भिन्न-भिन्नता (डिफरिन्टिग्रल)

"Fractional integration" redirects here. Not to be confused with Autoregressive fractionally integrated moving average.

भिन्नात्मक कलन में, गणितीय विश्लेषण का एक क्षेत्र, डिफरिइंटीग्रल (कभी-कभी डेरिविग्रल भी कहा जाता है) एक संयुक्त विभेदक संचालिका /अभिन्न ऑपरेटर ऑपरेटर है। एक फ़ंक्शन (गणित) पर लागू, q-'f का अलग-अलग इंटीग्रल, यहां द्वारा दर्शाया गया है

$\mathbb {D} ^{q}f$

Fractional_calculus#Historical_notes (यदि q > 0) या Fractional_calculus#Fractional_integrals (यदि q < 0) है। यदि q = 0 है, तो किसी फ़ंक्शन का q-वां विभेदक फ़ंक्शन ही होता है। भिन्नात्मक एकीकरण और विभेदीकरण के संदर्भ में, विभेदक एकीकरण की कई वैध परिभाषाएँ हैं।

मानक परिभाषाएँ

चार सबसे सामान्य रूप हैं:

• रीमैन-लिउविले भिन्न अभिन्न
  यह उपयोग करने में सबसे सरल और आसान है, और परिणामस्वरूप इसका सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। यह मनमाने ढंग से क्रम में बार-बार एकीकरण के लिए कॉची सूत्र का सामान्यीकरण है। यहाँ, $n=\lceil q\rceil$.
  $${\begin{aligned}{}_{a}^{RL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}$$
• ग्रुनवाल्ड-लेटनिकोव भिन्न अभिन्न
  ग्रुनवाल्ड-लेटनिकोव डिफ़रिन्टिग्रल एक व्युत्पन्न की परिभाषा का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण है। रीमैन-लिउविल डिफ्रिइंटीग्रल की तुलना में इसका उपयोग करना अधिक कठिन है, लेकिन कभी-कभी इसका उपयोग उन समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है जो रीमैन-लिउविल नहीं कर सकता।
  $${\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}$$
• वेइल डिफ़रइंटीग्रल
  यह औपचारिक रूप से रीमैन-लिउविल डिफ्रिइंटीग्रल के समान है, लेकिन एक अवधि में अभिन्न शून्य के साथ, आवधिक कार्यों पर लागू होता है।
• कैपुटो डिफ़रइंटीग्रल
  रीमैन-लिउविल डिफ़रिन्टिग्रल के विपरीत, कैपुटो एक स्थिरांक का व्युत्पन्न है $f(t)$ शून्य के बराबर है. इसके अलावा, लाप्लास ट्रांसफॉर्म का एक रूप बिंदु पर परिमित, पूर्णांक-क्रम डेरिवेटिव की गणना करके प्रारंभिक स्थितियों का आसानी से मूल्यांकन करने की अनुमति देता है $a$.
  $${\begin{aligned}{}_{a}^{C}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{aligned}}$$

परिवर्तन के माध्यम से परिभाषाएँ

लिउविले, फूरियर, और ग्रुनवाल्ड और लेटनिकोव द्वारा दी गई भिन्नात्मक व्युत्पन्न की परिभाषाएँ मेल खाती हैं। उन्हें लाप्लास, फूरियर रूपांतरण या न्यूटन श्रृंखला विस्तार के माध्यम से दर्शाया जा सकता है।

