गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन

गोम्पर्ट्ज़ वक्र या गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन समय श्रृंखला के लिए गणितीय मॉडल का प्रकार है, जिसका नाम बेंजामिन गोम्पर्ट्ज़ (1779-1865) के नाम पर रखा गया है। यह सिग्मॉइड फ़ंक्शन है जो निश्चित समय अवधि के प्रारंभ और अंत में विकास को सबसे धीमा होने के रूप में वर्णित करता है। फ़ंक्शन के दाईं ओर या भविष्य के अनंतस्पर्शी को बाईं ओर या कम मूल्यवान एसिम्प्टोट की तुलना में वक्र द्वारा बहुत धीरे-धीरे संपर्क किया जाता है। यह लॉजिस्टिक फंक्शन के विपरीत है जिसमें दोनों एसिम्प्टोट्स को वक्र द्वारा सममित रूप से संपर्क किया जाता है। यह सामान्यीकृत लॉजिस्टिक फ़ंक्शन का विशेष मामला है। फ़ंक्शन को मूल रूप से मानव मृत्यु दर का वर्णन करने के लिए डिज़ाइन किया गया था, लेकिन बाद में आबादी का विवरण देने के संबंध में इसे जीव विज्ञान में लागू करने के लिए संशोधित किया गया है।

इतिहास

बेंजामिन गोम्पर्ट्ज़ (1779-1865) लंदन में मुंशी थे जो निजी तौर पर शिक्षित थे। उन्हें 1819 में रॉयल सोसाइटी का साथी चुना गया था। यह समारोह पहली बार उनके 16 जून, 1825 के पेपर में पृष्ठ 518 के निचले भाग में प्रस्तुत किया गया था। गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन ने जीवन तालिकाओं में डेटा के महत्वपूर्ण संग्रह को एकल फ़ंक्शन में घटा दिया। यह इस धारणा पर आधारित है कि मृत्यु दर व्यक्ति की आयु के रूप में तेजी से बढ़ती है। परिणामी गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन किसी दिए गए उम्र में रहने वाले व्यक्तियों की संख्या के लिए उम्र के कार्य के रूप में है।

मृत्यु दर के कार्यात्मक मॉडल के निर्माण पर पहले का काम फ्रांसीसी गणितज्ञ अब्राहम डी मोइवरे (1667-1754) ने 1750 के दशक में किया था। हालांकि, डी मोइवर ने माना कि मृत्यु दर स्थिर थी। 1860 में अंग्रेजी अभ्यारण्य और गणितज्ञ विलियम मेकहैम (1826-1891) द्वारा गोम्पर्ट्ज़ के काम का विस्तार प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने गोम्पर्ट्ज़ की तेजी से बढ़ती निरंतर पृष्ठभूमि मृत्यु दर को जोड़ा।

Graphs of Gompertz curves, showing the effect of varying one of a,b,c while keeping the others constant

Varying $a$

Varying $b$

Varying $c$

सूत्र

$$f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}$$

कहाँ

• a स्पर्शोन्मुख है, क्योंकि ${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=a\mathrm {e} ^{0}=a}$
• b विस्थापन को x-अक्ष के साथ सेट करता है (ग्राफ़ को बाएँ या दाएँ अनुवाद करता है)।
• c विकास दर (y स्केलिंग) सेट करता है
• ई ई है (गणितीय स्थिरांक) | यूलर की संख्या (ई = 2.71828 ...)

