संख्यात्मक विभेदन

संख्यात्मक विश्लेषण में, संख्यात्मक विभेदन एल्गोरिदम विधि फलन के मूल्यों और संभवतः फलन के पश्चात में अन्य ज्ञान का उपयोग करके गणितीय फलन या फलन उप-दैनिकि के व्युत्पन्न का अनुमान लगाते हैं।

परिमित भिन्नताएँ

इस प्रकार से अधिक सरल विधि परिमित अंतर सन्निकटन का उपयोग करना है।

एक सरल दो-बिंदु अनुमान बिंदुओं (x, f(x)) और (x + h, f (x + h)) के माध्यम से समीप की व्युत्पन्न रेखा के प्रवणता की गणना करना है।^[1] छोटी संख्या h चुनना, h x में छोटे परिवर्तन को दर्शाता है, और यह या तो धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। इस रेखा को रूप देना है

{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.

यह अभिव्यक्ति आइजैक न्यूटन का अंतर भागफल है (जिसे प्रथम-क्रम विभाजित अंतर के रूप में भी जाना जाता है)।

इस व्युत्पन्न रेखा का प्रवणता स्पर्शरेखा रेखा के प्रवणता से उस मात्रा में भिन्न होता है जो लगभग h के समानुपाती होता है। जैसे-जैसे h शून्य के समीप पहुंचता है, व्युत्पन्न रेखा का प्रवणता स्पर्शरेखा रेखा के प्रवणता के समीप पहुंचता है। इसलिए, 'f' 'at' 'x' का वास्तविक 'व्युत्पन्न अंतर भागफल के मान की सीमा है क्योंकि व्युत्पन्न रेखाएं स्पर्श रेखा होने के समीप और समीप आती हैं:

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.

चूँकि h के स्थान पर तुरंत 0 प्रतिस्थापन (तर्क) पर ${\frac {0}{0}}$ अनिश्चित रूप, प्राप्त होता है, सीधे व्युत्पन्न की गणना करना सहज ज्ञान युक्त नहीं हो सकता है।

समान रूप से, प्रवणता का अनुमान पदों (x - h) और x का उपयोग करके लगाया जा सकता है।

अतः अन्य दो-बिंदु सूत्र बिंदुओं (x - h, f(x - h)) और (x + h, f (x + h)) के माध्यम से समीप की व्युत्पन्न रेखा के प्रवणता की गणना करना है। इस रेखा का प्रवणता है

{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}.

इस सूत्र को सममित अंतर भागफल के रूप में जाना जाता है। इस मामले में प्रथम-क्रम त्रुटियाँ रद्द हो जाती हैं, इसलिए इन व्युत्पन्न रेखाओं का प्रवणता स्पर्शरेखा रेखा के प्रवणता से उस मात्रा में भिन्न होता है जो लगभग $h^{2}$ आनुपातिक होता है . इसलिए h के छोटे मानों के लिए यह एकतरफा अनुमान की तुलना में स्पर्शरेखा रेखा का अधिक स्पष्ट अनुमान है। चूंकि , प्रवणता की गणना x पर की जा रही है, जहाँ x पर फलन का मान सम्मिलित नहीं है।

इस प्रकार से अनुमान त्रुटि द्वारा दिया गया है

R={\frac {-f^{(3)}(c)}{6}}h^{2}

,

जहाँ $c$ के मध्य कुछ बिंदु $x-h$ और $x+h$ है.

अतः संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने और सीमित परिशुद्धता में गणना किए जाने के कारण इस त्रुटि में पूर्णांकन त्रुटि सम्मिलित नहीं है।

सममित अंतर भागफल को TI-82, TI-83, TI-84, TI-85 सहित अनेक कैलकुलेटरों में व्युत्पन्न का अनुमान लगाने की विधि के रूप में नियोजित किया जाता है, जो सभी h = 0.001 के साथ इस विधि का उपयोग करते हैं।^[2]^[3]

