सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली)

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, सार्वभौमिकता यह अवलोकन है जो कि प्रणाली के बड़े वर्ग के लिए गुण हैं जो प्रणाली की गतिशीलता (यांत्रिकी) विवरण से स्वतंत्र होते हैं। तथा प्रणाली स्केलिंग सीमा में सार्वभौमिकता प्रदर्शित करते हैं, जब बड़ी संख्या में इंटरैक्टिंग भाग के साथ आते हैं। इस शब्द का आधुनिक अर्थ 1960 के दशक में लियो कडानोफ़ द्वारा प्रस्तुत किया गया था, किंतु अवधारणा का सरल संस्करण पहले से ही वैन डेर वाल्स समीकरण और फेज ट्रांसिशन के पहले लैंडौ सिद्धांत में निहित था, जिसमें स्केलिंग को सही रूप से सम्मिलित नहीं किया गया था।

यह शब्द धीरे-धीरे गणित के अनेक क्षेत्रों में व्यापक उपयोग प्राप्त कर रहा है, जिसमें साहचर्य और संभाव्यता सिद्धांत सम्मिलित हैं, जब भी किसी संरचना की मात्रात्मक विशेषताओं (जैसे एसिम्प्टोटिक व्यवहार) प्रणाली का विवरण को ज्ञान की आवश्यकता के बिना, परिभाषा में दिखाई देने वाले कुछ वैश्विक मापदंडों से निकाला जा सकता है। .

पुनर्सामान्यीकरण समूह गणितीय रूप से गैर-कठोर होते हुए भी सार्वभौमिकता की सहज रूप से आकर्षक व्याख्या प्रदान करता है। यह सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत में ऑपरेटरों को प्रासंगिक और अप्रासंगिक में वर्गीकृत करता है। प्रासंगिक संचालक वे हैं जो मुक्त ऊर्जा, काल्पनिक समय लैग्रेंजियन में अस्पष्ट के लिए उत्तरदाई हैं, जो सातत्य सीमा को प्रभावित करेगा, और लंबी दूरी पर देखा जा सकता है। अप्रासंगिक ऑपरेटर वे हैं जो केवल कम दूरी के विवरण परिवर्तित करते हैं। स्केल-अपरिवर्तनीय सांख्यिकीय सिद्धांतों का संग्रह सार्वभौमिकता वर्ग को परिभाषित करता है, और प्रासंगिक ऑपरेटरों के गुणांक की परिमित-आयामी सूची निकट-महत्वपूर्ण व्यवहार को पैरामीट्रिज करती है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी में सार्वभौमिकता

सार्वभौमिकता की धारणा सांख्यिकीय यांत्रिकी में फेज ट्रांसिशन के अध्ययन से उत्पन्न हुई थी। फेज ट्रांसिशन तब होता है जब कोई सामग्री आकस्मिक विधि से अपने गुणों को परिवर्तित करती है: गर्म होने पर पानी उबलता है और वाष्प में परिवर्तित हो जाता है; या चुंबक गर्म होने पर अपना चुंबकत्व खो देता है। फेज ट्रांसिशन की विशेषता फेज ट्रांसिशन या ऑर्डर पैरामीटर, जैसे घनत्व या चुंबकीयकरण, द्वारा की जाती है, जो प्रणाली के पैरामीटर के कार्य के रूप में बदलता है, जैसे कि तापमान पैरामीटर का विशेष मान जिस पर प्रणाली अपना चरण बदलता है वह प्रणाली का महत्वपूर्ण बिंदु (थर्मोडायनामिक्स) है। उन प्रणालियों के लिए जो सार्वभौमिकता प्रदर्शित करती हैं, पैरामीटर अपने महत्वपूर्ण मान के अधिक समीप होता है, जिसमे ऑर्डर पैरामीटर उतना ही कम संवेदनशील रूप से प्रणाली के विवरण पर निर्भर करता है।

यदि पैरामीटर β मान β_c पर महत्वपूर्ण है, तो ऑर्डर पैरामीटर a को अच्छी तरह से अनुमानित किया जाएगा

$a=a_{0}\left\vert \beta -\beta _{c}\right\vert ^{\alpha }.$

प्रतिपादक α प्रणाली का महत्वपूर्ण प्रतिपादक है। जिसमे बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में की गई उल्लेखनीय खोज यह थी कि बहुत भिन्न प्रणालियों में समान आलोचनात्मक प्रतिपादक थे।

