वाल्ड परीक्षण

आंकड़ों में, वाल्ड परीक्षण (इब्राहीम का जन्म हुआ के नाम पर) शून्य परिकल्पना के तहत पैरामीटर अनुमान और उसके परिकल्पित मूल्य के बीच भारित दूरी के आधार पर सांख्यिकीय मापदंडों पर बाधा (गणित) का आकलन करता है, जहां वजन अनुमान की सटीकता (सांख्यिकी) है .^[1]^[2] सहज रूप से, यह भारित दूरी जितनी बड़ी होगी, बाधा के सत्य होने की संभावना उतनी ही कम होगी। जबकि वाल्ड परीक्षणों के नमूनाकरण वितरण आम तौर पर अज्ञात हैं,^[3] इसमें स्पर्शोन्मुख ची-वर्ग वितरण|χ है²-शून्य परिकल्पना के तहत वितरण, तथ्य जिसका उपयोग सांख्यिकीय महत्व निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।^[4] लैग्रेंज गुणक परीक्षण और संभावना-अनुपात परीक्षण के साथ, वाल्ड परीक्षण परिकल्पना परीक्षण के तीन शास्त्रीय दृष्टिकोणों में से है। अन्य दो की तुलना में वाल्ड परीक्षण का फायदा यह है कि इसमें केवल अप्रतिबंधित मॉडल के अनुमान की आवश्यकता होती है, जो संभावना-अनुपात परीक्षण की तुलना में कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है। हालाँकि, बड़ा नुकसान यह है कि (परिमित नमूनों में) यह शून्य परिकल्पना के प्रतिनिधित्व में परिवर्तन के लिए अपरिवर्तनीय नहीं है; दूसरे शब्दों में, गैर-रेखीय पैरामीटर प्रतिबंध की बीजगणितीय रूप से समतुल्य अभिव्यक्ति (गणित) परीक्षण सांख्यिकी के विभिन्न मूल्यों को जन्म दे सकती है।^[5]^[6] ऐसा इसलिए है क्योंकि वाल्ड आँकड़ा टेलर श्रृंखला से लिया गया है,^[7] और समतुल्य अरेखीय अभिव्यक्तियों को लिखने के विभिन्न तरीकों से संबंधित टेलर गुणांक में गैर-तुच्छ अंतर पैदा होते हैं।^[8] और विपथन, जिसे हॉक-डोनर प्रभाव के नाम से जाना जाता है,^[9] द्विपद प्रतिगमन तब हो सकता है जब अनुमानित (अप्रतिबंधित) पैरामीटर पैरामीटर स्थान की सीमा (टोपोलॉजी) के करीब होता है - उदाहरण के लिए फिट संभावना शून्य या के बेहद करीब होती है - जिसके परिणामस्वरूप वाल्ड परीक्षण अब मोनोटोनिक फ़ंक्शन नहीं रह जाता है अप्रतिबंधित और बाधित पैरामीटर के बीच की दूरी।^[10]^[11]

गणितीय विवरण

वाल्ड परीक्षण के तहत, अनुमान लगाया गया ${\hat {\theta }}$ यह पाया गया कि अप्रतिबंधित संभावना फ़ंक्शन की अधिकतम संभावना अनुमान की तुलना परिकल्पित मूल्य से की गई है $\theta _{0}$ . विशेष रूप से, वर्ग अंतर ${\hat {\theta }}-\theta _{0}$ लॉग-संभावना फ़ंक्शन की वक्रता द्वारा भारित किया जाता है।

एकल पैरामीटर पर परीक्षण

यदि परिकल्पना में केवल पैरामीटर प्रतिबंध शामिल है, तो वाल्ड आँकड़ा निम्नलिखित रूप लेता है:

W={\frac {{({\widehat {\theta }}-\theta _{0})}^{2}}{\operatorname {var} ({\hat {\theta }})}}

जो शून्य परिकल्पना के तहत स्पर्शोन्मुख χ का अनुसरण करता है²-स्वतंत्रता की डिग्री के साथ वितरण। एकल-प्रतिबंध वाल्ड सांख्यिकी के वर्गमूल को (छद्म) टी-सांख्यिकी|टी-अनुपात के रूप में समझा जा सकता है, जो कि, हालांकि, सामान्य के साथ रैखिक प्रतिगमन के विशेष मामले को छोड़कर वास्तव में छात्र का टी-वितरण|टी-वितरित नहीं है। वितरण त्रुटियाँ.^[12] सामान्य तौर पर, यह स्पर्शोन्मुख मानक सामान्य वितरण का पालन करता है।^[13]

{\sqrt {W}}={\frac {{\widehat {\theta }}-\theta _{0}}{\operatorname {se} ({\hat {\theta }})}}

कहाँ $\operatorname {se} ({\widehat {\theta }})$ अधिकतम संभावना अनुमान (एमएलई) की मानक त्रुटि है, जो विचरण का वर्गमूल है। विचरण मैट्रिक्स के सुसंगत अनुमानक के कई तरीके हैं जो परिमित नमूनों में मानक त्रुटियों और संबंधित परीक्षण आंकड़ों और पी-वैल्यू|पी-वैल्यू के वैकल्पिक अनुमान की ओर ले जाते हैं।^[14]

