संचयी

प्रायिकता सिद्धांत और आंकड़ों में, प्रायिकता वितरण के संचयी κ_n मात्राओं का एक समूह हैं जो वितरण के क्षण (गणित) के लिए एक विकल्प प्रदान करते हैं। कोई भी दो प्रायिकता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और इसके विपरीत।

प्रथम संचयी माध्य है, दूसरा संचयी विचरण है, और तीसरा संचयी तीसरे केंद्रीय क्षण के समान है। परन्तु चौथे और उच्च क्रम के संचयी केंद्रीय क्षणों के बराबर नहीं हैं। कुछ स्थितियों में संचयी के संदर्भ में समस्याओं का सैद्धांतिक उपचार क्षणों का उपयोग करने की तुलना में सरल होता है। विशेष रूप से, जब दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होते हैं, तो उनके योग का n-वें-क्रम संचयी उनके n-वें-क्रम संचयी के योग के बराबर होता है। साथ ही, सामान्य वितरण के तीसरे और उच्च-क्रम संचयी शून्य हैं, और यह इस गुण के एकमात्र वितरण है।

क्षणों के जैसे, जहां संयुक्त क्षणों का उपयोग यादृच्छिक चर के संग्रह के लिए किया जाता है, संयुक्त संचयकों को परिभाषित करना संभव है।

परिभाषा

एक यादृच्छिक चर X के संचयकों को संचयी-उत्पन्न करने वाले फलन K(t)का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, जो क्षण-उत्पन्न करने वाले फलन का प्राकृतिक लघुगणक है:

$K(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{tX}\right].$

संचयी κ_n संचयी जनक फलन की घात श्रृंखला विस्तार से प्राप्त किए जाते हैं:

$K(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\kappa _{1}{\frac {t}{1!}}+\kappa _{2}{\frac {t^{2}}{2!}}+\kappa _{3}{\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots =\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .$

यह विस्तार मैकलॉरिन श्रृंखला है, इसलिए उपरोक्त विस्तार को n बार विभेदित करके और शून्य पर परिणाम का मूल्यांकन करके n-वें संचयी प्राप्त किया जा सकता है:

$\kappa _{n}=K^{(n)}(0).$

यदि क्षण-उत्पन्न करने वाला फलन स्थित नहीं है, तो संचयी को बाद में चर्चा किए गए संचयी और क्षणों के बीच संबंध के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

संचयी जनक फलन की वैकल्पिक परिभाषा

कुछ लेखक संचयी-जनक फलन को विशेषता फलन (प्रायिकता सिद्धांत) के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित करना चयनित करते हैं, जिसे कभी-कभी दूसरा विशेषता फलन,

$H(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots$ भी कहा जाता है।

H(t) का एक लाभ - कुछ अर्थों में फलन K(t) का मूल्यांकन पूर्ण रूप से काल्पनिक तर्कों के लिए किया जाता है - यह है कि E[e^itX] t के सभी वास्तविक मानों के लिए ठीक रूप से परिभाषित है, यद्यपि E[e^tX] सभी के लिए ठीक रूप से परिभाषित न हो टी के वास्तविक मान, जैसे कि तब हो सकते हैं जब "बहुत अधिक" प्रायिकता हो कि एक्स का परिमाण बड़ा है। यद्यपि फलन H(t) को ठीक रूप से परिभाषित किया जाएगा, फिर भी यह अपनी मैकलॉरिन श्रृंखला की लंबाई के संदर्भ में K(t) का अनुकरण करेगा, जो तर्क t में रैखिक क्रम से आगे (या, संभवतः कभी, यहां तक ​​​​कि) तक विस्तारित नहीं हो सकता है। और विशेष रूप से ठीक रूप से परिभाषित संचयकों की संख्या नहीं बदलेगी। फिर भी, जब H(t) में लंबी मैकलॉरिन श्रृंखला नहीं होती है, तब भी इसका उपयोग प्रत्यक्षतः विश्लेषण करने और, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर जोड़ने में किया जा सकता है। कॉची वितरण (जिसे लोरेंत्ज़ियन भी कहा जाता है) और अधिक सामान्यतः, स्थिर वितरण (लेवी वितरण से संबंधित) दोनों वितरण के उदाहरण हैं, जिनके लिए उत्पादन फलनों की शक्ति-श्रृंखला विस्तार में मात्र सीमित रूप से कई ठीक रूप से परिभाषित शब्द हैं।

कुछ मूलभूत गुण

एक यादृच्छिक चर ${\textstyle X}$ का ${\textstyle n}$वें संचयी ${\textstyle \kappa _{n}(X)}$ निम्नलिखित गुणों का आनंद लेता है:

• यदि ${\textstyle n>1}$ और ${\textstyle c}$ स्थिर है (अर्थात यादृच्छिक नहीं) तो ${\textstyle \kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X),}$ अर्थात संचयी अनुवाद अपरिवर्तनीय है। (यदि ${\textstyle n=1}$ है तो हमारे निकट ${\textstyle \kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c)}$।
• यदि ${\textstyle c}$ स्थिर है (अर्थात यादृच्छिक नहीं) तो ${\textstyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa _{n}(X),}$ अर्थात ${\textstyle n}$-वें संचयी परिमाण ${\textstyle n}$ का सजातीय बहुपद है।
• यदि यादृच्छिक चर ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}$ स्वतंत्र हैं तो
  $$\kappa _{n}(X_{1}+\cdots +X_{m})=\kappa _{n}(X_{1})+\cdots +\kappa _{n}(X_{m})\,.$$
  अर्थात्, संचयी संचयी है - इसलिए नाम।