1975 में, मिशेल फेगेनबाम ने पुनरावृत्त मानचित्रों में सार्वभौमिकता की खोज की थी।

उदाहरण

सार्वभौमिकता को इसका नाम इसलिए मिला क्योंकि यह विभिन्न प्रकार की भौतिक प्रणालियों में देखी जाती है। सार्वभौमिकता के उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

• रेत के संग्रह में हिमस्खलन की संभावना हिमस्खलन के आकार के शक्ति-नियमित अनुपात में होती है, और हिमस्खलन सभी आकार के मापदंड पर होते देखे जाते हैं। इसे स्व-संगठित आलोचनात्मकता कहा जाता है।
• स्टील से लेकर चट्टान और कागज तक की सामग्रियों में दरारों और दरारों का बनना और फैलना। जिससे फटने की दिशा में भिन्नता, या खंडित सतह का खुरदरापन आकार के मापदंड के शक्ति-नियम अनुपात में होता है।
• डाइलेक्ट्रिक्स का विद्युत विघटन, जो दरारों और दरारों जैसा दिखता है।
• अव्यवस्थित मीडिया के माध्यम से तरल पदार्थों का रिसाव, जैसे कि खंडित रॉक बेड्स के माध्यम से पेट्रोलियम, या फिल्टर पेपर के माध्यम से पानी, जैसे क्रोमैटोग्राफी में पावर-लॉ स्केलिंग प्रवाह की दर को फ्रैक्चर के वितरण से जोड़ती है।
• समाधान (रसायन विज्ञान) में अणुओं का प्रसार, और प्रसार-सीमित एकत्रीकरण की घटना।
• समग्र मिश्रण में विभिन्न आकारों की चट्टानों का वितरण जिसे शेक किया जा रहा है (चट्टानों पर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के साथ)।
• एक फेज ट्रांसिशन के निकट तरल पदार्थों में क्रिटिकल ओपेलेसेंस की उपस्थिति है।

सैद्धांतिक अवलोकन

1970 और 1980 के दशक में सामग्री विज्ञान में महत्वपूर्ण विकासों में से यह अनुभव था कि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के समान सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत का उपयोग सार्वभौमिकता का सूक्ष्म सिद्धांत प्रदान करने के लिए किया जा सकता है। मुख्य अवलोकन यह था कि, सभी विभिन्न प्रणालियों के लिए, फेज ट्रांसिशन पर व्यवहार को सातत्य क्षेत्र द्वारा वर्णित किया गया है, और ही सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत विभिन्न प्रणालियों का वर्णन करेगा। इन सभी प्रणालियों में स्केलिंग प्रतिपादक अकेले क्षेत्र सिद्धांत से प्राप्त किए जा सकते हैं, और इन्हें महत्वपूर्ण प्रतिपादक के रूप में जाना जाता है।

मुख्य अवलोकन यह है कि फेज ट्रांसिशन या महत्वपूर्ण बिंदु (थर्मोडायनामिक्स) के पास, सभी आकार के मापदंड पर अस्पष्टता होती है, और इस प्रकार किसी को घटना का वर्णन करने के लिए स्पष्ट मापदंड -अपरिवर्तनीय सिद्धांत की खोज करनी चाहिए, जैसा कि औपचारिक सैद्धांतिक में रखा गया है सबसे पहले 1965 में वालेरी पोक्रोव्स्की और पटाशिंस्की द्वारा रूपरेखा . सार्वभौमिकता इस तथ्य का उप-उत्पाद है कि अपेक्षाकृत कम मापदंड -अपरिवर्तनीय सिद्धांत हैं। किसी विशिष्ट भौतिक प्रणाली के लिए, विस्तृत विवरण में अनेक मापदंड पर निर्भर पैरामीटर और पहलू हो सकते हैं। चूँकि जैसे-जैसे फेज ट्रांसिशन समीप आता है, मापदंड पर निर्भर पैरामीटर कम से कम महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और भौतिक विवरण के मापदंड -अपरिवर्तनीय भाग प्रभावित हो जाते हैं। इस प्रकार, महत्वपूर्ण बिंदु के निकट इन प्रणालियों के व्यवहार का अनुमान लगाने के लिए सरलीकृत और अधिकांशत: बिल्कुल हल करने योग्य मॉडल का उपयोग किया जा सकता है।