एकाधिक मापदंडों पर परीक्षण

वाल्ड परीक्षण का उपयोग कई मापदंडों पर ही परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है, साथ ही एकल/एकाधिक मापदंडों पर संयुक्त रूप से कई परिकल्पनाओं का परीक्षण करने के लिए भी किया जा सकता है। होने देना ${\hat {\theta }}_{n}$ पी मापदंडों का हमारा नमूना अनुमानक बनें (यानी, ${\hat {\theta }}_{n}$ है $P\times 1$ वेक्टर), जिसे सहप्रसरण मैट्रिक्स वी के साथ सामान्य वितरण का लक्षणहीन रूप से पालन करना माना जाता है, ${\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,V)$ . पी मापदंडों पर क्यू परिकल्पनाओं का परीक्षण के साथ व्यक्त किया गया है $Q\times P$ मैट्रिक्स आर:

H_{0}:R\theta =r

H_{1}:R\theta \neq r

शून्य परिकल्पना के अंतर्गत परीक्षण आँकड़ों का वितरण है

(R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)/Q\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad F(Q,n-P)\quad {\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\mathcal {D}}}\quad \chi _{Q}^{2}/Q,

जो बदले में तात्पर्य करता है

(R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\quad {\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\mathcal {D}}}\quad \chi _{Q}^{2},

कहाँ ${\hat {V}}_{n}$ सहप्रसरण मैट्रिक्स का अनुमानक है।^[15]

Proof

कल्पना करना ${\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,V)$ . फिर, स्लटस्की के प्रमेय द्वारा और बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण#एफ़िन परिवर्तन के गुणों द्वारा, आर द्वारा गुणा करने पर वितरण होता है:

R{\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta )={\sqrt {n}}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,RVR')

यह याद करते हुए कि सामान्य वितरण के द्विघात रूप में ची-वर्ग वितरण होता है:

{\sqrt {n}}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[RVR']^{-1}{\sqrt {n}}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,\chi _{Q}^{2}

n को पुनर्व्यवस्थित करने पर अंततः प्राप्त होता है:

(R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R(V/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad \chi _{Q}^{2}

क्या होगा यदि सहप्रसरण मैट्रिक्स को प्राथमिकता से ज्ञात नहीं किया गया है और डेटा से अनुमान लगाने की आवश्यकता है? यदि हमारे पास एक सुसंगत अनुमानक है ${\hat {V}}_{n}$ का $V$ ऐसा है कि $V^{-1}{\hat {V}}_{n}$ एक निर्धारक है जो वितरित है $\chi _{n-P}^{2}$ , तो उपरोक्त सहप्रसरण अनुमानक और समीकरण की स्वतंत्रता से, हमारे पास है:

(R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)/Q\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad F(Q,n-P)

अरेखीय परिकल्पना

मानक रूप में, वाल्ड परीक्षण का उपयोग रैखिक परिकल्पनाओं का परीक्षण करने के लिए किया जाता है जिन्हें एकल मैट्रिक्स आर द्वारा दर्शाया जा सकता है। यदि कोई फॉर्म की गैर-रेखीय परिकल्पना का परीक्षण करना चाहता है:

H_{0}:c(\theta )=0

H_{1}:c(\theta )\neq 0

परीक्षण आँकड़ा बन जाता है:

c\left({\hat {\theta }}_{n}\right)'\left[c'\left({\hat {\theta }}_{n}\right)\left({\hat {V}}_{n}/n\right)c'\left({\hat {\theta }}_{n}\right)'\right]^{-1}c\left({\hat {\theta }}_{n}\right)\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad \chi _{Q}^{2}

कहाँ $c'({\hat {\theta }}_{n})$ नमूना अनुमानक पर मूल्यांकित c का व्युत्पन्न है। यह परिणाम डेल्टा विधि का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, जो विचरण के पहले क्रम के सन्निकटन का उपयोग करता है।

पुन: पैरामीटरीकरण के लिए गैर-अपरिवर्तनीय

तथ्य यह है कि कोई विचरण के सन्निकटन का उपयोग करता है, इसका दोष यह है कि वाल्ड आँकड़ा परिकल्पना के गैर-रेखीय परिवर्तन/पुनरावर्तन के लिए अपरिवर्तनीय नहीं है: यह ही प्रश्न के अलग-अलग उत्तर दे सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि प्रश्न को किस प्रकार व्यक्त किया गया है। .^[16]^[5]उदाहरण के लिए, यह पूछना कि क्या R = 1, यह पूछने के समान है कि क्या log R = 0; लेकिन आर = 1 के लिए वाल्ड आँकड़ा लॉग आर = 0 के लिए वाल्ड आँकड़ा के समान नहीं है (क्योंकि आर और लॉग आर की मानक त्रुटियों के बीच सामान्य तौर पर कोई स्पष्ट संबंध नहीं है, इसलिए इसे अनुमानित करने की आवश्यकता है)।^[17]