गैलोइस विस्तार

गणित में, गैलोइस एक्सटेंशन एक बीजीय विस्तार फ़ील्ड विस्तार ई/एफ है जो सामान्य विस्तार और अलग करने योग्य विस्तार है; या समकक्ष, ई/एफ बीजगणितीय है, और ऑटोमोर्फिज्म समूह ऑट (ई/एफ) द्वारा निश्चित क्षेत्र बिल्कुल आधार क्षेत्र (गणित) एफ है। गैलोज़ एक्सटेंशन होने का महत्व यह है कि एक्सटेंशन में गैलोज़ समूह है और गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय का पालन करता है।

एमिल आर्टिन का परिणाम निम्नानुसार गैलोज़ एक्सटेंशन का निर्माण करने की अनुमति देता है: यदि ई एक दिया गया फ़ील्ड है, और जी निश्चित फ़ील्ड एफ के साथ ई के ऑटोमोर्फिज्म का एक सीमित समूह है, तो ई/एफ एक गैलोज़ एक्सटेंशन है।

गैलोइस एक्सटेंशन की विशेषता

एमिल आर्टिन का एक महत्वपूर्ण प्रमेय बताता है कि एक सीमित विस्तार के लिए $E/F,$ निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन उस कथन के समतुल्य है $E/F$ गैलोज़ है:

• $E/F$ एक सामान्य विस्तार और एक अलग करने योग्य विस्तार है।
• $E$ गुणांकों के साथ एक पृथक्करणीय बहुपद का विभाजन क्षेत्र है $F.$
• $|\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],$ अर्थात्, ऑटोमोर्फिज्म की संख्या विस्तार की डिग्री (क्षेत्र सिद्धांत) के बराबर होती है।

अन्य समकक्ष कथन हैं:

• प्रत्येक अघुलनशील बहुपद में $F[x]$ कम से कम एक जड़ के साथ $E$ विभाजित हो जाता है $E$ और वियोज्य है.
• $|\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],$ अर्थात्, ऑटोमोर्फिज्म की संख्या कम से कम विस्तार की डिग्री है।
• $F$ के एक उपसमूह का निश्चित क्षेत्र है $\operatorname {Aut} (E).$
• $F$ का निश्चित क्षेत्र है $\operatorname {Aut} (E/F).$
• गैलोइस सिद्धांत का एक-से-एक मौलिक प्रमेय है#उपक्षेत्रों के बीच पत्राचार का स्पष्ट विवरण $E/F$ और के उपसमूह $\operatorname {Aut} (E/F).$

उदाहरण

गैलोज़ एक्सटेंशन के उदाहरण बनाने के दो बुनियादी तरीके हैं।

• कोई भी फ़ील्ड लें $E$, का कोई भी परिमित उपसमूह $\operatorname {Aut} (E)$, और जाने $F$ निश्चित फ़ील्ड हो.
• कोई भी फ़ील्ड लें $F$, कोई भी वियोज्य बहुपद $F[x]$, और जाने $E$ इसका विभाजन क्षेत्र हो.

परिमेय संख्या क्षेत्र के साथ संयोजन (क्षेत्र सिद्धांत) 2 का वर्गमूल एक गैलोज़ विस्तार देता है, जबकि 2 का घनमूल एक गैर-गैलोइस विस्तार देता है। ये दोनों एक्सटेंशन अलग-अलग हैं, क्योंकि इनमें विशेषता शून्य है। उनमें से पहला विभाजन क्षेत्र है $x^{2}-2$; दूसरे में सामान्य एक्सटेंशन है जिसमें जटिल Root_of_unity शामिल है, और इसलिए यह एक विभाजन क्षेत्र नहीं है। वास्तव में, इसमें पहचान के अलावा कोई ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, क्योंकि यह वास्तविक संख्याओं में निहित है $x^{3}-2$ केवल एक ही वास्तविक जड़ है. अधिक विस्तृत उदाहरणों के लिए, गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय पर पृष्ठ देखें।

एक बीजगणितीय समापन ${\bar {K}}$ एक मनमाने क्षेत्र का $K$ गैलोइस खत्म हो गया है $K$ अगर और केवल अगर $K$ एक आदर्श क्षेत्र है.

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

अग्रिम पठन

• Artin, Emil (1998) [1944]. Galois Theory. Edited and with a supplemental chapter by Arthur N. Milgram. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4. MR 1616156.
• Bewersdorff, Jörg (2006). Galois theory for beginners. Student Mathematical Library. Vol. 35. Translated from the second German (2004) edition by David Kramer. American Mathematical Society. doi:10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2. MR 2251389. S2CID 118256821.
• Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 101. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. MR 0743418. (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
• Funkhouser, H. Gray (1930). "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations". American Mathematical Monthly. The American Mathematical Monthly, Vol. 37, No. 7. 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. JSTOR 2299273.
• "Galois theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd ed.). W.H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
• Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001). Galois theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0. (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 110 (Second ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4. MR 1282723.
• Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich (2004). Foundations of Galois Theory. With a foreword by P. J. Hilton. Reprint of the 1962 edition. Translated from the 1960 Russian original by Ann Swinfen. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0. MR 2043554.
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory. Universitext (Second ed.). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586.
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612.
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (in German). Berlin: Springer.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link). English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949. (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Pop, Florian (2001). "(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic" (PDF).