मल्टी-सूचकांक संकेतन एक गणितीय नोटेशन है जो सूचकांकों के क्रमबद्ध टुपल के लिए एक पूर्णांक सूचकांक नोटेशन की अवधारणा को सामान्यीकृत करके, बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस, आंशिक अंतर समीकरणों और वितरण (गणित) के सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले सूत्रों को सरल बनाता है।
परिभाषा और बुनियादी गुण एक एन-आयामी 'मल्टी-इंडेक्स' एक एन-ट्यूपल है
α = ( α 1 , α 2 , … , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})} गैर-नकारात्मक पूर्णांक ों का (अर्थात प्राकृतिक संख्या ओं के एन-आयाम ी सेट (गणित) का एक तत्व, निरूपित N 0 n {\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}
बहु-सूचकांकों के लिए α , β ∈ N 0 n {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}} x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ R n {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
घटकवार योग और अंतर
α ± β = ( α 1 ± β 1 , α 2 ± β 2 , … , α n ± β n ) {\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})} आंशिक आदेश α ≤ β ⇔ α i ≤ β i ∀ i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}} घटकों का योग (पूर्ण मान)
| α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}} कारख़ाने का α ! = α 1 ! ⋅ α 2 ! ⋯ α n ! {\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!} द्विपद गुणांक ( α β ) = ( α 1 β 1 ) ( α 2 β 2 ) ⋯ ( α n β n ) = α ! β ! ( α − β ) ! {\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}} बहुपद गुणांक ( k α ) = k ! α 1 ! α 2 ! ⋯ α n ! = k ! α ! {\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}} k := | α | ∈ N 0 {\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}} शक्ति (गणित) x α = x 1 α 1 x 2 α 2 … x n α n {\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}} उच्च-क्रम आंशिक व्युत्पन्न
∂ α = ∂ 1 α 1 ∂ 2 α 2 … ∂ n α n {\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}} ∂ i α i := ∂ α i / ∂ x i α i {\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}} 4-ढाल भी देखें)। कभी-कभी संकेतन D α = ∂ α {\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }} [1]
कुछ अनुप्रयोग मल्टी-इंडेक्स नोटेशन प्रारंभिक कैलकुलस से संबंधित मल्टी-वेरिएबल केस तक कई सूत्रों के विस्तार की अनुमति देता है। नीचे कुछ उदाहरण हैं. निम्नलिखित सभी में, x , y , h ∈ C n {\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} α , ν ∈ N 0 n {\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}} f , g , a α : C n → C {\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} } R n → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
बहुपद प्रमेय ( ∑ i = 1 n x i ) k = ∑ | α | = k ( k α ) x α {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }} बहु-द्विपद प्रमेय ( x + y ) α = ∑ ν ≤ α ( α ν ) x ν y α − ν . {\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.} x + y α (x 1 + y 1 )α 1 x n y n α n .लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम)
सुचारु कार्यों के लिए एफ और जी ∂ α ( f g ) = ∑ ν ≤ α ( α ν ) ∂ ν f ∂ α − ν g . {\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}
टेलर श्रृंखला एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के लिए f में n वेरिएबल्स हैं f ( x + h ) = ∑ α ∈ N 0 n ∂ α f ( x ) α ! h α . {\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.} f ( x + h ) = ∑ | α | ≤ n ∂ α f ( x ) α ! h α + R n ( x , h ) , {\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),} R n ( x , h ) = ( n + 1 ) ∑ | α | = n + 1 h α α ! ∫ 0 1 ( 1 − t ) n ∂ α f ( x + t h ) d t . {\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}
सामान्य रैखिक आंशिक अंतर ऑपरेटर
एन चर में एक औपचारिक रैखिक एन-वें क्रम आंशिक अंतर ऑपरेटर के रूप में लिखा गया है P ( ∂ ) = ∑ | α | ≤ N a α ( x ) ∂ α . {\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}
भागों द्वारा एकीकरण एक सीमित डोमेन में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सुचारू कार्यों के लिए Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} ∫ Ω u ( ∂ α v ) d x = ( − 1 ) | α | ∫ Ω ( ∂ α u ) v d x . {\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.} कमजोर व्युत्पन्न की परिभाषा के लिए किया जाता है। एक उदाहरण प्रमेय अगर α , β ∈ N 0 n {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}} x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}
∂ α x β = { β ! ( β − α ) ! x β − α if α ≤ β , 0 otherwise. {\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
प्रमाण प्रमाण अंतर कलन के लिए शक्ति नियम से अनुसरण करता है; यदि α और β {0,1,2,…} में हैं, तो
d α d x α x β = { β ! ( β − α ) ! x β − α if α ≤ β , 0 otherwise. {\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}}
(1 )
कल्पना करना α = ( α 1 , … , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})} β = ( β 1 , … , β n ) {\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})} x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}
∂ α x β = ∂ | α | ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n x 1 β 1 ⋯ x n β n = ∂ α 1 ∂ x 1 α 1 x 1 β 1 ⋯ ∂ α n ∂ x n α n x n β n . {\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}
{1,…,n} में प्रत्येक i के लिए, फ़ंक्शन
x i β i {\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}} पर ही निर्भर करता है
x i {\displaystyle x_{i}} . उपरोक्त में, प्रत्येक आंशिक भेदभाव
∂ / ∂ x i {\displaystyle \partial /\partial x_{i}} इसलिए यह संगत सामान्य विभेदन को कम कर देता है
d / d x i {\displaystyle d/dx_{i}} . इसलिए, समीकरण से (
1 ), यह इस प्रकार है कि
∂ α x β {\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }} गायब हो जाता है अगर ए
i > बी
i {1,…,n} में कम से कम एक i के लिए। यदि यह मामला नहीं है, यानी, यदि α ≤ β बहु-सूचकांक के रूप में है, तो
d α i d x i α i x i β i = β i ! ( β i − α i ) ! x i β i − α i {\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}
प्रत्येक के लिए
i {\displaystyle i} और प्रमेय इस प्रकार है। क्यू.ई.डी.
यह भी देखें संदर्भ
↑ Reed, M.; Simon, B. (1980). Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I (Revised and enlarged ed.). San Diego: Academic Press. p. 319. ISBN 0-12-585050-6
Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators . Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9 This article incorporates material from multi-index derivative of a power on PlanetMath , which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
दायरा
नोटेशन टेन्सर ऑपरेशन संबंधित उल्लेखनीय टेन्सर
गणितज्ञ