गुण

हल करके आधा बिंदु पाया जाता है ${\textstyle f(t)=a/2}$ टी के लिए।

$$t_{hwp}={\frac {\ln(b)-\ln(\ln(2))}{c}}$$

वृद्धि की अधिकतम दर का बिंदु (${\textstyle 0.368a}$) को हल करके पाया जाता है ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=0}$ टी के लिए।

$$t_{max}=\ln(b)/c$$

पर वृद्धि ${\textstyle t_{max}}$ है

$$\max \left({\frac {df}{dt}}\right)={\frac {ac}{e}}$$

व्युत्पत्ति

फ़ंक्शन वक्र को मृत्यु दर के गोम्पर्ट्ज़-मेखम कानून से प्राप्त किया जा सकता है, जो बताता है कि पूर्ण मृत्यु दर (क्षय) वर्तमान आकार के साथ तेजी से गिरती है। गणितीय रूप से,

$$k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}$$

कहाँ

• ${\textstyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$ विकास दर है
• k मनमाना स्थिरांक है।

== उदाहरण == का उपयोग करता है गोम्पर्ट्ज़ कर्व्स के उपयोग के उदाहरणों में शामिल हैं:

• चल दूरभाष का उपयोग, जहां शुरुआत में लागत अधिक थी (इसलिए तेजी धीमी थी), इसके बाद तेजी से विकास की अवधि, इसके बाद संतृप्ति तक पहुंचने की गति धीमी हो गई
• एक सीमित स्थान में जनसंख्या, जैसे-जैसे जन्म दर पहले बढ़ती है और फिर धीमी होती है क्योंकि संसाधन की सीमा समाप्त हो जाती है
• ट्यूमर के विकास की मॉडलिंग
• वित्त में मॉडलिंग बाजार प्रभाव और समग्र उप-राष्ट्रीय ऋण गतिशील।
• शिकार-शिकार संबंधों के संबंध में शिकार के जानवरों में जनसंख्या वृद्धि का विवरण
• एक आबादी के भीतर जीवाणु कोशिकाओं की मॉडलिंग करना
• बीमारी के प्रसार की जाँच करना
• अंग्रेजी विकिपीडिया के आकार को गोम्पर्ट्ज़ फंक्शन और कुछ हद तक संशोधित फ़ंक्शन के साथ मॉडल किया जा सकता है

अनुप्रयोग

गोम्पर्ट्ज़ वक्र

जनसंख्या जीव विज्ञान विशेष रूप से गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन से संबंधित है। यह कार्य विशेष रूप से जीवों की निश्चित आबादी के तेजी से विकास का वर्णन करने में उपयोगी होता है, जबकि वहन क्षमता (पठार सेल / जनसंख्या संख्या) निर्धारित होने के बाद, अंतिम क्षैतिज स्पर्शोन्मुख के लिए भी सक्षम होने के कारण।

इसे निम्नानुसार मॉडलिंग किया गया है:

$$N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))$$

कहाँ:

• ${\textstyle t}$ यह समय है
• ${\textstyle N_{0}}$ कोशिकाओं का प्रारंभिक घनत्व है
• ${\textstyle N_{I}}$ पठारी कोशिका/जनसंख्या घनत्व है
• ${\textstyle b}$ ट्यूमर के विकास की प्रारंभिक दर है

पठार सेल संख्या का यह कार्य विचार वास्तविक जीवन जनसंख्या गतिशीलता की सटीक नकल करने में उपयोगी बनाता है। फ़ंक्शन सिग्मॉइड फ़ंक्शन का भी पालन करता है, जो आम तौर पर जनसंख्या वृद्धि का विवरण देने का सबसे व्यापक रूप से स्वीकृत सम्मेलन है। इसके अलावा, कार्य प्रारंभिक विकास दर का उपयोग करता है, जो आमतौर पर बैक्टीरिया और कैंसर कोशिकाओं की आबादी में देखा जाता है, जो लॉग चरण से गुजरते हैं और संख्या में तेजी से बढ़ते हैं। इसकी लोकप्रियता के बावजूद, जनसंख्या जीव विज्ञान के मामले में मरीज के साथ मौजूद अलग-अलग सूक्ष्म जगत, या अलग-अलग पर्यावरणीय कारकों को देखते हुए, ट्यूमर के विकास की प्रारंभिक दर का कार्य पूर्व निर्धारित करना मुश्किल है। कैंसर रोगियों में, आयु, आहार, जातीयता, आनुवंशिक पूर्व-स्वभाव, चयापचय, जीवन शैली और रूप-परिवर्तन की उत्पत्ति जैसे कारक ट्यूमर के विकास दर को निर्धारित करने में भूमिका निभाते हैं। वहन क्षमता भी इन कारकों के आधार पर बदलने की उम्मीद है, और इसलिए ऐसी घटनाओं का वर्णन करना मुश्किल है।