चरण आकार

पूर्णांकन त्रुटि और सूत्र त्रुटि दोनों के कारण

h

चुनने में कठिनाई दर्शाने वाला उदाहरण है

वास्तविक में महत्वपूर्ण विचार जब फलन की गणना परिमित परिशुद्धता के फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित का उपयोग करके की जाती है, तब चरण आकार का विकल्प h होता है, यदि अधिक छोटा चुना जाता है, तो घटाव में उच्च वृत्ताकार त्रुटि उत्पन्न होती है। वास्तव में, सभी परिमित-अंतर सूत्र असंबद्ध हैं^[4] और यदि h अधिक छोटा है तो रद्दीकरण के कारण शून्य का मान उत्पन्न होता है।^[5] यदि बहुत बड़ा है, तब व्युत्पन्न रेखा के प्रवणता की गणना अधिक स्पष्ट रूप से की जाती है, किन्तु व्युत्पन्न का उपयोग करके स्पर्शरेखा के प्रवणता का अनुमान व्यर्थ हो सकता है।^[6]

इस प्रकार से मूलभूत केंद्रीय अंतरों के लिए, इष्टतम चरण मशीन ईपीएसलॉन का क्यूब-रूट है।^[7]

जहाँ x और x + h पर मूल्यांकित संख्यात्मक व्युत्पन्न सूत्र के लिए, h के लिए विकल्प जो उच्च वृत्ताकार त्रुटि उत्पन्न किए बिना छोटा है ${\sqrt {\varepsilon }}x$ (चूंकि तब नहीं जब x = 0), जहां मशीन ईपीएसलॉन ε समान्यतः 2.2×10⁻¹⁶ के क्रम का होता है दोहरी परिशुद्धता के लिए।^[8] h के लिए सूत्र जो इष्टतम स्पष्ट ता के लिए सेकेंट त्रुटि के विरुद्ध गोलाई त्रुटि को संतुलित करता है^[9]

h=2{\sqrt {\varepsilon \left|{\frac {f(x)}{f''(x)}}\right|}}

(चूंकि जब नहीं $f''(x)=0$ ), और इसे नियोजित करने के लिए फलन के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

कंप्यूटर गणनाओं के लिए समस्याएँ और भी बढ़ जाती हैं क्योंकि, जहाँ x आवश्यक रूप से कुछ परिशुद्धता (32 या 64-बिट, आदि) में प्रतिनिधित्व योग्य फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या रखता है, इस प्रकार से जहाँ x + h लगभग निश्चित रूप से उस परिशुद्धता में बिल्कुल प्रतिनिधित्व करने योग्य नहीं है। इसका अर्थ यह है कि x + h को समीप की मशीन-प्रतिनिधित्व योग्य संख्या में (व्रत या निष्कोणन करके) परिवर्तन किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप (x + h) − x, h के समान नहीं होगा; दो फलन मूल्यांकन बिल्कुल अलग नहीं होंगे। इस संबंध में, चूंकि अधिकांश दशमलव अंश बाइनरी में आवर्ती अनुक्रम होते हैं (जैसे 1/3 दशमलव में होता है) प्रतीत होता है कि गोल चरण जैसे कि h = 0.1 बाइनरी में गोल संख्या नहीं होगी; यह 0.000110011001100...₂ है संभावित दृष्टिकोण इस प्रकार है:

h := sqrt(eps) * x;
 xph := x + h;
 dx := xph - x;
 slope := (F(xph) - F(x)) / dx;

चूंकि , कंप्यूटर के साथ, कंपाइलर अनुकूलन सुविधाएं वास्तविक कंप्यूटर अंकगणित के विवरण में भाग लेने में विफल हो सकती हैं और इसके अतिरिक्त यह अनुमान लगाने के लिए गणित के सिद्धांतों को प्रस्तुत करती हैं कि dx और h समान हैं। सी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) और समान लैंग्वेज के साथ, निर्देश कि xph अस्थिर वेरिएबल है, इसे रोक देता है।

अन्य विधियाँ

उच्च-क्रम विधियाँ

व्युत्पन्न का अनुमान लगाने के लिए उच्च-क्रम विधियाँ, साथ ही उच्च व्युत्पन्न के लिए विधियाँ उपस्तिथ हैं।

प्रथम व्युत्पन्न (एक आयाम में पांच-बिंदु स्टैंसिल) के लिए पांच-बिंदु विधि नीचे दी गई है:^[10]

f'(x)={\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}+{\frac {h^{4}}{30}}f^{(5)}(c),

जहाँ $c\in [x-2h,x+2h]$ .

