आंशिक रूप से आदेशित समूह

"Ordered group" redirects here. For groups with a total or linear order, see Linearly ordered group.

अमूर्त बीजगणित में, एक आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह एक समूह (गणित) (G, +) है जो एक आंशिक आदेश ≤ से सुसज्जित है जो अनुवाद-अपरिवर्तनीय है; दूसरे शब्दों में, ≤ के पास वह गुण है जो सभी a, b, और g के लिए G में है, यदि a ≤ b तो ए + जी ≤ बी + जी और जी + ए ≤ जी + बी।

G का एक अवयव x धनात्मक कहलाता है यदि 0 ≤ x। तत्वों का सेट 0 ≤ x को अक्सर G से दर्शाया जाता है⁺, और G का धनात्मक शंकु कहलाता है।

अनुवाद अपरिवर्तनीयता से, हमारे पास a ≤ b अगर और केवल अगर 0 ≤ -a + b है। तो हम आंशिक आदेश को एक राक्षसी संपत्ति में कम कर सकते हैं: a ≤ b अगर और केवल अगर -a + b ∈ G⁺. सामान्य समूह जी के लिए, एक सकारात्मक शंकु का अस्तित्व जी पर एक आदेश निर्दिष्ट करता है। एक समूह जी आंशिक रूप से आदेश देने योग्य समूह है अगर और केवल अगर एक उपसमूह एच मौजूद है (जो जी है⁺) G का ऐसा है कि:

• 0 ∈ एच
• यदि a ∈ H और b ∈ H तो a + b ∈ H
• यदि a ∈ H तो -x + a + x ∈ H G के प्रत्येक x के लिए
• यदि a ∈ H और -a ∈ H तो a = 0

सकारात्मक शंकु जी के साथ आंशिक रूप से आदेशित समूह जी⁺ यदि n · g ∈ G है तो इसे अछिद्रित कहा जाता है⁺ किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए g ∈ G का अर्थ है⁺. अछिद्रित होने का अर्थ है धनात्मक शंकु G में कोई अंतराल नहीं है⁺.

यदि समूह पर क्रम एक रेखीय क्रम है, तो इसे एक रैखिक रूप से आदेशित समूह कहा जाता है। यदि समूह पर क्रम एक जाली क्रम है, यानी किसी भी दो तत्वों में कम से कम ऊपरी सीमा होती है, तो यह एक जाली-आदेशित समूह होता है (शीघ्र ही एल-समूह, हालांकि आमतौर पर एक स्क्रिप्ट टाइपफेस एल: ℓ-समूह के साथ टाइपसेट होता है)।

एक फ्रिगियस रिज्ज़ समूह एक छिद्रित आंशिक रूप से आदेशित समूह है जिसकी संपत्ति जाली-आदेशित समूह की तुलना में थोड़ी कमजोर है। अर्थात्, एक रिज़ समूह रिज़ इंटरपोलेशन संपत्ति को संतुष्ट करता है: यदि x₁, एक्स₂, वाई₁, वाई₂ G और x के अवयव हैं_i≤ और_j, तो वहाँ z ∈ G का अस्तित्व है जैसे कि x_i≤ जेड ≤ वाई_j.

यदि जी और एच दो आंशिक रूप से आदेशित समूह हैं, तो जी से एच तक का नक्शा आंशिक रूप से आदेशित समूहों का एक रूपवाद है यदि यह एक समूह समरूपता और एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन दोनों है। आकृतिवाद की इस धारणा के साथ आंशिक रूप से आदेशित समूह, एक श्रेणी सिद्धांत बनाते हैं।

आंशिक रूप से आदेशित समूहों का उपयोग फ़ील्ड (गणित) के मूल्यांकन (बीजगणित) की परिभाषा में किया जाता है।

उदाहरण

• पूर्णांक अपने सामान्य क्रम के साथ
• एक आदेशित सदिश स्थान आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह है
• रिज स्पेस एक लैटिस-ऑर्डर्ड ग्रुप है
• आंशिक रूप से आदेशित समूह का एक विशिष्ट उदाहरण पूर्णांक हैⁿ, जहां समूह संचालन घटकवार जोड़ है, और हम लिखते हैं (a₁,...,एक_n) ≤ (बी₁,...,बी_n) अगर और केवल अगर ए_i ≤ बी_i (पूर्णांकों के सामान्य क्रम में) सभी i = 1,..., n के लिए।
• अधिक आम तौर पर, यदि जी आंशिक रूप से आदेशित समूह है और एक्स कुछ सेट है, तो एक्स से जी तक के सभी कार्यों का सेट फिर से आंशिक रूप से आदेशित समूह है: सभी संचालन घटकवार किए जाते हैं। इसके अलावा, G का प्रत्येक उपसमूह आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह है: यह G से क्रम प्राप्त करता है।
• यदि A एक लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित है, या अधिक सामान्यतः, यदि A एक स्थायी रूप से परिमित इकाई C*-बीजगणित है, तो लगभग परिमित-आयामी C*-algebra#K0|K₀(ए) आंशिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह है। (इलियट, 1976)