संचयी -उत्पादक फलन पर विचार करने से संचयी गुण शीघ्रता से अनुसरण करता है:

${\begin{aligned}K_{X_{1}+\cdots +X_{m}}(t)&=\log \operatorname {E} \left[e^{t(X_{1}+\cdots +X_{m})}\right]\\[5pt]&=\log \left(\operatorname {E} \left[e^{tX_{1}}\right]\cdots \operatorname {E} \left[e^{tX_{m}}\right]\right)\\[5pt]&=\log \operatorname {E} \left[e^{tX_{1}}\right]+\cdots +\log \operatorname {E} \left[e^{tX_{m}}\right]\\[5pt]&=K_{X_{1}}(t)+\cdots +K_{X_{m}}(t),\end{aligned}}$

ताकि स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रत्येक संचयी योग के संगत संचयकों का योग हो। अर्थात्, जब योग सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होते हैं, तो योग का माध्य, साधनों का योग होता है, योग का प्रसरण प्रसरण का योग होता है, योग का तीसरा संचयी (जो तीसरा केंद्रीय क्षण होता है) तीसरे संचयकों का योग है, और इसी प्रकार संचयी के प्रत्येक क्रम के लिए।

दिए गए संचयकों κ_n के साथ वितरण का अनुमान एजवर्थ श्रृंखला के माध्यम से लगाया जा सकता है।

क्षणों के फलनों के रूप में पहले कई संचयी

सभी उच्च संचयी पूर्णांक गुणांक के साथ केंद्रीय क्षणों के बहुपद फलन हैं, परन्तु मात्र परिमाण 2 और 3 में संचयी वास्तव में केंद्रीय क्षण हैं।

• ${\textstyle \kappa _{1}(X)=\operatorname {E} (X)={}}$अर्थ
• ${\textstyle \kappa _{2}(X)=\operatorname {var} (X)=\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{2}{\big )}={}}$विचरण, या दूसरा केंद्रीय क्षण।
• ${\textstyle \kappa _{3}(X)=\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{3}{\big )}={}}$तीसरा केंद्रीय क्षण।
• ${\textstyle \kappa _{4}(X)=\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{4}{\big )}-3\left(\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{2}{\big )}\right)^{2}={}}$चौथा केंद्रीय क्षण दूसरे केंद्रीय क्षण के वर्ग का तीन गुना घटा। इस प्रकार यह प्रथम स्थिति है जिसमें संचयी मात्र क्षण या केंद्रीय क्षण नहीं हैं। 3 से अधिक परिमाण के केंद्रीय क्षणों में संचयी गुण का अभाव होता है।
• ${\textstyle \kappa _{5}(X)=\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{5}{\big )}-10\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{3}{\big )}\operatorname {E} {\big (}(X-\operatorname {E} (X))^{2}{\big )}.}$

कुछ असतत प्रायिकता वितरण के संचयक

• निरंतर यादृच्छिक चर X = μ। संचयी जनक फलन K(t) = μt है। प्रथम संचयी κ₁ = K '(0) = μ है और दूसरा संचयी शून्य, κ₂ = κ₃ = κ₄ = ... = 0 हैं।
• बर्नौली वितरण, (सफलता की प्रायिकता p के साथ एक परीक्षण में सफलताओं की संख्या)। संचयी जनक फलन K(t) = log(1 − p + pe^t) है। प्रथम संचयी κ₁ = K '(0) = p और κ₂ = K′′(0) = p·(1 − p) हैं । संचयक एक पुनरावर्तन सूत्र
• $$\kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}$$
  को संतुष्ट करते हैं।
• ज्यामितीय वितरण, (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p के साथ एक सफलता से पहले विफलताओं की संख्या)। संचयी जनक फलन K(t) = log(p / (1 + (p − 1)e^t)) है । प्रथम संचयी κ₁ = K′(0) = p⁻¹ − 1 और κ₂ = K′′(0) = κ₁p⁻¹ हैं। p = (μ + 1)⁻¹ को प्रतिस्थापित करने पर K(t) = −log(1 + μ(1−e^t)) और κ₁ = μ प्राप्त होता है।
• पॉइसन वितरण। संचयी जनक फलन K(t) = μ(e^t − 1) है । सभी संचयी पैरामीटर κ₁ = κ₂ = κ₃ = ... = μ के बराबर हैं।
• द्विपद वितरण, (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p के साथ n सांख्यिकीय स्वतंत्रता परीक्षणों में सफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति n = 1 बर्नौली वितरण है। प्रत्येक संचयी संबंधित बर्नौली वितरण के संगत संचयक का मात्र n गुना है। संचयी जनक फलन K(t) = n log(1 − p + pe^t) है । प्रथम संचयी κ₁ = K′(0) = np और κ₂ = K′′(0) = κ₁(1 − p) हैं । p = μ·n⁻¹ को प्रतिस्थापित करने पर K '(t) = ((μ⁻¹ − n⁻¹)·e^−t + n⁻¹)⁻¹ और κ₁ = μ प्राप्त होता है। सीमित स्थिति n⁻¹ = 0 पॉइसन वितरण है।
• ऋणात्मक द्विपद वितरण, (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना p के साथ r सफलताओं से पहले विफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति r = 1 ज्यामितीय वितरण है। प्रत्येक संचयी संगत ज्यामितीय वितरण के संगत संचयक का मात्र r गुना है। संचयी जनक फलन K '(t) = r·((1 − p)⁻¹·e^−t−1)⁻¹ का व्युत्पन्न है। प्रथम संचयी κ₁ = K '(0) = r·(p⁻¹−1) और κ₂ = K ' '(0) = κ₁·p⁻¹ हैं। p = (μ·r⁻¹+1)⁻¹ को प्रतिस्थापित करने पर K′(t) = ((μ⁻¹ + r⁻¹)e^−t − r⁻¹)⁻¹ और κ₁ = μ प्राप्त होता है।इन सूत्रों की तुलना द्विपद वितरणों से करने पर 'ऋणात्मक द्विपद वितरण' नाम स्पष्ट होता है। सीमित स्थिति (गणित) r⁻¹ = 0 पॉइसन वितरण है।

