चरों का परिवर्तन

For the concept in partial differential equations, see Change of variables (PDE).

गणित में, चर में परिवर्तन एक बुनियादी तकनीक है जिसका उपयोग समस्याओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है जिसमें मूल चर (गणित) को अन्य चर के फ़ंक्शन (गणित) से बदल दिया जाता है। आशय यह है कि जब नए चरों में व्यक्त किया जाता है, तो समस्या सरल हो सकती है, या बेहतर समझी जाने वाली समस्या के बराबर हो सकती है।

चरों का परिवर्तन एक संक्रिया है जो प्रतिस्थापन (बीजगणित) से संबंधित है। हालाँकि ये अलग-अलग ऑपरेशन हैं, जैसा कि व्युत्पन्न (श्रृंखला नियम) या अभिन्न (प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण) पर विचार करते समय देखा जा सकता है।

उपयोगी परिवर्तनीय परिवर्तन का एक बहुत ही सरल उदाहरण छठे-डिग्री बहुपद की जड़ों को खोजने की समस्या में देखा जा सकता है:

$x^{6}-9x^{3}+8=0.$

छठी-डिग्री बहुपद समीकरणों को रेडिकल के संदर्भ में हल करना आम तौर पर असंभव है (एबेल-रफिनी प्रमेय देखें)। हालाँकि, यह विशेष समीकरण लिखा जा सकता है

$(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0$

(यह बहुपद अपघटन का एक साधारण मामला है)। इस प्रकार एक नए चर को परिभाषित करके समीकरण को सरल बनाया जा सकता है $u=x^{3}$. x को द्वारा प्रतिस्थापित करना ${\sqrt[{3}]{u}}$ बहुपद में देता है

$u^{2}-9u+8=0,$

जो दो समाधानों वाला एक द्विघात समीकरण मात्र है:

$u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.$

मूल चर के संदर्भ में समाधान x को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है³आपके लिए वापस, जो देता है

$x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.$

फिर, यह मानते हुए कि किसी की रुचि केवल वास्तविक संख्या समाधानों में है, मूल समीकरण के समाधान ही हैं

$x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.$

सरल उदाहरण

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

$xy+x+y=71$

$x^{2}y+xy^{2}=880$

कहाँ $x$ और $y$ के साथ धनात्मक पूर्णांक हैं $x>y$. (स्रोत: 1991 अमेरिकी आमंत्रण गणित परीक्षा)

इसे सामान्य रूप से हल करना बहुत कठिन नहीं है, लेकिन यह थोड़ा कठिन हो सकता है। हालाँकि, हम दूसरे समीकरण को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं $xy(x+y)=880$. प्रतिस्थापन करना $s=x+y$ और $t=xy$ सिस्टम को कम कर देता है $s+t=71,st=880$. इसे हल करने से मिलता है $(s,t)=(16,55)$ और $(s,t)=(55,16)$. पहले ऑर्डर किए गए जोड़े को बैक-प्रतिस्थापन करने से हमें मिलता है $x+y=16,xy=55,x>y$, जो समाधान देता है $(x,y)=(11,5).$ दूसरी क्रमित जोड़ी को बैक-प्रतिस्थापन करने से हमें प्राप्त होता है $x+y=55,xy=16,x>y$, जो कोई समाधान नहीं देता। अतः वह समाधान जो सिस्टम को हल करता है $(x,y)=(11,5)$.

औपचारिक परिचय

होने देना $A$, $B$ चिकनी कई गुना हो और चलो $\Phi :A\rightarrow B$ एक हो $C^{r}$-उनके बीच भिन्नता, अर्थात्: $\Phi$ एक है $r$ समय लगातार भिन्न, विशेषण मानचित्र से $A$ को $B$ साथ $r$ समय से लगातार भिन्न भिन्न $B$ को $A$. यहाँ $r$ कोई भी प्राकृतिक संख्या (या शून्य) हो सकती है, $\infty$ (सुचारु कार्य) या $\omega$ (विश्लेषणात्मक कार्य)।

वो नक्शा $\Phi$ नियमित समन्वय परिवर्तन या नियमित चर प्रतिस्थापन कहा जाता है, जहां नियमित का तात्पर्य है $C^{r}$-की भावना $\Phi$. आमतौर पर कोई लिखेगा $x=\Phi (y)$ चर के प्रतिस्थापन को इंगित करने के लिए $x$ चर द्वारा $y$ का मान प्रतिस्थापित करके $\Phi$ में $y$ की प्रत्येक घटना के लिए $x$.