अन्य स्टैंसिल कॉन्फ़िगरेशन और व्युत्पन्न आदेशों के लिए, परिमित अंतर गुणांक कैलकुलेटर उपकरण है जिसका उपयोग किसी भी व्युत्पन्न क्रम के साथ किसी भी स्टैंसिल के लिए व्युत्पन्न सन्निकटन विधियों को उत्पन्न करने के लिए (निःशंदेह कोई समाधान उपस्तिथ हो) किया जा सकता है।

उच्चतर डेरिवेटिव

इस प्रकार से न्यूटन के अंतर भागफल का उपयोग करते हुए,

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

निम्नलिखित दिखाया जा सकता है^[11] (n>0 के लिए):

f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k+n}{\binom {n}{k}}f(x+kh)

समष्टि -परिवर्तनीय विधियाँ

इस प्रकार से संख्यात्मक विभेदन के लिए शास्त्रीय परिमित-अंतर सन्निकटन व्यर्थ स्थिति वाले हैं। चूंकि , यदि $f$ होलोमोर्फिक फलन है, जो की वास्तविक रेखा पर वास्तविक-मूल्यवान है, जिसका मूल्यांकन समीप के समष्टि विमान में बिंदुओं $x$ पर किया जा सकता है , फिर संख्यात्मक स्थिरता विधियाँ हैं। अतः उदाहरण के लिए,^[5] प्रथम व्युत्पन्न की गणना समष्टि -चरण व्युत्पन्न सूत्र द्वारा की जा सकती है:^[12]^[13]^[14]

f^{\prime }(x)={\frac {\Im (f(x+\mathrm {i} h))}{h}}+O(h^{2}),\quad \mathrm {i^{2}} :=-1.

विभिन्न स्थितियों के लिए स्पष्ट डेरिवेटिव प्राप्त करने के लिए अनुशंसित चरण आकार $h=10^{-200}$ है .^[6] यह सूत्र टेलर श्रृंखला विस्तार द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:

f(x+\mathrm {i} h)=f(x)+\mathrm {i} hf^{\prime }(x)-h^{2}f''(x)/2!-\mathrm {i} h^{3}f^{(3)}(x)/3!+\cdots .

समष्टि -चरण व्युत्पन्न सूत्र केवल प्रथम-क्रम व्युत्पन्न की गणना के लिए मान्य है। किसी भी क्रम के डेरिवेटिव की गणना के लिए उपरोक्त का सामान्यीकरण मल्टीकॉम्प्लेक्स संख्याएँ को नियोजित करता है, जिसके परिणामस्वरूप मल्टीकॉम्प्लेक्स डेरिवेटिव होते हैं।^[15]^[16]^[17]

f^{(n)}(x)\approx {\frac {{\mathcal {C}}_{n^{2}-1}^{(n)}(f(x+\mathrm {i} ^{(1)}h+\ldots +\mathrm {i} ^{(n)}h))}{h^{n}}}

जहां $\mathrm {i} ^{(k)}$ मल्टीकॉम्प्लेक्स काल्पनिक इकाइयों को दर्शाता है; $\mathrm {i} ^{(1)}\equiv \mathrm {i}$ , ${\mathcal {C}}_{k}^{(n)}$ ऑपरेटर स्तर ${\mathcal {C}}_{0}^{(n)}$ की मल्टीकॉम्प्लेक्स संख्या के $k$ th घटक को निकालता है उदाहरण के लिए $n$ वास्तविक घटक को निकालता है और ${\mathcal {C}}_{n^{2}-1}^{(n)}$ अंतिम, "अधिक काल्पनिक" घटक को निकालता है। इस विधि को मिश्रित डेरिवेटिव पर प्रस्तुत किया जा सकता है, जैसे दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के लिए

