सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली)

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, सार्वभौमिकता यह अवलोकन है कि सिस्टम के एक बड़े वर्ग के लिए गुण हैं जो सिस्टम की गतिशीलता (यांत्रिकी) विवरण से स्वतंत्र हैं। सिस्टम स्केलिंग सीमा में सार्वभौमिकता प्रदर्शित करते हैं, जब बड़ी संख्या में इंटरैक्टिंग हिस्से एक साथ आते हैं। इस शब्द का आधुनिक अर्थ 1960 के दशक में लियो कडानोफ़ द्वारा प्रस्तुत किया गया था, लेकिन अवधारणा का एक सरल संस्करण पहले से ही वैन डेर वाल्स समीकरण और चरण संक्रमण के पहले लैंडौ सिद्धांत में निहित था, जिसमें स्केलिंग को सही ढंग से शामिल नहीं किया गया था।

यह शब्द धीरे-धीरे गणित के कई क्षेत्रों में व्यापक उपयोग प्राप्त कर रहा है, जिसमें साहचर्य और संभाव्यता सिद्धांत शामिल हैं, जब भी किसी संरचना की मात्रात्मक विशेषताओं (जैसे एसिम्प्टोटिक व्यवहार) को ज्ञान की आवश्यकता के बिना, परिभाषा में दिखाई देने वाले कुछ वैश्विक मापदंडों से निकाला जा सकता है। सिस्टम का विवरण.

पुनर्सामान्यीकरण समूह गणितीय रूप से गैर-कठोर होते हुए भी सार्वभौमिकता की एक सहज रूप से आकर्षक व्याख्या प्रदान करता है। यह सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत में ऑपरेटरों को प्रासंगिक और अप्रासंगिक में वर्गीकृत करता है। प्रासंगिक संचालक वे हैं जो मुक्त ऊर्जा, काल्पनिक समय लैग्रेंजियन में गड़बड़ी के लिए जिम्मेदार हैं, जो सातत्य सीमा को प्रभावित करेगा, और लंबी दूरी पर देखा जा सकता है। अप्रासंगिक ऑपरेटर वे हैं जो केवल कम दूरी के विवरण बदलते हैं। स्केल-अपरिवर्तनीय सांख्यिकीय सिद्धांतों का संग्रह सार्वभौमिकता वर्गों को परिभाषित करता है, और प्रासंगिक ऑपरेटरों के गुणांक की परिमित-आयामी सूची निकट-महत्वपूर्ण व्यवहार को पैरामीट्रिज करती है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी में सार्वभौमिकता

सार्वभौमिकता की धारणा सांख्यिकीय यांत्रिकी में चरण संक्रमण के अध्ययन से उत्पन्न हुई। एक चरण संक्रमण तब होता है जब कोई सामग्री नाटकीय तरीके से अपने गुणों को बदलती है: गर्म होने पर पानी उबलता है और वाष्प में बदल जाता है; या चुंबक गर्म होने पर अपना चुंबकत्व खो देता है। चरण संक्रमण की विशेषता एक चरण संक्रमण#ऑर्डर पैरामीटर, जैसे घनत्व या चुंबकीयकरण, द्वारा की जाती है, जो सिस्टम के पैरामीटर के एक फ़ंक्शन के रूप में बदलता है, जैसे कि तापमान। पैरामीटर का विशेष मान जिस पर सिस्टम अपना चरण बदलता है वह सिस्टम का महत्वपूर्ण बिंदु (थर्मोडायनामिक्स) है। उन प्रणालियों के लिए जो सार्वभौमिकता प्रदर्शित करती हैं, पैरामीटर अपने महत्वपूर्ण मूल्य के जितना करीब होता है, ऑर्डर पैरामीटर उतना ही कम संवेदनशील रूप से सिस्टम के विवरण पर निर्भर करता है।

यदि पैरामीटर β मान β पर महत्वपूर्ण है_c, तो ऑर्डर पैरामीटर a का अच्छी तरह से अनुमान लगाया जाएगा

$a=a_{0}\left\vert \beta -\beta _{c}\right\vert ^{\alpha }.$

प्रतिपादक α प्रणाली का एक महत्वपूर्ण प्रतिपादक है। बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में की गई उल्लेखनीय खोज यह थी कि बहुत भिन्न प्रणालियों में समान आलोचनात्मक प्रतिपादक थे।