अन्य उदाहरण

समन्वय परिवर्तन

ध्रुवीय निर्देशांक पर स्विच करने पर कुछ प्रणालियों को अधिक आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए समीकरण पर विचार करें

$U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.$

यह किसी शारीरिक समस्या के लिए संभावित ऊर्जा कार्य हो सकता है। यदि किसी को तुरंत कोई समाधान नहीं दिखता है, तो वह प्रतिस्थापन का प्रयास कर सकता है

$\displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )$ द्वारा दिए गए $\displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).$

ध्यान दें कि यदि $\theta$ ए के बाहर चलता है $2\pi$-लंबाई अंतराल, उदाहरण के लिए, $[0,2\pi ]$, वो नक्शा $\Phi$ अब व्यक्तिपरक नहीं है. इसलिए, $\Phi$ उदाहरण के लिए, तक ही सीमित होना चाहिए $(0,\infty ]\times [0,2\pi )$. नोटिस कैसे $r=0$ के लिए बाहर रखा गया है $\Phi$ मूल में विशेषणात्मक नहीं है ($\theta$ कोई भी मान ले सकता है, बिंदु को (0, 0)) पर मैप किया जाएगा। फिर, मूल चर की सभी घटनाओं को नई अभिव्यक्ति (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $\Phi$ और पहचान का उपयोग करना $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$, हम पाते हैं

$V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.$

अब समाधान आसानी से पाया जा सकता है: $\sin(\theta )=0$, इसलिए $\theta =0$ या $\theta =\pi$. का उलटा लगाना $\Phi$ दर्शाता है कि यह इसके बराबर है $y=0$ जबकि $x\not =0$. वास्तव में, हम ऐसा देखते हैं $y=0$ मूल को छोड़कर, फ़ंक्शन गायब हो जाता है।

ध्यान दें, क्या हमने अनुमति दी थी $r=0$, उत्पत्ति भी एक समाधान रही होगी, हालाँकि यह मूल समस्या का समाधान नहीं है। यहाँ की वस्तुनिष्ठता $\Phi$ अत्यंत महत्वपूर्ण है। फ़ंक्शन हमेशा सकारात्मक होता है (के लिए)। $x,y\in \mathbb {R}$), इसलिए निरपेक्ष मान।

भेदभाव

Main article: Chain rule

जटिल विभेदीकरण को सरल बनाने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, व्युत्पन्न की गणना की समस्या पर विचार करें

${\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).$

होने देना $y=\sin u$ साथ $u=x^{2}.$ तब:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}$

एकीकरण

Main article: Integration by substitution

कठिन इंटीग्रल्स का मूल्यांकन अक्सर चर बदलकर किया जा सकता है; यह प्रतिस्थापन नियम द्वारा सक्षम है और उपरोक्त श्रृंखला नियम के उपयोग के अनुरूप है। संबंधित जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक द्वारा दिए गए चर के परिवर्तन का उपयोग करके अभिन्न को सरल बनाकर कठिन इंटीग्रल को भी हल किया जा सकता है। जैकोबियन निर्धारक और इसके द्वारा दिए गए चर के संगत परिवर्तन का उपयोग ध्रुवीय, बेलनाकार और गोलाकार समन्वय प्रणालियों जैसे समन्वय प्रणालियों का आधार है।

लेबेस्ग माप के संदर्भ में चर सूत्र का परिवर्तन

निम्नलिखित प्रमेय हमें लेबेस्ग माप के संबंध में इंटीग्रल को पैरामीटराइजेशन जी के तहत पुलबैक माप के संबंध में समतुल्य इंटीग्रल से जोड़ने की अनुमति देता है। प्रमाण जॉर्डन सामग्री के अनुमान के कारण है।

ऐसा मान लीजिए $\Omega$ का एक खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ और $G:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ एक है $C^{1}$ भिन्नता.

