुच्चय का सीमित संग्रह है

$\dim(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim A_{1},\dots ,\dim A_{n}\}.$

हालाँकि, वे गणनीय समुच्चय योगात्मक नहीं हैं, अर्थात यह समानता समुच्चयों के अनंत अनुक्रम के लिए मान्य नहीं है। उदाहरण के लिए, बिंदु का बॉक्स आयाम 0 है, लेकिन अंतराल [0, 1] में तर्कसंगत संख्याओं के संग्रह के बॉक्स आयाम का आयाम 1 है। तुलनात्मक रूप से हॉसडॉर्फ माप, गणनीय रूप से योगात्मक है।

ऊपरी बॉक्स आयाम की दिलचस्प संपत्ति जो निचले बॉक्स आयाम या हॉसडॉर्फ आयाम के साथ साझा नहीं की जाती है, वह जोड़ समुच्चय करने का कनेक्शन है। यदि ए और बी यूक्लिडियन स्पेस में दो समुच्चय हैं, तो ए + बी सभी बिंदुओं के जोड़े को लेने से बनता है, जहां ए ए से है और बी बी से है और ए + बी जोड़ रहा है। किसी के पास

$\dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).$

हॉसडॉर्फ आयाम से संबंध

बॉक्स-गिनती आयाम की कई परिभाषाओं में से है जिसे फ्रैक्टल पर प्रारम्भ किया जा सकता है। कई अच्छे व्यवहार वाले फ्रैक्टल्स के लिए ये सभी आयाम समान हैं; विशेष रूप से, ये आयाम तब युग्मित होते हैं जब भी फ्रैक्टल ओपन समुच्चय स्थिति (ओएससी) को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, हॉसडॉर्फ आयाम, निचला बॉक्स आयाम, और कैंटर समुच्चय का ऊपरी बॉक्स आयाम सभी log(2)/log(3) के समान हैं। चूँकि, परिभाषाएँ समकक्ष नहीं हैं।

बॉक्स आयाम और हॉसडॉर्फ आयाम असमानता से संबंधित हैं:

$\dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{lower box}}\leq \dim _{\text{upper box}}.$

सामान्यतः, दोनों असमानताएँ सख्त हो सकती हैं। यदि भिन्न स्तर पर फ्रैक्टल का व्यवहार भिन्न-भिन्न हो तो ऊपरी बॉक्स का आयाम निचले बॉक्स के आयाम से बड़ा हो सकता है। उदाहरण के लिए, स्थिति को संतुष्ट करने वाले अंतराल [0, 1] में संख्याओं के समुच्चय का परीक्षण करें।

किसी भी n के लिए, 2²ⁿ-वें अंक और (2²ⁿ⁺¹ - 1)-वें अंक के मध्य के सभी अंक शून्य है।

विषम स्थान-अंतराल में अंक, अर्थात अंक 2²ⁿ⁺¹ और 2²ⁿ⁺²- 1 के मध्य प्रतिबंधित नहीं हैं और इसका कोई भी मान ले सकते हैं। इस फ्रैक्टल में ऊपरी बॉक्स आयाम 2/3 और निचले बॉक्स आयाम 1/3 है, तथ्य जिसे N(ε) की गणना करके $\varepsilon =10^{-2^{n}}$सरलता से सत्यापित किया जा सकता है और ध्यान दें कि उनके मान n सम और विषम के लिए भिन्न-भिन्न व्यवहार करते हैं।

अन्य उदाहरण: परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb {Q}$, के साथ गणनीय समुच्चय $\dim _{\text{Haus}}=0$, है $\dim _{\text{box}}=1$ क्योंकि यह बंद है, $\mathbb {R}$, का आयाम 1 है। वास्तव में,

$\dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.$

ये उदाहरण दिखाते हैं कि गणनीय समुच्चय जोड़ने से बॉक्स आयाम परिवर्तित हो सकता है, जो इस आयाम की प्रकार की अस्थिरता को प्रदर्शित करता है।

यह भी देखें

• सहसंबंध आयाम
• पैकिंग आयाम
• अनिश्चितता प्रतिपादक
• वेइल-बेरी अनुमान
• अपूर्णता

संदर्भ

• Falconer, Kenneth (1990). Fractal geometry: mathematical foundations and applications. Chichester: John Wiley. pp. 38–47. ISBN 0-471-92287-0. Zbl 0689.28003.
• Weisstein, Eric W. "Minkowski-Bouligand Dimension". MathWorld.

बाहरी संबंध

• FrakOut!: an OSS application for calculating the fractal dimension of a shape using the box counting method (Does not automatically place the boxes for you).
• FracLac: online user guide and software ImageJ and FracLac box counting plugin; free user-friendly open source software for digital image analysis in biology