1975 में, मिशेल फेगेनबाम ने पुनरावृत्त मानचित्रों में सार्वभौमिकता की खोज की।

उदाहरण

सार्वभौमिकता को इसका नाम इसलिए मिला क्योंकि यह विभिन्न प्रकार की भौतिक प्रणालियों में देखी जाती है। सार्वभौमिकता के उदाहरणों में शामिल हैं:

• रेत के ढेर में हिमस्खलन। हिमस्खलन की संभावना हिमस्खलन के आकार के शक्ति-कानून अनुपात में होती है, और हिमस्खलन सभी आकार के पैमाने पर होते देखे जाते हैं। इसे स्व-संगठित आलोचनात्मकता कहा जाता है।
• स्टील से लेकर चट्टान और कागज तक की सामग्रियों में दरारों और दरारों का बनना और फैलना। फटने की दिशा में भिन्नता, या खंडित सतह का खुरदरापन, आकार के पैमाने के शक्ति-नियम अनुपात में होता है।
• ढांकता हुआ ्स का विद्युतीय विघटन, जो दरारों और दरारों जैसा दिखता है।
• अव्यवस्थित मीडिया के माध्यम से तरल पदार्थों का रिसाव, जैसे कि खंडित चट्टान के बिस्तरों के माध्यम से पेट्रोलियम, या फिल्टर पेपर के माध्यम से पानी, जैसे क्रोमैटोग्राफी में। पावर-लॉ स्केलिंग प्रवाह की दर को फ्रैक्चर के वितरण से जोड़ती है।
• समाधान (रसायन विज्ञान) में अणुओं का प्रसार, और प्रसार-सीमित एकत्रीकरण की घटना।
• समग्र मिश्रण में विभिन्न आकारों की चट्टानों का वितरण जिसे हिलाया जा रहा है (चट्टानों पर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के साथ)।
• एक चरण संक्रमण के निकट तरल पदार्थों में क्रिटिकल ओपेलेसेंस की उपस्थिति।

सैद्धांतिक सिंहावलोकन

1970 और 1980 के दशक में सामग्री विज्ञान में महत्वपूर्ण विकासों में से एक यह अहसास था कि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के समान सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत का उपयोग सार्वभौमिकता का सूक्ष्म सिद्धांत प्रदान करने के लिए किया जा सकता है। मुख्य अवलोकन यह था कि, सभी विभिन्न प्रणालियों के लिए, एक चरण संक्रमण पर व्यवहार को एक सातत्य क्षेत्र द्वारा वर्णित किया गया है, और एक ही सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत विभिन्न प्रणालियों का वर्णन करेगा। इन सभी प्रणालियों में स्केलिंग प्रतिपादक अकेले क्षेत्र सिद्धांत से प्राप्त किए जा सकते हैं, और इन्हें महत्वपूर्ण प्रतिपादक के रूप में जाना जाता है।

मुख्य अवलोकन यह है कि एक चरण संक्रमण या महत्वपूर्ण बिंदु (थर्मोडायनामिक्स) के पास, सभी आकार के पैमाने पर गड़बड़ी होती है, और इस प्रकार किसी को घटना का वर्णन करने के लिए एक स्पष्ट पैमाने-अपरिवर्तनीय सिद्धांत की तलाश करनी चाहिए, जैसा कि औपचारिक सैद्धांतिक में रखा गया है सबसे पहले 1965 में वालेरी पोक्रोव्स्की और पटाशिंस्की द्वारा रूपरेखा . सार्वभौमिकता इस तथ्य का उप-उत्पाद है कि अपेक्षाकृत कम पैमाने-अपरिवर्तनीय सिद्धांत हैं। किसी एक विशिष्ट भौतिक प्रणाली के लिए, विस्तृत विवरण में कई पैमाने पर निर्भर पैरामीटर और पहलू हो सकते हैं। हालाँकि, जैसे-जैसे चरण संक्रमण करीब आता है, पैमाने पर निर्भर पैरामीटर कम से कम महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और भौतिक विवरण के पैमाने-अपरिवर्तनीय भाग हावी हो जाते हैं। इस प्रकार, महत्वपूर्ण बिंदु के निकट इन प्रणालियों के व्यवहार का अनुमान लगाने के लिए एक सरलीकृत और अक्सर बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल का उपयोग किया जा सकता है।

