सोबर समष्टि

गणित में, सोबर स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस X है, जैसे कि X का प्रत्येक (गैररिक्त) अघुलनशील स्थान बंद उपसमुच्चय X के बिल्कुल एक बिंदु का समापन (टोपोलॉजी) है: यानी , प्रत्येक इरेड्यूसेबल बंद उपसमुच्चय में एक अद्वितीय सामान्य बिंदु होता है।

परिभाषाएँ

सोबर स्पेस में विभिन्न प्रकार की क्रिप्टोमोर्फिक परिभाषाएँ हैं, जिन्हें इस खंड में प्रलेखित किया गया है। नेट के संदर्भ में परिभाषा को छोड़कर सभी का वर्णन किया गया है। नीचे दिए गए प्रत्येक मामले में, यूनिक को अधिकतम एक से बदलने पर कोलमोगोरोव स्पेस|टी का समतुल्य सूत्रीकरण प्राप्त होता है₀ स्वयंसिद्ध. इसे कम से कम एक से बदलना टी की संपत्ति के बराबर है₀ स्थान का भाग शांत है, जिसे कभी-कभी साहित्य में पर्याप्त अंक होने के रूप में जाना जाता है।

पूर्ण हेयटिंग बीजगणित के रूपवाद के संदर्भ में

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $\{0,1\}$ एक-बिंदु स्थान से एक्स तक एक अद्वितीय निरंतर फ़ंक्शन की उलटा छवि है।

इसे किसी स्थान में एक बिंदु की धारणा और टोपोलॉजिकल स्पेस में एक बिंदु के बीच एक पत्राचार के रूप में देखा जा सकता है, जो प्रेरक परिभाषा है।

पूरी तरह से प्राइम फ़िल्टर का उपयोग करना

ओपन सेट के टोपोलॉजी एफ में फिल्टर को किसी भी परिवार के लिए पूरी तरह से प्राइम कहा जाता है $O_{i}$ ऐसे खुले सेटों का $\bigcup _{i}O_{i}\in F$, हमारे पास वह है $O_{i}\in F$ कुछ के लिए मैं एक स्पेस एक्स सोबर है यदि इसका प्रत्येक पूरी तरह से प्राइम फिल्टर एक्स में एक अद्वितीय बिंदु का पड़ोस फिल्टर है।

जाल के संदर्भ में

एक जाल (गणित) $x_{\bullet }$ यदि यह प्रत्येक बिंदु पर अभिसरण होता है तो स्व-अभिसरण होता है $x_{i}$ में $x_{\bullet }$, या समकक्ष यदि इसका संभावित फ़िल्टर पूरी तरह से प्राइम है। एक शुद्ध $x_{\bullet }$ जो कि एकत्रित हो जाता है $x$ यदि यह केवल समापन के बिंदुओं पर ही परिवर्तित हो सकता है तो दृढ़ता से अभिसरण करता है $x$. यदि प्रत्येक स्व-अभिसरण जाल हो तो एक स्थान शांत होता है $x_{\bullet }$ एक अनूठे बिंदु पर दृढ़ता से एकत्रित होता है $x$. विशेष रूप से, एक स्थान T1 और शांत होता है यदि प्रत्येक स्व-अभिसरण जाल स्थिर हो।

अपरिवर्तनीय बंद सेट के साथ

एक बंद सेट हाइपरकनेक्टेड_स्पेस है यदि इसे दो उचित बंद उपसमुच्चयों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। यदि प्रत्येक अप्रासंगिक बंद उपसमुच्चय एक अद्वितीय बिंदु का समापन है तो एक स्थान शांत होता है।

अंतरिक्ष पर ढेरों की संपत्ति के रूप में

एक स्पेस

गुण और उदाहरण

कोई भी T2 स्थान (T₂) अंतरिक्ष शांत है (केवल अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय बिंदु हैं), और सभी शांत स्थान T0 स्थान हैं (T₀), और दोनों के निहितार्थ सख्त हैं। संयम की तुलना T1 स्पेस|T से नहीं की जा सकती₁स्थिति:

• टी का एक उदाहरण₁ जो स्थान शांत नहीं है, वह सह-परिमित टोपोलॉजी के साथ एक अनंत सेट है, पूरा स्थान बिना किसी सामान्य बिंदु के एक अप्रासंगिक बंद उपसमुच्चय है;
• सोबर स्पेस का एक उदाहरण जो टी नहीं है₁ सीरपिंस्की स्थान है।

इसके अलावा टी₂ T से अधिक मजबूत है₁ और शांत, यानी, जबकि हर टी₂ अंतरिक्ष एक बार में टी है₁ और शांत, ऐसे स्थान मौजूद हैं जो एक साथ टी हैं₁ और शांत, लेकिन टी नहीं₂. ऐसा ही एक उदाहरण निम्नलिखित है: मान लीजिए कि X वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, जिसके साथ एक नया बिंदु p जुड़ा हुआ है; खुले समुच्चय सभी वास्तविक खुले समुच्चय होते हैं, और सभी सह-परिमित समुच्चय जिनमें p होता है।

एक्स की संयमिता वास्तव में एक ऐसी स्थिति है जो एक्स के लैटिस (आदेश) को होमियोमोर्फिज्म तक एक्स निर्धारित करने के लिए मजबूर करती है, जो व्यर्थ टोपोलॉजी के लिए प्रासंगिक है।

संयम विशेषज्ञता को पूर्व-आदेश को निर्देशित पूर्ण आंशिक क्रम बनाता है।

स्कॉट_निरंतरता से सुसज्जित प्रत्येक डोमेन_सिद्धांत शांत है।

परिमित टी₀ स्थान शांत हैं. ज़ारिस्की टोपोलॉजी के साथ एक क्रमविनिमेय वलय आर का प्राइम स्पेक्ट्रम स्पेक (आर) एक सघन स्थान सोबर स्पेस है। वास्तव में, प्रत्येक वर्णक्रमीय स्थान (यानी एक कॉम्पैक्ट सोबर स्पेस जिसके लिए कॉम्पैक्ट खुले उपसमुच्चय का संग्रह परिमित चौराहों के तहत बंद होता है और टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है) कुछ कम्यूटेटिव रिंग आर के लिए स्पेक (आर) के लिए होमोमोर्फिक है। यह एक प्रमेय है मेल्विन होचस्टर का। अधिक सामान्यतः, किसी भी योजना (गणित) का अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्थान एक शांत स्थान होता है।

स्पेक (आर) का उपसमुच्चय जिसमें केवल अधिकतम आदर्श शामिल हैं, जहां आर एक क्रमविनिमेय वलय है, सामान्य तौर पर शांत नहीं है।

यह भी देखें

• स्टोन द्वंद्व, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच द्वंद्व पर जो शांत हैं और फ्रेम (यानी पूर्ण हेटिंग बीजगणित) जो स्थानिक हैं।

अग्रिम पठन

• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
• Vickers, Steven (1989). Topology via logic. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science. Vol. 5. Cambridge: Cambridge University Press. p. 66. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001.