विचरण-से-माध्य अनुपात का परिचय

$\varepsilon =\mu ^{-1}\sigma ^{2}=\kappa _{1}^{-1}\kappa _{2}$ का परिचय,

उपरोक्त प्रायिकता वितरण से संचयी जनक फलन के व्युत्पन्न के लिए एकीकृत सूत्र प्राप्त होता है:

$K'(t)=(1+(e^{-t}-1)\varepsilon )^{-1}\mu$

दूसरा व्युत्पन्न

$K''(t)=(\varepsilon -(\varepsilon -1)e^{t})^{-2}\mu \varepsilon e^{t}$

पुष्टि करता है कि प्रथम संचयी κ₁ = K′(0) = μ है और दूसरा संचयी κ₂ = K′′(0) = με है।

स्थिर यादृच्छिक चर X = μ निकट ε = 0 है।

द्विपद बंटन हε = 1 − p होता है ताकि 0 < ε < 1 हो।

पॉइसन वितरण ε = 1 है ।

ऋणात्मक द्विपद बंटन में ε = p⁻¹ होता है ताकि ε > 1।

विलक्षणता (गणित) द्वारा शंकु वर्गों के वर्गीकरण की सादृश्यता पर ध्यान दें: वृत्त ε = 0, दीर्घवृत्त 0 < ε < 1, परवलय ε = 1, अतिपरवलय ε > 1।

कुछ सतत प्रायिकता वितरणों के संचयी

• अपेक्षित मान μ और विचरण σ² के साथ सामान्य वितरण के लिए, संचयी जनक फलन K(t) = μt + σ²t²/2 है। संचयी जनक फलन का पहला और दूसरा व्युत्पन्न K '(t) = μ + σ²·t और K"(t) = σ² है। संचयक κ₁ = μ, κ₂ = σ², और κ₃ = κ₄ = ... = 0 हैं। विशेष स्थिति σ² = 0 स्थिर यादृच्छिक चर X = μ है।
• अंतराल [−1, 0] पर समान वितरण (निरंतर) के संचयी κ_n = B_n/n हैं , जहां B_n n^वीं बर्नौली संख्या है।
• दर पैरामीटर λ के साथ घातीय वितरण के संचयी κ_n = λ⁻ⁿ (n − 1)! हैं ।

संचयी जनक फलन के कुछ गुण

संचयी जनक फलन K(t), यदि यह अस्तित्व में है, तो अनंत रूप से भिन्न और उत्तल फलन है, और मूल से होकर गुजरता है। इसका प्रथम व्युत्पन्न प्रायिकता वितरण के समर्थन के अनंत से सर्वोच्च तक विवृत अंतराल में सबसे कम होता है, और इसका दूसरा व्युत्पन्न एकल बिंदु द्रव्यमान के पतित वितरण को छोड़कर, प्रत्येक स्थान दृढ़ता से धनात्मक होता है। संचयी-जनक फलन स्थित होता है यदि और मात्र यदि वितरण का पश्च घातीय क्षय द्वारा प्रमुख होती है, अर्थात, ( बिग ओ अंकन देखें)

${\begin{aligned}&\exists c>0,\,\,F(x)=O(e^{cx}),x\to -\infty ;{\text{ and}}\\[4pt]&\exists d>0,\,\,1-F(x)=O(e^{-dx}),x\to +\infty ;\end{aligned}}$

जहाँ $F$ संचयी वितरण फलन है। संचयी-जनक फलन में ऐसे c के ऋणात्मक सर्वोच्च पर लंबवत अनंतस्पर्शी होंगे, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, और ऐसे d के सर्वोच्च पर, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, अन्यथा इसे सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जाएगा।

यदि यादृच्छिक चर X के समर्थन (गणित) की ऊपरी या निचली सीमाएं परिमित हैं, तो इसका संचयी-उत्पादक फलन y = K(t), यदि यह स्थित है, तो अनंतस्पर्शी(ओं) तक पहुंचता है जिसकी प्रवणता समर्थन के सर्वोच्च और/या न्यूनतम के बराबर है,