{\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x\,\partial y}}\approx {\frac {{\mathcal {C}}_{3}^{(2)}(f(x+\mathrm {i} ^{(1)}h,y+\mathrm {i} ^{(2)}h))}{h^{2}}}

अतः मल्टीकॉम्प्लेक्स अंकगणित का C++ कार्यान्वयन उपलब्ध है।^[18]

सामान्य रूप से, किसी भी क्रम के व्युत्पन्न की गणना कॉची के अभिन्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:^[19]

f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,\mathrm {d} z,

जहां एकीकरण संख्यात्मक एकीकरण किया जाता है।

इस प्रकार से संख्यात्मक विभेदन के लिए समष्टि वेरिएबल का उपयोग 1967 में लिनेस और मोलर द्वारा प्रारंभ किया गया था।^[20] उनका एल्गोरिदम उच्च-क्रम डेरिवेटिव पर प्रस्तुत होता है।

समष्टि लाप्लास परिवर्तन के संख्यात्मक व्युत्क्रम पर आधारित विधि एबेट और डबनेर द्वारा विकसित की गई थी।^[21] एल्गोरिदम जिसका उपयोग विधि या फलन के चरित्र के पश्चात में ज्ञान की आवश्यकता के बिना किया जा सकता है, फोर्नबर्ग द्वारा विकसित किया गया था।^[4]

विभेदक चतुर्भुज

इस प्रकार से विभेदक चतुर्भुज फलन मानों के भारित योग का उपयोग करके डेरिवेटिव का अनुमान है।^[22]^[23] विभेदक चतुर्भुज व्यावहारिक रुचि का है क्योंकि यह किसी को ध्वनि वाले डेटा से डेरिवेटिव की गणना करने की अनुमति देता है। अतः नाम चतुर्भुज के अनुरूप है, जिसका अर्थ है संख्यात्मक एकीकरण है, जहां भारित रकम का उपयोग सिम्पसन की विधि या ट्रेपेज़ॉइडल नियम जैसी विधियों में किया जाता है। वज़न गुणांक निर्धारित करने के लिए विभिन्न विधियाँ हैं, अतः उदाहरण के लिए, सविट्ज़की-गोले फ़िल्टर है। चूंकि आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए विभेदक चतुर्भुज का उपयोग किया जाता है। ध्वनि वाले डेटा से डेरिवेटिव की गणना के लिए अनेक विधि हैं।^[24]

यह भी देखें

स्वचालित विभेदीकरण
पांच-बिंदु स्टेंसिल
सवित्ज़की-व्रत फ़िल्टर
संख्यात्मक एकीकरण – Family of algorithms for finding the definite integral of a function
संख्यात्मक साधारण अवकल समीकरण
संख्यात्मक चौरसाई और विभेदन
संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ्टवेयर की सूची

संदर्भ

↑ Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2000), Numerical Analysis, (7th Ed), Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
↑ Katherine Klippert Merseth (2003). Windows on Teaching Math: Cases of Middle and Secondary Classrooms. Teachers College Press. p. 34. ISBN 978-0-8077-4279-2.
↑ Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn (2014). Kaplan AP Calculus AB & BC 2015. Kaplan Publishing. p. 299. ISBN 978-1-61865-686-5.
↑ ^4.0 ^4.1 Numerical Differentiation of Analytic Functions, B Fornberg – ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 1981.
↑ ^5.0 ^5.1 Using Complex Variables to Estimate Derivatives of Real Functions, W. Squire, G. Trapp – SIAM REVIEW, 1998.
↑ ^6.0 ^6.1 Martins, Joaquim R. R. A.; Ning, Andrew (2021-10-01). इंजीनियरिंग डिज़ाइन अनुकूलन (PDF) (in English). Cambridge University Press. ISBN 978-1108833417.
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↑ Differentiation With(out) a Difference by Nicholas Higham
↑ article from MathWorks blog, posted by Cleve Moler
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↑ Advanced Differential Quadrature Methods, Yingyan Zhang, CRC Press, 2009, ISBN 978-1-4200-8248-7.
↑ Ahnert, Karsten; Abel, Markus (2007). "Numerical differentiation of experimental data: local versus global methods". Computer Physics Communications. 177 (10): 764–774. Bibcode:2007CoPhC.177..764A. doi:10.1016/j.cpc.2007.03.009. ISSN 0010-4655.