परकोलेशन को एक यादृच्छिक विद्युत अवरोधक नेटवर्क द्वारा मॉडल किया जा सकता है, जिसमें बिजली नेटवर्क के एक तरफ से दूसरी तरफ प्रवाहित होती है। नेटवर्क के समग्र प्रतिरोध को नेटवर्क में प्रतिरोधों की औसत कनेक्टिविटी द्वारा वर्णित किया जाता है।

टूट-फूट और दरारों का निर्माण विद्युत फ़्यूज़ के यादृच्छिक नेटवर्क द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है। जैसे ही नेटवर्क के माध्यम से विद्युत धारा का प्रवाह बढ़ता है, कुछ फ़्यूज़ पॉप हो सकते हैं, लेकिन कुल मिलाकर, समस्या वाले क्षेत्रों के आसपास विद्युत धारा प्रवाहित हो जाती है और समान रूप से वितरित हो जाती है। हालाँकि, एक निश्चित बिंदु पर (चरण संक्रमण पर) एक कैस्केड विफलता हो सकती है, जहां एक पॉप्ड फ्यूज से अतिरिक्त करंट अगले फ्यूज को ओवरलोड कर देता है, जब तक कि नेट के दोनों किनारे पूरी तरह से डिस्कनेक्ट नहीं हो जाते और कोई और करंट प्रवाहित नहीं होता।

ऐसे यादृच्छिक-नेटवर्क सिस्टम का विश्लेषण करने के लिए, सभी संभावित नेटवर्क (यानी, विहित पहनावा) के स्टोकेस्टिक स्थान पर विचार किया जाता है, और सभी संभावित नेटवर्क कॉन्फ़िगरेशन पर एक योग (एकीकरण) किया जाता है। पिछली चर्चा की तरह, प्रत्येक दिए गए यादृच्छिक कॉन्फ़िगरेशन को कुछ दिए गए संभाव्यता वितरण के साथ सभी कॉन्फ़िगरेशन के पूल से लिया गया समझा जाता है; वितरण में तापमान की भूमिका आमतौर पर नेटवर्क की औसत कनेक्टिविटी से बदल दी जाती है।

ऑपरेटरों के अपेक्षित मूल्य, जैसे प्रवाह की दर, ताप क्षमता, इत्यादि, सभी संभावित कॉन्फ़िगरेशनों को एकीकृत करके प्राप्त किए जाते हैं। सभी संभावित विन्यासों पर एकीकरण का यह कार्य सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रणालियों के बीच समानता का बिंदु है। विशेष रूप से, पुनर्सामान्यीकरण समूह की भाषा को यादृच्छिक नेटवर्क मॉडल की चर्चा पर लागू किया जा सकता है। 1990 और 2000 के दशक में, सांख्यिकीय मॉडल और अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के बीच मजबूत संबंध उजागर हुए थे। सार्वभौमिकता का अध्ययन अनुसंधान का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र बना हुआ है।

अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग

सांख्यिकीय यांत्रिकी (जैसे एन्ट्रापी और मास्टर समीकरण) की अन्य अवधारणाओं की तरह, सार्वभौमिकता ने उच्च स्तर पर वितरित प्रणालियों, जैसे कि मल्टी-एजेंट सिस्टम, को चिह्नित करने के लिए एक उपयोगी निर्माण साबित किया है। शब्द लागू किया गया है मल्टी-एजेंट सिमुलेशन के लिए, जहां सिस्टम द्वारा प्रदर्शित सिस्टम-स्तरीय व्यवहार व्यक्तिगत एजेंटों की जटिलता की डिग्री से स्वतंत्र होता है, जो लगभग पूरी तरह से उनकी बातचीत को नियंत्रित करने वाली बाधाओं की प्रकृति से प्रेरित होता है। नेटवर्क गतिशीलता में, सार्वभौमिकता इस तथ्य को संदर्भित करती है कि गैर-रेखीय गतिशील मॉडल की विविधता के बावजूद, जो कई विवरणों में भिन्न हैं, कई अलग-अलग प्रणालियों का मनाया गया व्यवहार सार्वभौमिक कानूनों के एक सेट का पालन करता है। ये कानून प्रत्येक प्रणाली के विशिष्ट विवरण से स्वतंत्र हैं।