परमाणु मॉडल (गणितीय तर्क)
मॉडल सिद्धांत में, गणितीय तर्क का एक उपक्षेत्र, एक परमाणु मॉडल एक ऐसा मॉडल है जिसमें प्रत्येक टुपल का पूरा प्रकार (मॉडल सिद्धांत) एक एकल सूत्र (तर्क) द्वारा स्वयंसिद्ध होता है। ऐसे प्रकारों को प्रमुख प्रकार कहा जाता है, और जो सूत्र उन्हें स्वयंसिद्ध करते हैं उन्हें पूर्ण सूत्र कहा जाता है।
परिभाषाएँ
मान लीजिए T एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) है। एक पूर्ण प्रकार p(x1, ..., एक्सn) को प्रमुख या परमाणु (T के सापेक्ष) कहा जाता है यदि इसे T के सापेक्ष एक सूत्र φ(x द्वारा स्वयंसिद्ध किया जाता है)1, ..., एक्सn) ∈ पी(एक्स1, ..., एक्सn).
एक सूत्र φ को T में 'पूर्ण' कहा जाता है यदि प्रत्येक सूत्र ψ(x) के लिए1, ..., एक्सn), सिद्धांत T ∪ {φ} बिल्कुल ψ और ¬ψ में से एक पर जोर देता है।[1] इसका तात्पर्य यह है कि एक पूर्ण प्रकार तभी प्रमुख होता है जब उसमें एक पूर्ण सूत्र होता है।
एक मॉडल M को 'परमाणु' कहा जाता है यदि M के तत्वों का प्रत्येक n-टुपल एक सूत्र को संतुष्ट करता है जो Th(M) में पूर्ण है - M का सिद्धांत।
उदाहरण
- वास्तविक संख्या बीजगणितीय संख्याओं का क्रमबद्ध क्षेत्र वास्तविक बंद क्षेत्रों के सिद्धांत का अद्वितीय परमाणु मॉडल है।
- कोई भी परिमित मॉडल परमाणु है।
- अंतबिंदु के बिना सघन रैखिक क्रम परमाणु है।
- गणनीय सिद्धांत का कोई भी अभाज्य मॉडल प्रकार (मॉडल_सिद्धांत)#ओमिटिंग प्रकार प्रमेय द्वारा परमाणु होता है।
- कोई भी गणनीय परमाणु मॉडल अभाज्य है, लेकिन ऐसे बहुत से परमाणु मॉडल हैं जो अभाज्य नहीं हैं, जैसे कि अंतिम बिंदुओं के बिना एक बेशुमार सघन रैखिक क्रम।
- स्वतंत्र एकात्मक संबंधों की गणनीय संख्या का सिद्धांत पूर्ण है लेकिन इसमें कोई पूर्ण करने योग्य सूत्र और कोई परमाणु मॉडल नहीं है।
गुण
आगे-पीछे विधि का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि किसी सिद्धांत के कोई भी दो गणनीय परमाणु मॉडल जो प्राथमिक रूप से समतुल्य हैं, समरूपी हैं।
टिप्पणियाँ
- ↑ Some authors refer to complete formulas as "atomic formulas", but this is inconsistent with the purely syntactical notion of an atom or atomic formula as a formula that does not contain a proper subformula.
संदर्भ
- Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990), Model Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
- Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6