मेटाबोलिक वक्र

चयापचय कार्य विशेष रूप से जीव के भीतर चयापचय की दर के लिए लेखांकन से संबंधित है। यह फ़ंक्शन ट्यूमर कोशिकाओं की निगरानी के लिए लागू किया जा सकता है; चयापचय दर गतिशील है और बहुत लचीला है, जिससे यह कैंसर के विकास का विवरण देने में अधिक सटीक हो जाता है। उपापचयी वक्र उस ऊर्जा को ध्यान में रखता है जो शरीर ऊतक को बनाए रखने और बनाने में प्रदान करता है। इस ऊर्जा को चयापचय के रूप में माना जा सकता है और कोशिकीय विभाजन में विशिष्ट पैटर्न का अनुसरण करता है। अलग-अलग द्रव्यमान और विकास के समय के बावजूद, इस तरह के विकास को मॉडल करने के लिए ऊर्जा संरक्षण का उपयोग किया जा सकता है। सभी टैक्सोन समान विकास पैटर्न साझा करते हैं और परिणामस्वरूप, यह मॉडल सेलुलर डिवीजन को ट्यूमर के विकास की नींव मानता है।

$$B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)$$

• ${\textstyle B}$ = ऊर्जा जीव आराम पर उपयोग करता है
• ${\textstyle N_{C}}$ = दिए गए जीव में कोशिकाओं की संख्या
• ${\textstyle B_{C}}$= व्यक्तिगत कोशिका की चयापचय दर
• ${\textstyle N_{C}B_{C}}$= मौजूदा ऊतक (जीव विज्ञान) को बनाए रखने के लिए आवश्यक ऊर्जा
• ${\textstyle E_{C}}$= व्यक्तिगत कोशिका से नए ऊतक बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा

आराम और चयापचय दर के काम में उपयोग की जाने वाली ऊर्जा के बीच का अंतर मॉडल को विकास की दर को अधिक सटीक रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है। आराम की ऊर्जा ऊतक को बनाए रखने के लिए उपयोग की जाने वाली ऊर्जा से कम होती है, और साथ में मौजूदा ऊतक को बनाए रखने के लिए आवश्यक ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। इन दो कारकों का उपयोग, नए ऊतक बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा के साथ, विकास की दर को व्यापक रूप से मानचित्रित करता है, और इसके अलावा, अंतराल चरण का सटीक प्रतिनिधित्व करता है।

ट्यूमर का बढ़ना

1960 के दशक में ए.के. ठाकुर ट्यूमर के विकास के आंकड़ों को फिट करने के लिए पहली बार सफलतापूर्वक गोम्पर्ट्ज़ वक्र का उपयोग किया। वास्तव में, ट्यूमर सीमित स्थान में बढ़ने वाली सेलुलर आबादी है जहां पोषक तत्वों की उपलब्धता सीमित है। ट्यूमर के आकार को एक्स (टी) के रूप में नकारते हुए गोम्पर्ट्ज़ वक्र को निम्नानुसार लिखना उपयोगी होता है:

$X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)$

कहाँ:

• ${\textstyle X(0)}$ प्रारंभिक अवलोकन समय पर ट्यूमर का आकार है;
• ${\textstyle K}$ वहन क्षमता है, यानी उपलब्ध पोषक तत्वों के साथ अधिकतम आकार तक पहुंचा जा सकता है। वास्तव में यह है:
  $$\lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K$$

एक्स (0)> 0 पर स्वतंत्र रूप से। ध्यान दें कि, चिकित्सा आदि के अभाव में.. आमतौर पर यह X(0) <K होता है, जबकि, उपचारों की उपस्थिति में, यह X(0)> K हो सकता है;