बाहरी संबंध

[1] Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2000), Numerical Analysis, (7th Ed), Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.

[Merseth2003-2] Katherine Klippert Merseth (2003). Windows on Teaching Math: Cases of Middle and Secondary Classrooms. Teachers College Press. p. 34. ISBN 978-0-8077-4279-2.

[RubySellers2014-3] Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn (2014). Kaplan AP Calculus AB & BC 2015. Kaplan Publishing. p. 299. ISBN 978-1-61865-686-5.

[Fornberg1-4] 4.0 ^4.1 Numerical Differentiation of Analytic Functions, B Fornberg – ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 1981.

[SquireTrapp1-5] 5.0 ^5.1 Using Complex Variables to Estimate Derivatives of Real Functions, W. Squire, G. Trapp – SIAM REVIEW, 1998.

[edo2021-6] 6.0 ^6.1 Martins, Joaquim R. R. A.; Ning, Andrew (2021-10-01). इंजीनियरिंग डिज़ाइन अनुकूलन (PDF) (in English). Cambridge University Press. ISBN 978-1108833417.

[7] Sauer, Timothy (2012). Numerical Analysis. Pearson. p.248.

[8] Following Numerical Recipes in C, Chapter 5.7.

[9] . 263.

[10] Abramowitz & Stegun, Table 25.2.

[11] Shilov, George. Elementary Real and Complex Analysis.

[12] Martins, J. R. R. A.; Sturdza, P.; Alonso, J. J. (2003). "जटिल-चरण व्युत्पन्न सन्निकटन". ACM Transactions on Mathematical Software. 29 (3): 245–262. CiteSeerX 10.1.1.141.8002. doi:10.1145/838250.838251. S2CID 7022422.

[13] Differentiation With(out) a Difference by Nicholas Higham

[14] rticle from MathWorks blog, posted by Cleve Moler

[15] "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2014-01-09. Retrieved 2012-11-24.

[16] Lantoine, G.; Russell, R. P.; Dargent, Th. (2012). "उच्च-क्रम डेरिवेटिव की स्वचालित गणना के लिए मल्टीकॉम्प्लेक्स चर का उपयोग करना". ACM Trans. Math. Softw. 38 (3): 1–21. doi:10.1145/2168773.2168774. S2CID 16253562.

[17] Verheyleweghen, A. (2014). "मल्टी-कॉम्प्लेक्स चरण विधि का उपयोग करके उच्च-क्रम डेरिवेटिव की गणना" (PDF).

[18] Bell, I. H. (2019). "एमसीएक्स (मल्टीकॉम्प्लेक्स बीजगणित लाइब्रेरी)". GitHub.

[19] Ablowitz, M. J., Fokas, A. S.,(2003). Complex variables: introduction and applications. Cambridge University Press. Check theorem 2.6.2

[LynessMoler1-20] Lyness, J. N.; Moler, C. B. (1967). "विश्लेषणात्मक कार्यों का संख्यात्मक विभेदन". SIAM J. Numer. Anal. 4 (2): 202–210. Bibcode:1967SJNA....4..202L. doi:10.1137/0704019.

[21] Abate, J; Dubner, H (March 1968). "कार्यों की शक्ति श्रृंखला विस्तार उत्पन्न करने की एक नई विधि". SIAM J. Numer. Anal. 5 (1): 102–112. Bibcode:1968SJNA....5..102A. doi:10.1137/0705008.

[22] Differential Quadrature and Its Application in Engineering: Engineering Applications, Chang Shu, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-209-9.

[23] Advanced Differential Quadrature Methods, Yingyan Zhang, CRC Press, 2009, ISBN 978-1-4200-8248-7.

[24] Ahnert, Karsten; Abel, Markus (2007). "Numerical differentiation of experimental data: local versus global methods". Computer Physics Communications. 177 (10): 764–774. Bibcode:2007CoPhC.177..764A. doi:10.1016/j.cpc.2007.03.009. ISSN 0010-4655.

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