${\begin{aligned}y&=(t+1)\inf \operatorname {supp} X-\mu (X),{\text{ and}}\\[5pt]y&=(t-1)\sup \operatorname {supp} X+\mu (X),\end{aligned}}$

क्रमश: सर्वत्र इन दोनों रेखाओं के ऊपर स्थित है। (अभिन्न

$\int _{-\infty }^{0}\left[t\inf \operatorname {supp} X-K'(t)\right]\,dt,\qquad \int _{\infty }^{0}\left[t\inf \operatorname {supp} X-K'(t)\right]\,dt$

इन अनंतस्पर्शियों के y-अवरोधन उत्पन्न करता है, क्योंकि K(0) = 0।)

c, $K_{X+c}(t)=K_{X}(t)+ct$ द्वारा वितरण में बदलाव के लिए। c पर पतित बिंदु द्रव्यमान के लिए, सीजीएफ सीधी रेखा $K_{c}(t)=ct$ है , और अधिक सामान्यतः, $K_{X+Y}=K_{X}+K_{Y}$ यदि और मात्र यदि X और Y स्वतंत्र हैं और उनके सीजीएफएस स्थित हैं; (उपस्वतंत्रता और स्वतंत्रता का संकेत देने के लिए पर्याप्त दूसरे क्षणों का अस्तित्व।)

वितरण के प्राकृतिक घातीय वर्ग को K(t) को स्थानांतरण या अनुवाद करके, और इसे लंबवत रूप से समायोजित करके समझा जा सकता है ताकि यह सदैव मूल से होकर गुजरे: यदि f सीजीएफ $K(t)=\log M(t)$ के साथ पीडीएफ है और $f|\theta$ इसका प्राकृतिक घातीय वर्ग है, तो $f(x\mid \theta )={\frac {1}{M(\theta )}}e^{\theta x}f(x),$ और $K(t\mid \theta )=K(t+\theta )-K(\theta )$।

यदि K(t) किसी श्रेणी t₁ < Re(t) < t₂ के लिए परिमित है तो यदि t₁ < 0 < t₂ है तो K(t) विश्लेषणात्मक है और t₁ < Re(t) < t₂ के लिए अनंत रूप से भिन्न है। इसके अतिरिक्त t वास्तविक और t₁ < t < t₂ K(t) के लिए दृढ़ता से उत्तल है, और K′(t) दृढ़ता से बढ़ रहा है।

संचयी के अतिरिक्त गुण

एक ऋणात्मक परिणाम

सामान्य वितरण के संचयकों के परिणामों को देखते हुए, यह अपेक्षा की जा सकती है कि वितरण के ऐसे वर्ग मिलें जिनके लिए κ_m = κ_m+1 = ⋯ = 0 कुछ m > 3 के लिए , निचले क्रम के संचयकों के साथ (क्रम 3 से m − 1) गैर-शून्य होना। ऐसे कोई वितरण नहीं हैं। यहां अंतर्निहित परिणाम यह है कि संचयी जनक फलन 2 से अधिक परिमाण का परिमित-क्रम बहुपद नहीं हो सकता है।

संचयी और क्षण

क्षण उत्पन्न करने वाला फलन इस प्रकार दिया गया है:

$M(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(K(t)).$

तो संचयी जनक फलन, क्षण जनक फलन

$K(t)=\log M(t)$ का लघुगणक है।

प्रथम संचयी अपेक्षित मान है; दूसरा और तीसरा संचयी क्रमशः दूसरा और तीसरा केंद्रीय क्षण हैं (दूसरा केंद्रीय क्षण विचरण है); परन्तु उच्चतर संचयी न तो क्षण हैं और न ही केंद्रीय क्षण, बल्कि क्षणों के अधिक जटिल बहुपद फलन हैं।

$t=0$, $\exp(K(t))$ पर

$\mu '_{n}=M^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\exp(K(t))}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}$ के n-वें व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके क्षणों को संचयकों के संदर्भ में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

इसी प्रकार, $t=0$, $\log M(t)$ पर

$\kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\log M(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}$ के n-वें व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके संचयी को क्षणों के संदर्भ में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

पहले n संचयी के संदर्भ में n-वें पल के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति, और इसके विपरीत, समग्र फलनों के उच्च व्युत्पन्न के लिए फा डि ब्रूनो के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। सामान्यतः, हमारे निकट

$\mu '_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-k+1})$

$\kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots ,\mu '_{n-k+1})$

है, जहाँ $B_{n,k}$ अपूर्ण (या आंशिक) बेल बहुपद हैं।

इसी प्रकार, यदि $\mu$ माध्य दिया गया है , केंद्रीय क्षण उत्पन्न करने वाला फलन

$C(t)=\operatorname {E} [e^{t(x-\mu )}]=e^{-\mu t}M(t)=\exp(K(t)-\mu t),$

द्वारा दिया जाता है, और n-वें केंद्रीय क्षण को संचयकों के संदर्भ में

$\mu _{n}=C^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\exp(K(t)-\mu t)\right|_{t=0}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0,\kappa _{2},\ldots ,\kappa _{n-k+1})$ के रूप में प्राप्त किया जाता है।