निरंतर फूरियर रूपांतरण को याद करें, जिसे यहां दर्शाया गया है ${\mathcal {F}}$:

$$F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$

निरंतर फूरियर रूपांतरण का उपयोग करते हुए, फूरियर अंतरिक्ष में, विभेदन गुणन में बदल जाता है:

$${\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]$$

इसलिए,

$${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}$$

जो सामान्यीकरण करता है

$$\mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.$$

द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के अंतर्गत, यहाँ द्वारा दर्शाया गया है ${\mathcal {L}}$ और के रूप में परिभाषित किया गया है ${\textstyle {\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$, विभेदीकरण गुणन में बदल जाता है

$${\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].$$

मनमाने ढंग से आदेश का सामान्यीकरण करना और उसका समाधान करना $\mathbb {D} ^{q}f(t)$, कोई प्राप्त करता है

$$\mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.$$

न्यूटन श्रृंखला के माध्यम से प्रतिनिधित्व लगातार पूर्णांक आदेशों पर न्यूटन प्रक्षेप है:

$$\mathbb {D} ^{q}f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {q}{m}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{m-k}f^{(k)}(x).$$

इस अनुभाग में वर्णित भिन्नात्मक व्युत्पन्न परिभाषाओं के लिए, निम्नलिखित पहचानें मान्य हैं:

$\mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}$

$\mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)$

$\mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}$

बुनियादी औपचारिक गुण

• रैखिक ऑपरेटर नियम
  $$\mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)$$

$$\mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)$$

• शून्य नियम
  $$\mathbb {D} ^{0}f=f$$
• प्रॉडक्ट नियम
  $$\mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)$$

सामान्य तौर पर, रचना (या अर्धसमूह) नियम एक वांछनीय संपत्ति है, लेकिन गणितीय रूप से इसे प्राप्त करना कठिन है और इसलिए प्रत्येक प्रस्तावित ऑपरेटर द्वारा 'हमेशा पूरी तरह से संतुष्ट नहीं' होता है; यह निर्णय लेने की प्रक्रिया का हिस्सा है कि किसे चुनना है:

• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f=\mathbb {D} ^{a+b}f}$ (आदर्श रूप से)
• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f\neq \mathbb {D} ^{a+b}f}$ (व्यवहार में)

यह भी देखें

• फ्रैक्शनल-ऑर्डर इंटीग्रेटर

संदर्भ

• Miller, Kenneth S. (1993). Ross, Bertram (ed.). An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. Wiley. ISBN 0-471-58884-9.
• Oldham, Keith B.; Spanier, Jerome (1974). The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. Mathematics in Science and Engineering. Vol. V. Academic Press. ISBN 0-12-525550-0.
• Podlubny, Igor (1998). Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications. Mathematics in Science and Engineering. Vol. 198. Academic Press. ISBN 0-12-558840-2.
• Carpinteri, A.; Mainardi, F., eds. (1998). Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Springer-Verlag. ISBN 3-211-82913-X.
• Mainardi, F. (2010). Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. Imperial College Press. ISBN 978-1-84816-329-4. Archived from the original on 2012-05-19.
• Tarasov, V.E. (2010). Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. Nonlinear Physical Science. Springer. ISBN 978-3-642-14003-7.
• Uchaikin, V.V. (2012). Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Nonlinear Physical Science. Springer. Bibcode:2013fdpe.book.....U. ISBN 978-3-642-33910-3.
• West, Bruce J.; Bologna, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). Physics of Fractal Operators. Springer Verlag. ISBN 0-387-95554-2.

बाहरी संबंध

• MathWorld – Fractional calculus
• MathWorld – Fractional derivative
• Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis (1998-2014) and Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)
• Specialized journal: Fractional Differential Equations (FDE)
• Specialized journal: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
• Specialized journal: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (2002). "Initialized Fractional Calculus". Information Technology. Tech Briefs Media Group.
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
• Podlubny, I. (2002). "Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation" (PDF). Fractional Calculus and Applied Analysis. 5 (4): 367–386. arXiv:math.CA/0110241. Bibcode:2001math.....10241P.
• Zavada, P. (1998). "Operator of fractional derivative in the complex plane". Communications in Mathematical Physics. 192 (2): 261–285. arXiv:funct-an/9608002. Bibcode:1998CMaPh.192..261Z. doi:10.1007/s002200050299. S2CID 1201395.