सिल्वेस्टर आव्युह

गणित में, सिल्वेस्टर मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) है जो एक क्षेत्र (गणित) या एक क्रमविनिमेय रिंग में गुणांक वाले दो अविभाज्य बहुपदों से जुड़ा होता है। दो बहुपदों के सिल्वेस्टर मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ बहुपदों के गुणांक हैं। दो बहुपदों के सिल्वेस्टर मैट्रिक्स का निर्धारक उनका परिणामी होता है, जो शून्य होता है जब दो बहुपदों का एक सामान्य मूल होता है (किसी क्षेत्र में गुणांक के मामले में) या एक गैर-स्थिर सामान्य भाजक (एक अभिन्न डोमेन में गुणांक के मामले में)।

सिल्वेस्टर मैट्रिसेस का नाम जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, मान लीजिए कि p और q एक बहुपद m और n की घात वाले क्रमशः दो अशून्य बहुपद हैं। इस प्रकार:

$p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.$

पी और क्यू से जुड़ा सिल्वेस्टर मैट्रिक्स तब है $(n+m)\times (n+m)$ मैट्रिक्स का निर्माण इस प्रकार किया गया है:

• यदि n > 0, पहली पंक्ति है:

${\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• दूसरी पंक्ति पहली पंक्ति है, एक कॉलम को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया है; पंक्ति का पहला तत्व शून्य है.
• निम्नलिखित n − 2 पंक्तियों को उसी तरह से प्राप्त किया जाता है, हर बार गुणांक को एक कॉलम में दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है और पंक्ति में अन्य प्रविष्टियों को 0 पर सेट किया जाता है।
• यदि m > 0 तो (n+1)वीं पंक्ति है:

${\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• निम्नलिखित पंक्तियाँ पहले की तरह ही प्राप्त की जाती हैं।

इस प्रकार, यदि m = 4 और n = 3, मैट्रिक्स है:

$S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\end{pmatrix}}.$

यदि डिग्री में से एक शून्य है (अर्थात, संबंधित बहुपद एक गैर-शून्य स्थिर बहुपद है), तो अन्य बहुपद के गुणांकों से युक्त शून्य पंक्तियाँ होती हैं, और सिल्वेस्टर मैट्रिक्स गैर-स्थिर बहुपद की डिग्री के आयाम का एक विकर्ण मैट्रिक्स है, जिसमें सभी विकर्ण गुणांक स्थिर बहुपद के बराबर होते हैं। यदि m = n = 0, तो सिल्वेस्टर मैट्रिक्स शून्य पंक्तियों और शून्य स्तंभों वाला खाली मैट्रिक्स है।

एक प्रकार

उपरोक्त परिभाषित सिल्वेस्टर मैट्रिक्स 1840 के सिल्वेस्टर पेपर में दिखाई देता है। 1853 के एक पेपर में, सिल्वेस्टर ने निम्नलिखित मैट्रिक्स पेश किया, जो पंक्तियों के क्रमपरिवर्तन तक, पी और क्यू के सिल्वेस्टर मैट्रिक्स है, जिन्हें दोनों डिग्री अधिकतम (एम, एन) के रूप में माना जाता है। इस प्रकार यह एक है $2\max(n,m)\times 2\max(n,m)$-मैट्रिक्स युक्त $\max(n,m)$ पंक्तियों के जोड़े. यह मानते हुए $m>n,$ इसे इस प्रकार प्राप्त किया जाता है:

• पहली जोड़ी है:

${\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{n}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&q_{n}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• दूसरी जोड़ी पहली जोड़ी है, एक कॉलम को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया है; दो पंक्तियों में प्रथम तत्व शून्य हैं।
• शेष $max(n,m)-2$ पंक्तियों के जोड़े ऊपर की तरह ही प्राप्त किए जाते हैं।

इस प्रकार, यदि m = 4 और n = 3, मैट्रिक्स है:

${\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\0&0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.$

1853 मैट्रिक्स का निर्धारक, साइन अप करने के लिए, सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक का उत्पाद है (जिसे पी और क्यू का परिणाम कहा जाता है) $p_{m}^{m-n}$ (अभी भी मान रहा हूँ $m\geq n$).

अनुप्रयोग

इन आव्यूहों का उपयोग क्रमविनिमेय बीजगणित में किया जाता है, जैसे यह जांचने के लिए कि क्या दो बहुपदों में एक (अस्थिर) उभयनिष्ठ गुणनखंड है। ऐसे मामले में, संबंधित सिल्वेस्टर मैट्रिक्स (जिसे दो बहुपदों का परिणाम कहा जाता है) का निर्धारक शून्य के बराबर होता है। इसका उलटा भी सच है।

एक साथ रैखिक समीकरणों के समाधान

${S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

कहाँ $x$ आकार का एक वेक्टर है $n$ और $y$ आकार है $m$, उन और केवल उन युग्मों के गुणांक सदिश शामिल करें $x,y$ बहुपदों का (डिग्री का)। $n-1$ और $m-1$, क्रमशः) जो पूरा करते हैं

$x(z)\cdot p(z)+y(z)\cdot q(z)=0,$

जहां बहुपद गुणन और जोड़ का उपयोग किया जाता है। इसका मतलब है कि ट्रांसपोज़्ड सिल्वेस्टर मैट्रिक्स का शून्य स्थान बेज़आउट की पहचान के सभी समाधान देता है|बेज़आउट समीकरण जहां $\deg x<\deg q$ और $\deg y<\deg p$.

नतीजतन, सिल्वेस्टर मैट्रिक्स का रैंक_(रैखिक_बीजगणित) पी और क्यू के बहुपद के सबसे बड़े सामान्य भाजक की डिग्री निर्धारित करता है:

$\deg(\gcd(p,q))=m+n-\operatorname {rank} S_{p,q}.$ इसके अलावा, इस सबसे बड़े सामान्य भाजक के गुणांक को सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के सबमैट्रिस के निर्धारक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (उपपरिणाम देखें)।

यह भी देखें

• स्थानांतरण मैट्रिक्स
• बेज़आउट मैट्रिक्स

संदर्भ

• Weisstein, Eric W. "Sylvester Matrix". MathWorld.