आंशिक आइसोमेट्री

कार्यात्मक विश्लेषण में आंशिक आइसोमेट्री हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच एक रेखीय मानचित्र है जैसे कि यह इसके कर्नेल (बीजगणित) के ऑर्थोगोनल पूरक पर एक आइसोमेट्री है।

इसके कर्नेल के ऑर्थोगोनल पूरक को प्रारंभिक उपस्थान कहा जाता है और इसकी सीमा को अंतिम उपस्थान कहा जाता है।

ध्रुवीय अपघटन में आंशिक आइसोमेट्री दिखाई देती है।

सामान्य

आंशिक आइसोमेट्री की अवधारणा को अन्य समकक्ष तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। यदि U एक बंद उपसमुच्चय H पर परिभाषित एक सममितीय मानचित्र है₁ हिल्बर्ट स्पेस H के तो हम सभी H के लिए U के विस्तार W को इस शर्त से परिभाषित कर सकते हैं कि H के ऑर्थोगोनल पूरक पर W शून्य हो₁. इस प्रकार आंशिक आइसोमेट्री को कभी-कभी बंद आंशिक रूप से परिभाषित आइसोमेट्रिक मानचित्र के रूप में भी परिभाषित किया जाता है।

आंशिक आइसोमेट्री (और अनुमान) को इनवॉल्वमेंट के साथ अर्धसमूह की अधिक अमूर्त सेटिंग में परिभाषित किया जा सकता है; यह परिभाषा यहां दी गई परिभाषा से मेल खाती है।

परिमित-आयामी वेक्टर स्थानों में, एक मैट्रिक्स $A$ आंशिक आइसोमेट्री है यदि और केवल यदि $A^{*}A$ इसके समर्थन पर प्रक्षेपण है। समान रूप से, किसी भी परिमित-आयामी आंशिक आइसोमेट्री को आधार के कुछ विकल्प में, फॉर्म के मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है $A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}$, अर्थात्, एक मैट्रिक्स के रूप में जिसका पहला $\operatorname {rank} (A)$ कॉलम एक आइसोमेट्री बनाते हैं, जबकि अन्य सभी कॉलम समान रूप से 0 हैं।

फिर भी परिमित-आयामी आंशिक आइसोमेट्री को चिह्नित करने का एक और सामान्य तरीका यह देखना है कि आंशिक आइसोमेट्री आइसोमेट्री के हर्मिटियन संयुग्मों के साथ मेल खाती है, जिसका अर्थ है कि एक दिया गया $P$ आंशिक आइसोमेट्री है यदि और केवल यदि $P^{*}$ एक आइसोमेट्री है. अधिक सटीक रूप से, यदि $P$ तो, यह एक आंशिक आइसोमेट्री है $P^{*}$ की सीमा के समर्थन के साथ एक आइसोमेट्री है $P$, और अगर $V$ तो फिर कुछ आइसोमेट्री है $V^{*}$ की सीमा के समर्थन के साथ एक आंशिक आइसोमेट्री है $V$.

संचालिका बीजगणित

ऑपरेटर बीजगणित के लिए प्रारंभिक और अंतिम उप-स्थान का परिचय दिया जाता है:

${\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}$

सी*-बीजगणित

C*-बीजगणित के लिए C*-संपत्ति के कारण समतुल्यता की श्रृंखला होती है:

$(W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}$

तो कोई उपरोक्त में से किसी एक द्वारा आंशिक आइसोमेट्री को परिभाषित करता है और प्रारंभिक सम्मान की घोषणा करता है। अंतिम प्रक्षेपण W*W सम्मान होगा। वाह*.