गुण

आर्किमिडीज़

आंशिक रूप से आदेशित समूहों के लिए वास्तविक संख्याओं की आर्किमिडीयन संपत्ति को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

संपत्ति: एक आंशिक रूप से क्रमित समूह G को 'आर्किमिडीयन' कहा जाता है जब aⁿ ≤ b सभी प्राकृतिक n के लिए तो a = e. समान रूप से, जब a≠e, तो किसी भी b∈G के लिए कुछ होता है $n\in \mathbb {Z}$ ऐसा है कि बी <ए^एन.

एकीकृत रूप से बंद

एक आंशिक रूप से आदेशित समूह G को 'पूर्ण रूप से बंद' कहा जाता है यदि G के सभी तत्वों a और b के लिए, यदि aⁿ ≤ b सभी प्राकृतिक n के लिए फिर a ≤ 1। यह संपत्ति इस तथ्य से कुछ हद तक मजबूत है कि एक आंशिक रूप से आदेशित समूह आर्किमिडीयन संपत्ति है, हालांकि एक जाली-आदेशित समूह के लिए एकीकृत रूप से बंद होना और आर्किमिडीज़ होना समतुल्य है। एक प्रमेय है कि प्रत्येक अभिन्न रूप से बंद निर्देशित सेट समूह पहले से ही एबेलियन समूह है। इसका इस तथ्य से लेना-देना है कि एक निर्देशित समूह एक पूर्ण जाली जाली-आदेशित समूह में एम्बेड करने योग्य है यदि और केवल अगर यह अभिन्न रूप से बंद है।

यह भी देखें

• Cyclically ordered group
• Linearly ordered group
• Ordered field
• Ordered ring
• Ordered topological vector space
• Ordered vector space – Vector space with a partial order
• Partially ordered ring
• Partially ordered space

संदर्भ

• M. Anderson and T. Feil, Lattice Ordered Groups: an Introduction, D. Reidel, 1988.
• Birkhoff, Garrett (1942). "Lattice-Ordered Groups". The Annals of Mathematics. 43 (2): 313. doi:10.2307/1968871. ISSN 0003-486X.
• M. R. Darnel, The Theory of Lattice-Ordered Groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 187, Marcel Dekker, 1995.
• L. Fuchs, Partially Ordered Algebraic Systems, Pergamon Press, 1963.
• Glass, A. M. W. (1982). Ordered Permutation Groups. doi:10.1017/CBO9780511721243. ISBN 9780521241908.
• Glass, A. M. W. (1999). Partially Ordered Groups. ISBN 981449609X.
• V. M. Kopytov and A. I. Kokorin (trans. by D. Louvish), Fully Ordered Groups, Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
• V. M. Kopytov and N. Ya. Medvedev, Right-ordered groups, Siberian School of Algebra and Logic, Consultants Bureau, 1996.
• Kopytov, V. M.; Medvedev, N. Ya. (1994). The Theory of Lattice-Ordered Groups. doi:10.1007/978-94-015-8304-6. ISBN 978-90-481-4474-7.
• R. B. Mura and A. Rhemtulla, Orderable groups, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
• Lattices and Ordered Algebraic Structures. Universitext. 2005. doi:10.1007/b139095. ISBN 1-85233-905-5., chap. 9.
• Elliott, George A. (1976). "On the classification of inductive limits of sequences of semisimple finite-dimensional algebras". Journal of Algebra. 38: 29–44. doi:10.1016/0021-8693(76)90242-8.

आगे की पढाई

Everett, C. J.; Ulam, S. (1945). "On Ordered Groups". Transactions of the American Mathematical Society. 57 (2): 208–216. doi:10.2307/1990202. JSTOR 1990202.

बाहरी कड़ियाँ

• Kopytov, V.M. (2001) [1994], "Partially ordered group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Kopytov, V.M. (2001) [1994], "Lattice-ordered group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
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