परकोलेशन को यादृच्छिक विद्युत अवरोधक नेटवर्क द्वारा मॉडल किया जा सकता है, जिसमें विद्युत् नेटवर्क के तरफ से दूसरी तरफ प्रवाहित होती है। नेटवर्क के समग्र प्रतिरोध को नेटवर्क में प्रतिरोधों की औसत कनेक्टिविटी द्वारा वर्णित किया जाता है।

टूट-फूट और दरारों का निर्माण विद्युत फ़्यूज़ के यादृच्छिक नेटवर्क द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है। जैसे ही नेटवर्क के माध्यम से विद्युत धारा का प्रवाह बढ़ता है, कुछ फ़्यूज़ पॉप हो सकते हैं, किंतु कुल मिलाकर, समस्या वाले क्षेत्रों के आसपास विद्युत धारा प्रवाहित हो जाती है और समान रूप से वितरित हो जाती है। चूँकि निश्चित बिंदु पर (फेज ट्रांसिशन पर) कैस्केड विफलता हो सकती है, जहां पॉप्ड फ्यूज से अतिरिक्त धारा अगले फ्यूज को ओवरलोड कर देता है, जब तक कि नेट के दोनों किनारे पूरी तरह से डिस्कनेक्ट नहीं हो जाते और कोई और धारा प्रवाहित नहीं होता है।

ऐसे यादृच्छिक-नेटवर्क प्रणाली का विश्लेषण करने के लिए, सभी संभावित नेटवर्क (अथार्त कैनोनिकल एन्सेम्बल ) के स्टोकेस्टिक स्थान पर विचार किया जाता है, और सभी संभावित नेटवर्क कॉन्फ़िगरेशन पर योग (एकीकरण) किया जाता है। पिछली विचार की तरह, प्रत्येक दिए गए यादृच्छिक कॉन्फ़िगरेशन को कुछ दिए गए संभाव्यता वितरण के साथ सभी कॉन्फ़िगरेशन के पूल से लिया गया समझा जाता है; वितरण में तापमान की भूमिका समान्यत: नेटवर्क की औसत कनेक्टिविटी से परिवर्तित कर दी जाती है।

ऑपरेटरों के अपेक्षित मान , जैसे प्रवाह की दर, ताप क्षमता, इत्यादि, सभी संभावित कॉन्फ़िगरेशनों को एकीकृत करके प्राप्त किए जाते हैं। सभी संभावित विन्यासों पर एकीकरण का यह कार्य सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रणालियों के मध्य समानता का बिंदु है। विशेष रूप से, पुनर्सामान्यीकरण समूह की भाषा को यादृच्छिक नेटवर्क मॉडल की विचार पर प्रयुक्त किया जा सकता है। 1990 और 2000 के दशक में, सांख्यिकीय मॉडल और अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के मध्य सशक्त संबंध प्रकाशित हुए थे। सार्वभौमिकता का अध्ययन अनुसंधान का महत्वपूर्ण क्षेत्र बना हुआ है।

अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग

सांख्यिकीय यांत्रिकी (जैसे एन्ट्रापी और मास्टर समीकरण) की अन्य अवधारणाओं की तरह, सार्वभौमिकता ने उच्च स्तर पर वितरित प्रणालियों, जैसे कि मल्टी-एजेंट सिस्टम, को चिह्नित करने के लिए उपयोगी निर्माण सिद्ध किया है। शब्द प्रयुक्त किया गया है मल्टी-एजेंट सिमुलेशन के लिए, जहां प्रणाली द्वारा प्रदर्शित सिस्टम-स्तरीय व्यवहार व्यक्तिगत एजेंटों की सम्मिश्र्ता की डिग्री से स्वतंत्र होता है, जो लगभग पूरी तरह से उनकी इंटरैक्शन को नियंत्रित करने वाली बाधाओं की प्रकृति से प्रेरित होता है। नेटवर्क गतिशीलता में, सार्वभौमिकता इस तथ्य को संदर्भित करती है कि गैर-रेखीय गतिशील मॉडल की विविधता के अतिरिक्त , जो अनेक विवरणों में भिन्न हैं, अनेक भिन्न-भिन्न प्रणालियों का मनाया गया व्यवहार सार्वभौमिक नियमो के सेट का पालन करता है। ये नियम प्रत्येक प्रणाली के विशिष्ट विवरण से स्वतंत्र हैं।