• अगर $f$ एक लेबेस्ग्यू मापने योग्य कार्य है $G(\Omega )$, तब $f\circ G$ लेब्सग्यू मापने योग्य है $\Omega$. अगर $f\geq 0$ या $f\in L^{1}(G(\Omega ),m),$ तब $\int _{G(\Omega )}f(x)dx=\int _{\Omega }f\circ G(x)|{\text{det}}D_{x}G|dx$.
• अगर $E\subset \Omega$ और $E$ तो क्या लेबेस्ग मापने योग्य है $G(E)$ तो क्या लेबेस्ग मापने योग्य है $m(G(E))=\int _{E}|{\text{det}}D_{x}G|dx$.

</ब्लॉकउद्धरण>इस प्रमेय के परिणाम के रूप में, हम पुलबैक और पुशफॉरवर्ड दोनों उपायों के रैडॉन-निकोडिम डेरिवेटिव की गणना कर सकते हैं $m$ अंतर्गत $T$.

पुलबैक माप और परिवर्तन सूत्र

परिवर्तन के संदर्भ में पुलबैक माप $T$ परिभाषित किया जाता है $T^{*}\mu :=\mu (T(A))$. पुलबैक उपायों के लिए चर सूत्र का परिवर्तन है

$\int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu$.

पुशफॉरवर्ड माप और परिवर्तन सूत्र

परिवर्तन के संदर्भ में आगे बढ़ने का उपाय $T$, परिभाषित किया जाता है $T_{*}\mu :=\mu (T^{-1}(A))$. पुशफॉरवर्ड उपायों के लिए चर सूत्र का परिवर्तन है

$\int _{\Omega }g\circ Td\mu =\int _{T(\Omega )}gdT_{*}\mu$.

लेबेस्ग्यू माप के लिए चर परिवर्तन सूत्र के परिणाम के रूप में, हमारे पास वह है

• लेबेस्ग माप के संबंध में पुलबैक का रैडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न: ${\frac {dT^{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T|$
• लेबेस्ग माप के संबंध में पुशफॉरवर्ड का रैडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न: ${\frac {dT_{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|$

जिससे हम प्राप्त कर सकते हैं

• पुलबैक माप के लिए चर सूत्र का परिवर्तन: $\int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu =\int _{\Omega }g\circ T|{\text{det}}D_{x}T|dm(x)$
• पुशफॉरवर्ड माप के लिए चर सूत्र का परिवर्तन:$\int _{\Omega }gd\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}dT_{*}\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|dm(x)$

विभेदक समीकरण

विभेदीकरण और एकीकरण के लिए परिवर्तनीय परिवर्तन प्राथमिक कलन में सिखाए जाते हैं और चरणों को शायद ही कभी पूर्ण रूप से पूरा किया जाता है।

अंतर समीकरणों पर विचार करते समय परिवर्तनीय परिवर्तनों का बहुत व्यापक उपयोग स्पष्ट होता है, जहां श्रृंखला नियम का उपयोग करके स्वतंत्र चर को बदला जा सकता है या आश्रित चर को बदल दिया जाता है जिसके परिणामस्वरूप कुछ भेदभाव किया जाता है। विदेशी परिवर्तन, जैसे बिंदु परिवर्तन और संपर्क परिवर्तन में आश्रित और स्वतंत्र चर का मिश्रण, बहुत जटिल हो सकते हैं लेकिन बहुत अधिक स्वतंत्रता की अनुमति देते हैं।

बहुत बार, परिवर्तन के लिए एक सामान्य फॉर्म को किसी समस्या में प्रतिस्थापित कर दिया जाता है और समस्या को सर्वोत्तम रूप से सरल बनाने के लिए रास्ते में पैरामीटर चुने जाते हैं।