• ${\textstyle \alpha }$ कोशिकाओं की प्रसार क्षमता से संबंधित निरंतर है।
• ${\textstyle \log()}$ प्राकृतिक लॉग को संदर्भित करता है।

यह दिखाया जा सकता है कि एक्स (टी) की गतिशीलता गोम्पर्ट्ज़ अंतर समीकरण द्वारा नियंत्रित होती है:

$$X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)$$

यानी फॉर्म का है जब टूटा हुआ है:

$$X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,$$

F(X) सेलुलर आबादी की तात्कालिक प्रसार दर है, जिसकी घटती प्रकृति सेलुलर आबादी में वृद्धि के कारण पोषक तत्वों के लिए प्रतिस्पर्धा के कारण होती है, इसी तरह रसद विकास दर के लिए। हालाँकि, मूलभूत अंतर है: लॉजिस्टिक मामले में छोटी सेलुलर आबादी के लिए प्रसार दर परिमित है:

$$F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty$$

जबकि गोम्पर्ट्ज़ मामले में प्रसार दर असीम है:

$$\lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty$$

जैसा कि स्टील ने देखा और व्हील्डन द्वारा, कोशिकीय आबादी की प्रसार दर अंततः कोशिका विभाजन समय से बंधी होती है। इस प्रकार, यह प्रमाण हो सकता है कि छोटे ट्यूमर के विकास को मॉडल करने के लिए गोम्पर्ट्ज़ समीकरण अच्छा नहीं है। इसके अलावा, हाल ही में यह देखा गया है कि, प्रतिरक्षा प्रणाली के साथ बातचीत सहित, गोम्पर्ट्ज़ और असीमित एफ (0) की विशेषता वाले अन्य कानून प्रतिरक्षा निगरानी की संभावना को समाप्त कर देंगे।

Fornalski et al द्वारा सैद्धांतिक अध्ययन। बहुत प्रारंभिक चरण को छोड़कर जहां परवलयिक कार्य अधिक उपयुक्त है, कैंसर के विकास के लिए गोम्पर्ट्ज़ वक्र का जैव-भौतिक आधार दिखाया गया है। उन्होंने यह भी पाया कि गोम्पर्ट्ज़ वक्र कैंसर की गतिशीलता के कार्यों के व्यापक परिवार के बीच सबसे विशिष्ट मामले का वर्णन करता है।

गोम्पर्ट्ज़ विकास और रसद विकास

गोम्पर्ट्ज़ अंतर समीकरण

$$X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)$$

सामान्यीकृत लॉजिस्टिक फ़ंक्शन#सामान्यीकृत_लॉजिस्टिक_डिफ़रेंशियल_इक्वेशन का सीमित मामला है

$$X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)$$

(कहाँ $\nu >0$ सकारात्मक वास्तविक संख्या है) चूंकि

$$\lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)$$

.

इसके अलावा, सामान्यीकृत लॉजिस्टिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में विभक्ति बिंदु होता है जब

$$X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K$$

और गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन के ग्राफ़ में जब

$$X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }$$

.

गोम्प-पूर्व विकास का नियम

उपरोक्त विचारों के आधार पर, व्हील्डनट्यूमर के विकास का गणितीय मॉडल प्रस्तावित किया, जिसे गोम्प-एक्स मॉडल कहा जाता है, जो गोम्पर्ट्ज़ कानून को थोड़ा संशोधित करता है। गोम्प-एक्स मॉडल में यह माना जाता है कि शुरू में संसाधनों के लिए कोई प्रतिस्पर्धा नहीं है, ताकि घातीय कानून का पालन करते हुए सेलुलर आबादी का विस्तार हो। हालाँकि, महत्वपूर्ण आकार सीमा है $X_{C}$ ऐसा कि के लिए $X>X_{C}$. यह धारणा कि संसाधनों के लिए कोई प्रतिस्पर्धा नहीं है, अधिकांश परिदृश्यों में सही है। हालांकि यह कारकों को सीमित करने से प्रभावित हो सकता है, जिसके लिए उप-कारक चर के निर्माण की आवश्यकता होती है।