साथ ही, n > 1 के लिए, केंद्रीय क्षणों के संदर्भ में n-वीं संचयी

${\begin{aligned}\kappa _{n}&=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}(\log C(t)+\mu t)\right|_{t=0}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(0,\mu _{2},\ldots ,\mu _{n-k+1})\end{aligned}}$ है।

n-वें क्षण μ′n पहले n संचयकों में एक n-वां-परिमाण बहुपद है। पहले कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं:

${\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[5pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\\[5pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\\[5pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\\[5pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\\[5pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\end{aligned}}$

अभाज्य क्षणों μ′_n माध्य के विषय में क्षण μ_n से अलग करता है। केंद्रीय क्षणों को संचयकों के फलनों के रूप में व्यक्त करने के लिए, मात्र इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें κ₁ एक कारक के रूप में प्रकट होता है:

${\begin{aligned}\mu _{1}&=0\\[4pt]\mu _{2}&=\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{3}&=\kappa _{3}\\[4pt]\mu _{4}&=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\\[4pt]\mu _{5}&=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{6}&=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\end{aligned}}$

इसी प्रकार, n-वें संचयी κ_n पहले nवें- गैर-केंद्रीय क्षणों में एक n वें-डिग्री बहुपद है। पहली कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं:

केंद्रीय क्षणों के फलनों के रूप में n > 1 के लिए संचयी κ_n को व्यक्त करने के लिए, इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें μ'₁ एक कारक के रूप में प्रकट होता है:

$\kappa _{2}=\mu _{2}\,$

$\kappa _{3}=\mu _{3}\,$

$\kappa _{4}=\mu _{4}-3{\mu _{2}}^{2}\,$

$\kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}\,$

$\kappa _{6}=\mu _{6}-15\mu _{4}\mu _{2}-10{\mu _{3}}^{2}+30{\mu _{2}}^{3}\,.$

मानकीकृत क्षण μ″_n के फलन के रूप में n > 2 के लिए संचयी κ_n को व्यक्त करने के लिए, बहुपदों में μ'₂=1 भी समूहित करें:

$\kappa _{3}=\mu ''_{3}\,$

$\kappa _{4}=\mu ''_{4}-3\,$

$\kappa _{5}=\mu ''_{5}-10\mu ''_{3}\,$

$\kappa _{6}=\mu ''_{6}-15\mu ''_{4}-10{\mu ''_{3}}^{2}+30\,.$

संचयी को t के संबंध में संबंध log M(t) = K(t) को अलग करके, M′(t) = K′(t) M(t) देकर क्षणों से संबंधित किया जा सकता है, जिसमें सुविधाजनक रूप से कोई घातांक या लघुगणक सम्मिलित नहीं है। t ⁿ⁻¹ / (n−1)! के गुणांक को बराबर करना, बाएँ और दाएँ पक्षों पर और μ′₀ = 1का उपयोग करने से n ≥ 1 के लिए निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:

${\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[1pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{1}\mu '_{1}+\kappa _{2}\\[1pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{1}\mu '_{2}+2\kappa _{2}\mu '_{1}+\kappa _{3}\\[1pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{1}\mu '_{3}+3\kappa _{2}\mu '_{2}+3\kappa _{3}\mu '_{1}+\kappa _{4}\\[1pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{1}\mu '_{4}+4\kappa _{2}\mu '_{3}+6\kappa _{3}\mu '_{2}+4\kappa _{4}\mu '_{1}+\kappa _{5}\\[1pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{1}\mu '_{5}+5\kappa _{2}\mu '_{4}+10\kappa _{3}\mu '_{3}+10\kappa _{4}\mu '_{2}+5\kappa _{5}\mu '_{1}+\kappa _{6}\\[1pt]\mu '_{n}={}&\sum _{m=1}^{n-1}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu '_{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}$

ये निचले क्रम के संचयकों और क्षणों के ज्ञान का उपयोग करके या तो $\kappa _{n}$ या $\mu '_{n}$ की गणना दूसरे से करने की अनुमति देते हैं। $n\geq 2$ के लिए केंद्रीय क्षणों $\mu _{n}$ के लिए संबंधित सूत्र इन सूत्रों से $\mu '_{1}=\kappa _{1}=0$ समूहित करके और $n\geq 2$ के लिए प्रत्येक $\mu '_{n}$ को $\mu _{n}$ के साथ प्रतिस्थापित करके बनाए जाते हैं:

${\begin{aligned}\mu _{2}={}&\kappa _{2}\\[1pt]\mu _{3}={}&\kappa _{3}\\[1pt]\mu _{n}={}&\sum _{m=2}^{n-2}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu _{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}$

संचयी और समूह-विभाजन

इन बहुपदों की उल्लेखनीय संयोजक व्याख्या है: गुणांक समूह के कुछ विभाजन की गणना करते हैं। इन बहुपदों का सामान्य रूप

$\mu '_{n}=\sum _{\pi \,\in \,\Pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa _{|B|}$

है, जहाँ

• π आकार n के समूह के सभी विभाजनों की सूची से चलता है;
• B ∈ π का अर्थ है कि B उन वर्गों में से एक है जिसमें समूह को विभाजित किया गया है; और
• |B| समूह B का आकार है ।

