विनिमय आव्यूह

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गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, विनिमय आव्यूह (जिसे उत्क्रमण मैट्रिक्स, पश्च तत्समक, या मानक अनैच्छिक क्रमपरिवर्तन भी कहा जाता है) क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के विशेष प्रकरण हैं, जहां 1 तत्व प्रतिविकर्ण (एंटीडायगोनल) पर रहते हैं और अन्य सभी तत्व शून्य हैं। दूसरे शब्दों में, वे तत्समक आव्यूह के 'पंक्ति-उत्क्रमित' या 'स्तंभ-उत्क्रमित' संस्करण हैं।[1]


परिभाषा

यदि J n × n विनिमय आव्यूह है, तो J के तत्व हैं

गुण

  • विनिमय आव्यूह द्वारा एक आव्यूह को पूर्व-गुणित करने से पूर्व की पंक्तियों की स्थिति लंबवत रूप से फ़्लिप हो जाती है, अर्थात,
  • विनिमय आव्यूह द्वारा एक आव्यूह को पश्चात गुणन करने से पूर्व के कॉलम की स्थिति क्षैतिज रूप से फ़्लिप हो जाती है, अर्थात,
  • विनिमय आव्यूह सममित हैं; अर्थात्, JnT = Jn
  • किसी भी पूर्णांक k के लिए, यदि k सम है तो Jnk = I और यदि k विषम है तो Jnk = Jn है। विशेष रूप से, Jn एक अनैच्छिक आव्यूह है; अर्थात् Jn−1 = Jn है।
  • यदि n विषम है तो Jn का ट्रेस 1 है और यदि n सम है तो 0 है। दूसरे शब्दों में, Jn का ट्रेस के समान है।
  • Jn का निर्धारक के समान है। n के फलन के रूप में, इसका आवर्त 4 है, जो 1, 1, −1, −1 देता है जब n क्रमशः 4 से 0, 1, 2, और 3 के सर्वांगसम मापांक है।
  • Jn का अभिलक्षणिक बहुपद है जब n सम है, और जब n विषम है।
  • Jn का एडजुगेट आव्यूह है।

संबंध

  • विनिमय आव्यूह सबसे सरल प्रति-विकर्ण आव्यूह है।
  • कोई भी आव्यूह A जो प्रतिबंध AJ = JA को संतुष्ट करता है उसे केन्द्रसममित कहा जाता है।
  • कोई भी आव्यूह A जो AJ = JAT की स्थिति को संतुष्ट करता है, उसे पर्सिमेट्रिक कहा जाता है।
  • सममित आव्यूह A जो प्रतिबंध AJ = JA को संतुष्ट करते हैं, द्विसममित आव्यूह आव्यूह कहलाते हैं। द्विसममितीय मैट्रिक्स केन्द्रसममित और पर्सिमेट्रिक दोनों होते हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, p. 33, ISBN 9781139788885.