विकास गोम्पर्ट्ज़ कानून का पालन करता है:

$$F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)$$

ताकि:

$$X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).$$

यहाँ कुछ संख्यात्मक अनुमान हैंके लिए $X_{C}$:

• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{9}}$ मानव ट्यूमर के लिए
• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{6}}$ murine (माउस) ट्यूमर के लिए

व्युत्क्रम गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन

गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन एक-से-एक पत्राचार है (जिसे द्विभाजन के रूप में भी जाना जाता है) और इसलिए इसका उलटा कार्य स्पष्ट रूप से पारंपरिक कार्यात्मक संकेतन में एकल निरंतर कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रपत्र के गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन को देखते हुए:

$$f(t)=a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d$$

कहाँ

• d आधार क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है, क्योंकि ${\textstyle \lim _{t\to -\infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{-\infty }+d=d}$
• a, आधार से दूसरे स्पर्शोन्मुख तक की दूरी है, क्योंकि ${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{0}+d=a+d}$
• b विस्थापन को x-अक्ष के साथ सेट करता है (ग्राफ़ को बाएँ या दाएँ अनुवाद करता है)।
• c विकास दर (y स्केलिंग) सेट करता है
• ई ई है (गणितीय स्थिरांक) | यूलर की संख्या (ई = 2.71828 ...)

इसी उलटा कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$f^{-1}(t)={\frac {1}{c}}\left[b-\ln \left(\ln \left({\frac {a}{t-d}}\right)\right)\right]$$

व्युत्क्रम फ़ंक्शन केवल Real_number के सेट में इसके दो स्पर्शोन्मुखों के बीच संख्यात्मक मान उत्पन्न करता है, जो अब फ़ॉरवर्ड गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन की तरह क्षैतिज के बजाय लंबवत हैं। ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख द्वारा परिभाषित सीमा के बाहर, व्युत्क्रम फ़ंक्शन को ऋणात्मक संख्याओं के लघुगणक की गणना करने की आवश्यकता होती है। इसके लिए और अन्य कारणों से यह अक्सर अव्यावहारिक होता है कि व्युत्क्रम गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन को सीधे डेटा में फिट करने का प्रयास करें, खासकर यदि किसी के पास केवल अपेक्षाकृत कुछ डेटा बिंदु उपलब्ध हों जिससे फिट की गणना की जा सके। इसके बजाय कोई डेटा के ट्रांसपोज़्ड रिलेशनशिप को फ़ॉरवर्ड गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन में फिट कर सकता है, और फिर ऊपर दिए गए दोनों के बीच के रिश्ते का उपयोग करके इसे समतुल्य व्युत्क्रम फ़ंक्शन में परिवर्तित कर सकता है।

इस प्रकार प्रतिलोम फलन के अनेक उपयोग हैं। उदाहरण के लिए, कुछ एलिसा में मानक वक्र होता है जिसकी सांद्रता गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन द्वारा उनके ऑप्टिकल घनत्व के लिए बहुत अच्छी तरह से फिट हो सकती है। बार मानकों के गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन के लिए फिट होने के बाद, उनके मापा ऑप्टिकल घनत्व से परख में नमूनों की अज्ञात एकाग्रता की गणना गोम्पर्ट्ज़ फ़ंक्शन के व्युत्क्रम का उपयोग करके प्राप्त की जाती है जो मानक वक्र को फ़िट करते समय उत्पन्न हुई थी।

यह भी देखें

• गोम्पर्ट्ज़ वितरण
• विकास वक्र (सांख्यिकी)
• वॉन बर्टलान्फ़ी समारोह
• सिग्मॉइड फ़ंक्शन

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Gompertz Curve". MathWorld.
• https://archive.org/details/philtrans04942340
• http://chemoth.com/tumorgrowth