इस प्रकार प्रत्येक एकपदी एक स्थिर समय में संचयकों का गुणनफल है जिसमें सूचकांकों का योग n है (उदाहरण के लिए, पद κ₃ κ₂² κ₁ में, सूचकांकों का योग 3 + 2 + 2 + 1 = 8 है; यह इसमें दिखाई देता है बहुपद जो 8वें क्षण को पहले आठ संचयकों के फलन के रूप में व्यक्त करता है)। पूर्णांक n का एक विभाजन प्रत्येक पद से मेल खाता है। प्रत्येक पद में गुणांक n सदस्यों के एक समूह के विभाजन की संख्या है जो पूर्णांक n के उस विभाजन में निपात हो जाता है जब समूह के सदस्य अप्रभेद्य हो जाते हैं।

संचयी और साहचर्य

संचयी और साहचर्य के बीच आगे का संबंध जियान-कार्लो रोटा के कार्य में पाया जा सकता है, जहां अपरिवर्तनीय सिद्धांत, सममित फलनों और द्विपद अनुक्रमों के लिंक का अध्ययन अम्ब्रल गणना के माध्यम से किया जाता है।

संयुक्त संचयी

कई यादृच्छिक चर X₁, ..., X_n के संयुक्त संचयी को एक समान संचयी जनक फलन

$K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\log E(\mathrm {e} ^{\sum _{j=1}^{n}t_{j}X_{j}})$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

एक परिणाम यह है कि

$\kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }(|\pi |-1)!(-1)^{|\pi |-1}\prod _{B\in \pi }E\left(\prod _{i\in B}X_{i}\right)$

जहाँ π, { 1, ..., n } के सभी विभाजनों की सूची के माध्यम से चलता है, B विभाजन π के सभी वर्गों की सूची के माध्यम से चलता है, और |π| विभाजन में भागों की संख्या है। उदाहरण के लिए,

$\kappa (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y),$

सहप्रसरण है, और

$\kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (Z)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (Y)-\operatorname {E} (YZ)\operatorname {E} (X)+2\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\operatorname {E} (Z).\,$

यदि इनमें से कोई भी यादृच्छिक चर समान है, उदाहरण के लिए यदि X = Y तो वही सूत्र लागू होते हैं, उदाहरण के लिए

$\kappa (X,X,Z)=\operatorname {E} (X^{2}Z)-2\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Z)+2\operatorname {E} (X)^{2}\operatorname {E} (Z),\,$

यद्यपि ऐसे दोहराए गए चरों के लिए अधिक संक्षिप्त सूत्र हैं। शून्य-माध्य यादृच्छिक सदिश के लिए,

$\kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ).\,$

$\kappa (X,Y,Z,W)=\operatorname {E} (XYZW)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (ZW)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (YW)-\operatorname {E} (XW)\operatorname {E} (YZ).\,$

मात्र यादृच्छिक चर का संयुक्त संचयी इसका अपेक्षित मान है, और दो यादृच्छिक चर का संयुक्त संचयी उनका सहप्रसरण है। यदि कुछ यादृच्छिक चर अन्य सभी से स्वतंत्र हैं, तो दो (या अधिक) स्वतंत्र यादृच्छिक चर वाला कोई भी संचयी शून्य है। यदि सभी n यादृच्छिक चर समान हैं, तो संयुक्त संचयी n-वाँ साधारण संचयी है।

संचयी के संदर्भ में क्षणों की अभिव्यक्ति का संयुक्त अर्थ, क्षणों के संदर्भ में संचयी की तुलना में समझना सरल है:

$\operatorname {E} (X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\kappa (X_{i}:i\in B).$

उदाहरण के लिए:

$\operatorname {E} (XYZ)=\kappa (X,Y,Z)+\kappa (X,Y)\kappa (Z)+\kappa (X,Z)\kappa (Y)+\kappa (Y,Z)\kappa (X)+\kappa (X)\kappa (Y)\kappa (Z).\,$

संयुक्त संचयकों की अन्य महत्वपूर्ण गुण बहुरेखीयता है:

$\kappa (X+Y,Z_{1},Z_{2},\dots )=\kappa (X,Z_{1},Z_{2},\ldots )+\kappa (Y,Z_{1},Z_{2},\ldots ).\,$

जिस प्रकार दूसरा संचयी प्रसरण है, उसी प्रकार मात्र दो यादृच्छिक चरों का संयुक्त संचयी सहप्रसरण है। परिचित पहचान

$\operatorname {var} (X+Y)=\operatorname {var} (X)+2\operatorname {cov} (X,Y)+\operatorname {var} (Y)\,$

संचयकों के लिए सामान्यीकरण करती है:

$\kappa _{n}(X+Y)=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}\kappa (\,\underbrace {X,\dots ,X} _{j},\underbrace {Y,\dots ,Y} _{n-j}\,).\,$

सप्रतिबन्ध संचयन और कुल संचयन का नियम

Main article: कुल संचयन का नियम

कुल अपेक्षा का नियम और कुल विचरण का नियम सप्रतिबन्ध संचयकों के लिए स्वाभाविक रूप से सामान्यीकृत होता है। स्थिति n = 3, संचयी के अतिरिक्त (केंद्रीय) क्षणों की भाषा में व्यक्त किया गया है,

$\mu _{3}(X)=\operatorname {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatorname {E} (X\mid Y))+3\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Y),\operatorname {var} (X\mid Y))$ कहता है।

सामान्य रूप में,

$\kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }\kappa (\kappa (X_{\pi _{1}}\mid Y),\dots ,\kappa (X_{\pi _{b}}\mid Y))$