अनुमानों की एक जोड़ी को तुल्यता संबंध द्वारा विभाजित किया गया है:

$P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}$

यह C*-बीजगणित के लिए K-सिद्धांत में और वॉन न्यूमैन बीजगणित में अनुमानों के फ्रांसिस जोसेफ मरे-जॉन वॉन न्यूमैन सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

विशेष कक्षाएँ

अनुमान

कोई भी ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण सामान्य प्रारंभिक और अंतिम उप-स्थान वाला होता है:

$P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P$

एंबेडिंग

कोई भी आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग पूर्ण प्रारंभिक उप-स्थान के साथ एक है:

$J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}$

इकाईयाँ

कोई भी एकात्मक संचालक पूर्ण प्रारंभिक और अंतिम उपस्थान वाला होता है:

$U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}$

(इनके अलावा कहीं अधिक आंशिक आइसोमेट्रीज़ हैं।)

उदाहरण

निलपोटेंट्स

द्वि-आयामी जटिल हिल्बर्ट स्पेस पर मैट्रिक्स

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

प्रारंभिक उपस्थान के साथ एक आंशिक आइसोमेट्री है

$\{0\}\oplus \mathbb {C}$

और अंतिम उपस्थान

$\mathbb {C} \oplus \{0\}.$

सामान्य परिमित-आयामी उदाहरण

सीमित आयामों में अन्य संभावित उदाहरण हैं

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.$$

यह स्पष्ट रूप से एक आइसोमेट्री नहीं है, क्योंकि कॉलम ऑर्थोनॉर्मल नहीं हैं। हालाँकि, इसका समर्थन का दायरा है $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)$ और $\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)$, और की कार्रवाई को प्रतिबंधित करना $A$ इस स्थान पर, यह एक आइसोमेट्री (और विशेष रूप से एकात्मक) बन जाता है। कोई इसे इसी तरह सत्यापित कर सकता है $A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}$, वह है वह $A^{*}A$ इसके समर्थन पर प्रक्षेपण है।

आंशिक सममिति को वर्ग आव्यूहों के अनुरूप होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए विचार करें,

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.$$

इस मैट्रिक्स में स्पैन का समर्थन है $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0,0)$ और $\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{4}\equiv (0,1,0,1)$, और इस स्थान पर एक आइसोमेट्री (और विशेष रूप से, पहचान के रूप में) के रूप में कार्य करता है।

एक और उदाहरण, जिसमें इस बार $A$ इसके समर्थन पर एक गैर-तुच्छ आइसोमेट्री की तरह कार्य करता है

$$A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$$

कोई भी इसे आसानी से सत्यापित कर सकता है $A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}$, और $A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}$, का सममितीय व्यवहार दिखा रहा है $A$ इसके समर्थन के बीच $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})$ और इसकी सीमा $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})$.

लेफ्ट शिफ्ट और राइट शिफ्ट

वर्गाकार योगयोग्य अनुक्रमों पर संचालिकाएँ

$R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )$

$L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )$

जो कि संबंधित हैं

$R^{*}=L$

प्रारंभिक उप-स्थान के साथ आंशिक आइसोमेट्री हैं

$LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )$

और अंतिम उपस्थान:

$RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots )$.

संदर्भ

• John B. Conway (1999). "A course in operator theory", AMS Bookstore, ISBN 0-8218-2065-6
• Carey, R. W.; Pincus, J. D. (May 1974). "An Invariant for Certain Operator Algebras". Proceedings of the National Academy of Sciences. 71 (5): 1952–1956. Bibcode:1974PNAS...71.1952C. doi:10.1073/pnas.71.5.1952. PMC 388361. PMID 16592156.
• Alan L. T. Paterson (1999). "Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras", Springer, ISBN 0-8176-4051-7
• Mark V. Lawson (1998). "Inverse semigroups: the theory of partial symmetries". World Scientific ISBN 981-02-3316-7
• Stephan Ramon Garcia; Matthew Okubo Patterson; Ross, William T. (2019). "Partially isometric matrices: A brief and selective survey". arXiv:1903.11648 [math.FA].

बाहरी संबंध

• Important properties and proofs
• Alternative proofs