स्केलिंग और शिफ्टिंग

संभवतः सबसे सरल परिवर्तन वेरिएबल्स की स्केलिंग और शिफ्टिंग है, जो उन्हें नए वेरिएबल्स से प्रतिस्थापित करना है जो निरंतर मात्राओं द्वारा फैलाए और स्थानांतरित किए जाते हैं। भौतिक मापदंडों को समस्याओं से बाहर निकालने के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोगों में यह बहुत आम है। एक एन के लिए^वेंक्रम व्युत्पन्न, परिवर्तन का परिणाम बस होता है

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}$

कहाँ

$x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}$

$y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.$

इसे श्रृंखला नियम और विभेदन की रैखिकता के माध्यम से आसानी से दिखाया जा सकता है। भौतिक मापदंडों को समस्याओं से बाहर निकालने के लिए व्यावहारिक अनुप्रयोगों में यह परिवर्तन बहुत आम है, उदाहरण के लिए, सीमा मूल्य समस्या

$\mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad ;\quad u(0)=u(L)=0$

दूरी δ द्वारा अलग की गई सपाट ठोस दीवारों के बीच समानांतर द्रव प्रवाह का वर्णन करता है; μ चिपचिपापन है और $dp/dx$ दबाव प्रवणता, दोनों स्थिरांक। वेरिएबल्स को स्केल करने से समस्या बन जाती है

${\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0$

कहाँ

$y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.$

स्केलिंग कई कारणों से उपयोगी है. यह मापदंडों की संख्या को कम करके और समस्या को सरल बनाकर विश्लेषण को सरल बनाता है। उचित स्केलिंग वेरिएबल्स को सामान्य कर सकती है, यानी उनमें 0 से 1 जैसी एक समझदार इकाई रहित सीमा होती है। अंत में, यदि कोई समस्या संख्यात्मक समाधान को अनिवार्य करती है, तो जितने कम पैरामीटर होंगे गणनाओं की संख्या उतनी ही कम होगी।

संवेग बनाम वेग

समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

${\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}$

किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए $H(x,v)$. द्रव्यमान को (तुच्छ) प्रतिस्थापन द्वारा समाप्त किया जा सकता है $\Phi (p)=1/m\cdot p$. स्पष्टतः यह एक वस्तुनिष्ठ मानचित्र है $\mathbb {R}$ को $\mathbb {R}$. प्रतिस्थापन के अंतर्गत $v=\Phi (p)$ सिस्टम बन जाता है

${\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}$

लैग्रेंजियन यांत्रिकी

Main article: Lagrangian mechanics

एक बल क्षेत्र दिया गया $\varphi (t,x,v)$, आइजैक न्यूटन के गति के समीकरण हैं

$m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).$

लैग्रेंज ने जांच की कि गति के ये समीकरण चर के मनमाने प्रतिस्थापन के तहत कैसे बदलते हैं $x=\Psi (t,y)$, $v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.$ उन्होंने पाया कि समीकरण

${\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}$

फ़ंक्शन के लिए न्यूटन के समीकरणों के समतुल्य हैं $L=T-V$, जहां T गतिज ऊर्जा है, और V स्थितिज ऊर्जा है।

वास्तव में, जब प्रतिस्थापन को अच्छी तरह से चुना जाता है (उदाहरण के लिए सिस्टम की समरूपता और बाधाओं का उपयोग करते हुए) तो इन समीकरणों को कार्टेशियन निर्देशांक में न्यूटन के समीकरणों की तुलना में हल करना बहुत आसान होता है।

यह भी देखें

• चरों का परिवर्तन (पीडीई)
• संभावना घनत्व फ़ंक्शन#संभावना घनत्व फ़ंक्शन में यादृच्छिक चर का कार्य और चर का परिवर्तन
• समानता का प्रतिस्थापन गुण
• सार्वभौमिक तात्कालिकता

संदर्भ