जहाँ

• योग सूचकांकों के समूह { 1, ..., n } के सभी विभाजन π पर है, और
• π₁, ।।।, π_b सभी विभाजन π के "वर्ग" हैं; अभिव्यक्ति κ(X_πm) इंगित करती है कि यादृच्छिक चर का संयुक्त संचयी जिसके सूचकांक विभाजन के उस वर्ग में हैं।

सांख्यिकीय भौतिकी से संबंध

सांख्यिकीय भौतिकी में कई व्यापक मात्राएँ - अर्थात वे मात्राएँ जो किसी दिए गए प्रणाली के आयतन या आकार के समानुपाती होती हैं - यादृच्छिक चर के संचयकों से संबंधित होती हैं। गहन संबंध यह है कि बड़ी प्रणाली में ऊर्जा या कणों की संख्या जैसी व्यापक मात्रा को लगभग स्वतंत्र क्षेत्रों से जुड़ी ऊर्जा (कहें) के योग के रूप में माना जा सकता है। तथ्य यह है कि इन लगभग स्वतंत्र यादृच्छिक चर के संचयी (लगभग) योग देंगे, जिससे यह उचित हो जाता है कि व्यापक मात्रा में संचयी से संबंधित होने की अपेक्षा की जानी चाहिए।

तापमान T पर तापीय स्नान के साथ संतुलन में एक प्रणाली में उच्चावचन वाली आंतरिक ऊर्जा E होती है, जिसे वितरण $E\sim p(E)$ से लिया गया एक यादृच्छिक चर माना जा सकता है। प्रणाली का विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)

$Z(\beta )=\langle \exp(-\beta E)\rangle ,\,$

है, जहां β = 1/(kT) और k बोल्ट्ज़मैन का स्थिरांक है और ऊर्जा, E के साथ भ्रम से बचने के लिए अपेक्षित मान के लिए $\operatorname {E} [A]$ के अतिरिक्त अंकन $\langle A\rangle$ का उपयोग किया गया है। इसलिए ऊर्जा E के लिए प्रथम और दूसरा संचयी औसत ऊर्जा और ताप क्षमता देते हैं।

$\langle E\rangle _{c}={\frac {\partial \log Z}{\partial (-\beta )}}=\langle E\rangle$

$\langle E^{2}\rangle _{c}={\frac {\partial \langle E\rangle _{c}}{\partial (-\beta )}}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}=kT^{2}C$

$F(\beta )=-\beta ^{-1}\log Z(\beta )\,$

के संदर्भ में व्यक्त हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा ऊर्जा के लिए संचयी उत्पादन कार्य के साथ ऊष्मा गतिक मात्रा को जोड़ती है। ऊष्मा गतिकी गुण जो मुक्त ऊर्जा के व्युत्पन्न हैं, जैसे इसकी आंतरिक ऊर्जा, एन्ट्रॉपी और विशिष्ट ताप क्षमता, सभी को इन संचयकों के संदर्भ में सरलता से व्यक्त किया जा सकता है। अन्य मुक्त ऊर्जा अन्य चर का एक कार्य हो सकती है जैसे चुंबकीय क्षेत्र या रासायनिक क्षमता $\mu$, उदाहरण के लिए

$\Omega =-\beta ^{-1}\log(\langle \exp(-\beta E-\beta \mu N)\rangle ),\,$

जहाँ N कणों की संख्या है और $\Omega$ श्रेष्ठ क्षमता है। पुनः मुक्त ऊर्जा की परिभाषा और संचयी उत्पादन फलन के बीच घनिष्ठ संबंध का तात्पर्य है कि इस मुक्त ऊर्जा के विभिन्न व्युत्पन्नों को E और N के संयुक्त संचयी के रूप में लिखा जा सकता है।

इतिहास

संचयी के इतिहास पर एंडर्स हाल्ड द्वारा चर्चा की गई है।

संचयी को पहली बार 1889 में थोरवाल्ड एन. थीले द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिन्होंने उन्हें अर्ध-अपरिवर्तनीय कहा था। उन्हें पहली बार रोनाल्ड फिशर और जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्) द्वारा 1932 के लेख में संचयी कहा गया था। फिशर को नेमैन द्वारा सार्वजनिक रूप से थिएल के कार्य का स्मृति कराया गया, जो फिशर के ध्यान में लाए गए थिएल के पूर्व प्रकाशित उद्धरणों को भी नोट करता है। स्टीफन स्टिगलर ने कहा है कि हेरोल्ड होटलिंग के पत्र में फिशर को संचयी नाम का सुझाव दिया गया था। 1929 में प्रकाशित एक पेपर में फिशर ने इन्हें संचयी क्षण फलन कहा था। सांख्यिकीय भौतिकी में विभाजन फलन के प्रारंभ 1901 में जोशिया विलार्ड गिब्स द्वारा की गई थी। मुक्त ऊर्जा को प्रायः गिब्स मुक्त ऊर्जा कहा जाता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी में, संचयी को 1927 में प्रकाशन से संबंधित उर्सेल फलन के रूप में भी जाना जाता है।

सामान्यीकृत समायोजन में संचयक

औपचारिक संचयक

अधिक सामान्यतः, किसी अनुक्रम के संचयी { m_n : n = 1, 2, 3, ... }, आवश्यक नहीं कि किसी प्रायिकता वितरण के क्षण, परिभाषा के अनुसार,

