इवासावा अपघटन

गणित में, अर्धसरल लाई समूह का इवासावा अपघटन (इसकी अभिव्यक्ति से उर्फ ​​KAN) उस तरीके को सामान्य बनाता है जिस तरह एक वर्ग वास्तविक मैट्रिक्स को एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स और एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (क्यूआर अपघटन, ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का परिणाम | ग्राम-श्मिट ऑर्थोगोनलाइज़ेशन) के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। इसका नाम जापानी गणितज्ञ केनकिची इवासावा के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस पद्धति को विकसित किया था।

परिभाषा

• जी एक जुड़ा हुआ अर्धसरल वास्तविक झूठ समूह है।
• ${\mathfrak {g}}_{0}$ G का झूठ बीजगणित है
• ${\mathfrak {g}}$ की जटिलता है ${\mathfrak {g}}_{0}$.
• θ का कार्टन इन्वॉल्वमेंट है ${\mathfrak {g}}_{0}$
• ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}$ संगत कार्टन अपघटन है
• ${\mathfrak {a}}_{0}$ का अधिकतम एबेलियन उपबीजगणित है ${\mathfrak {p}}_{0}$
• Σ प्रतिबंधित जड़ों का समुच्चय है ${\mathfrak {a}}_{0}$, के eigenvalues ​​​​के अनुरूप ${\mathfrak {a}}_{0}$ अभिनय कर रहे ${\mathfrak {g}}_{0}$.
• एस⁺ Σ की सकारात्मक जड़ों का एक विकल्प है
• ${\mathfrak {n}}_{0}$ के मूल स्थानों के योग के रूप में दिया गया एक शून्य-शक्तिशाली बीजगणित है⁺
• K, A, N, द्वारा उत्पन्न G के Lie उपसमूह हैं ${\mathfrak {k}}_{0},{\mathfrak {a}}_{0}$ और ${\mathfrak {n}}_{0}$.

फिर इवासावा का विघटन ${\mathfrak {g}}_{0}$ है

${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus {\mathfrak {n}}_{0}$

और जी का इवासावा अपघटन है

$G=KAN$

इसका मतलब है कि मैनिफोल्ड से एक विश्लेषणात्मक भिन्नता (लेकिन समूह समरूपता नहीं) है $K\times A\times N$ झूठ समूह के लिए $G$, भेजना $(k,a,n)\mapsto kan$.

ए का आयाम (या समकक्ष) ${\mathfrak {a}}_{0}$) बीजगणितीय टोरस#फ्लैट उप-स्थान और जी के सममित स्थानों की रैंक के बराबर है।

इवासावा अपघटन कुछ असंबद्ध अर्धसरल समूहों G के लिए भी लागू होता है, जहां K एक (असंबद्ध) अधिकतम सघन उपसमूह बन जाता है, बशर्ते G का केंद्र परिमित हो।

प्रतिबंधित जड़ स्थान अपघटन है

${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {m}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus _{\lambda \in \Sigma }{\mathfrak {g}}_{\lambda }$

कहाँ ${\mathfrak {m}}_{0}$ का केंद्रीकरणकर्ता है ${\mathfrak {a}}_{0}$ में ${\mathfrak {k}}_{0}$ और ${\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{X\in {\mathfrak {g}}_{0}:[H,X]=\lambda (H)X\;\;\forall H\in {\mathfrak {a}}_{0}\}$ मूल स्थान है. जो नंबर $m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }$ की बहुलता कहलाती है $\lambda$.

उदाहरण

जीएसएल का_n('R'), तो हम K को ओर्थोगोनल आव्यूह के रूप में ले सकते हैं, A को निर्धारक 1 के साथ सकारात्मक विकर्ण आव्यूह के रूप में ले सकते हैं, और N को विकर्ण पर 1s के साथ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों से युक्त एकशक्तिशाली समूह के रूप में ले सकते हैं।

n=2 के मामले के लिए, G=SL(2,'R') का इवासावा अपघटन के संदर्भ में है

$\mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),$

$\mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},$

$\mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.$

सहानुभूति समूह G=Sp(2n, 'R' ) के लिए, एक संभावित इवासावा अपघटन के संदर्भ में है

$\mathbf {K} =Sp(2n,\mathbb {R} )\cap SO(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ A+iB\in U(n)\right\}\cong U(n),$

$\mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ D{\text{ positive, diagonal}}\right\},$

$\mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}N&M\\0&N^{-T}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ N{\text{ upper triangular with diagonal elements = 1}},\ NM^{T}=MN^{T}\right\}.$

गैर-आर्किमिडीयन इवासावा अपघटन

गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र के लिए उपरोक्त इवासावा अपघटन का एक एनालॉग है $F$: इस मामले में, समूह $GL_{n}(F)$ ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के उपसमूह और (अधिकतम कॉम्पैक्ट) उपसमूह के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है $GL_{n}(O_{F})$, कहाँ $O_{F}$ के पूर्णांकों का वलय है $F$.

यह भी देखें

• झूठ समूह विघटन
• अर्ध-सरल झूठ बीजगणित की जड़ प्रणाली

संदर्भ

• Fedenko, A.S.; Shtern, A.I. (2001) [1994], "Iwasawa decomposition", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction (2nd ed.). ISBN 9780817642594.