$1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right),$

हों, जहां n = 1, 2, 3, ... के लिए κ_n का मान हो, औपचारिक रूप से पाए जाते हैं, अर्थात, अकेले बीजगणित द्वारा, इस प्रश्न की उपेक्षा करते हुए कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण करती है। जब कोई औपचारिक रूप से कार्य करता है तो संचयकों की समस्या की सभी कठिनाइयां अनुपस्थित हो जाती हैं। सबसे सरल उदाहरण यह है कि प्रायिकता वितरण का दूसरा संचयी सदैव गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, और मात्र तभी शून्य होता है जब सभी उच्च संचयी शून्य हों। औपचारिक सहचालक ऐसी किसी बाध्यता के अधीन नहीं हैं।

बेल संख्या

साहचर्य में, n-वें बेल संख्या आकार n के समूह के विभाजन की संख्या है । बेल संख्याओं के अनुक्रम के सभी संचयक 1 के बराबर हैं। बेल संख्याएँ अपेक्षित मान 1 के साथ पॉइसन वितरण के क्षण हैं।

द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रम के संचयी

किसी भी क्रम के लिए {{math|1={ κ_n : n = 1, 2, 3, ।।। } }विशेषता शून्य के क्षेत्र (गणित) में अदिश (गणित) का, औपचारिक संचयी माना जाता है, संगत अनुक्रम होता है { μ ′ : n = 1, 2, 3, ...}औपचारिक क्षणों का, उपरोक्त बहुपदों द्वारा दिया गया है। उन बहुपदों के लिए, निम्नलिखित तरीके से बहुपद अनुक्रम बनाएं। बहुपद से बाहर

${\begin{aligned}\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}\end{aligned}}$

इनमें नया बहुपद और अतिरिक्त चर बनाएं x:

${\begin{aligned}p_{6}(x)={}&\kappa _{6}\,x+(6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2})\,x^{2}+(15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+15\kappa _{2}^{3})\,x^{3}\\&{}+(45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2})\,x^{4}+(15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4})\,x^{5}+(\kappa _{1}^{6})\,x^{6},\end{aligned}}$

और फिर पैटर्न को सामान्यीकृत करें। पैटर्न यह है कि उपरोक्त विभाजनों में वर्गों की संख्या पर घातांक हैं x। संचयकों में प्रत्येक गुणांक बहुपद है; ये बेल बहुपद हैं, जिनका नाम एरिक टेम्पल बेल के नाम पर रखा गया है।

बहुपदों का यह क्रम द्विपद प्रकार का होता है। वास्तव में, द्विपद प्रकार का कोई अन्य क्रम स्थित नहीं है; द्विपद प्रकार का प्रत्येक बहुपद अनुक्रम पूर्ण रूप से उसके औपचारिक संचयकों के अनुक्रम से निर्धारित होता है।

निःशुल्क संचयक

उपरोक्त क्षण-संचयी सूत्र में

$\operatorname {E} (X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa (X_{i}:i\in B)$

संयुक्त संचयकों के लिए, समूह के सभी विभाजनों का योग { 1, ..., n }। यदि इसके अतिरिक्त, कोई मात्र गैर-क्रॉसिंग विभाजनों का योग करता है, तो, इन सूत्रों को हल करके $\kappa$ क्षणों के संदर्भ में, किसी को ऊपर बताए गए पारंपरिक क्यूमुलंट के अतिरिक्त मुफ्त क्यूमुलंट मिलते हैं। ये मुक्त संचयी रोलैंड स्पीचर द्वारा प्रस्तुत किए गए थे और मुक्त प्रायिकता सिद्धांत में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। उस सिद्धांत में, यादृच्छिक चर के बीजगणित के टेन्सर उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित यादृच्छिक चर की सांख्यिकीय स्वतंत्रता पर विचार करने के अतिरिक्त, बीजगणित के मुक्त उत्पादों के संदर्भ में परिभाषित यादृच्छिक चर की स्वतंत्र स्वतंत्रता पर विचार किया जाता है।

सामान्य वितरण के 2 से अधिक परिमाण वाले सामान्य संचयी शून्य होते हैं। विग्नर अर्धवृत्त वितरण के 2 से अधिक परिमाण के मुक्त संचयी शून्य हैं।यह ऐसा संबंध है जिसमें मुक्त प्रायिकता सिद्धांत में विग्नर वितरण की भूमिका पारंपरिक प्रायिकता सिद्धांत में सामान्य वितरण के अनुरूप है।

यह भी देखें

• एन्ट्रोपिक मान खतरे में है
• मल्टीसमूह#संचयी जनक फलन
• कोर्निश-फिशर विस्तार
• एडगेवर्थ विस्तार
• पॉलीके
• के-सांख्यिकी, संचयी का न्यूनतम-विचरण निष्पक्ष अनुमानक
• उर्सेल फलन
• क्वांटम रसायन विज्ञान में इलेक्ट्रॉनिक तरंग फलन का विश्लेषण करने के लिए संचयी के अनुप्रयोग के रूप में कुल स्थिति स्प्रेड टेंसर।

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Cumulant". MathWorld.
• cumulant on the Earliest known uses of some of the words of mathematics