बीजगणितीय विविधता की घात

गणित में, एक एफ़िन विविधता या आयाम की प्रक्षेप्य विविधता की डिग्री n विविधता के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या है साथ n सामान्य स्थिति में हाइपरप्लेन। एक बीजगणितीय सेट के लिए, कई घटकों की संभावना के कारण, प्रतिच्छेदन बिंदुओं को उनकी बहुलता (गणित) # प्रतिच्छेदन बहुलता के साथ गिना जाना चाहिए। (अघुलनशील) किस्मों के लिए, यदि कोई बहुलता को ध्यान में रखता है और, एफ़िन मामले में, अनंत पर बिंदु, सामान्य स्थिति की परिकल्पना को बहुत कमजोर स्थिति से प्रतिस्थापित किया जा सकता है कि विविधता के प्रतिच्छेदन का आयाम शून्य है (वह) है, इसमें अंकों की एक सीमित संख्या होती है)। यह बेज़ाउट के प्रमेय का सामान्यीकरण है (प्रमाण के लिए, देखें Hilbert series and Hilbert polynomial § Degree of a projective variety and Bézout's theorem).

डिग्री विविधता की आंतरिक संपत्ति नहीं है, क्योंकि यह किसी एफ़िन या प्रोजेक्टिव स्पेस में विविधता के विशिष्ट एम्बेडिंग पर निर्भर करती है।

ऊनविम पृष्ठ की डिग्री उसके परिभाषित समीकरण की कुल डिग्री के बराबर होती है। बेज़ाउट के प्रमेय का एक सामान्यीकरण यह दावा करता है कि, यदि का एक प्रतिच्छेदन n प्रक्षेप्य हाइपरसर्फेस में कोडिमेशन होता है n, तो प्रतिच्छेदन की डिग्री हाइपरसर्फेस की डिग्री का उत्पाद है।

प्रक्षेप्य विविधता की डिग्री पर मूल्यांकन होता है 1इसके सजातीय समन्वय वलय की हिल्बर्ट श्रृंखला के अंश का। यह इस प्रकार है कि, विविधता के समीकरणों को देखते हुए, डिग्री की गणना इन समीकरणों के आदर्श (रिंग सिद्धांत) के ग्रोबनेर आधार से की जा सकती है।

परिभाषा

वी के लिए एक प्रक्षेप्य स्थान पी में एम्बेडेडⁿ और कुछ बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड K पर परिभाषित, V की डिग्री d, K पर परिभाषित V के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या है, सामान्य स्थिति में एक रैखिक उप-स्थान L के साथ, जैसे कि

$\dim(V)+\dim(L)=n.$

यहां dim(V) V की बीजगणितीय विविधता का आयाम है, और L का संहिताकरण उस आयाम के बराबर होगा। डिग्री d एक बाहरी मात्रा है, और V की संपत्ति के रूप में आंतरिक नहीं है। उदाहरण के लिए, प्रक्षेप्य रेखा में P में एक (अनिवार्य रूप से अद्वितीय) तर्कसंगत सामान्य वक्र हैⁿ.

गुण

हाइपरसरफेस F = 0 की डिग्री इसे परिभाषित करने वाले सजातीय बहुपद F के एकपदीय के समान है (माना जाता है कि यदि F में बार-बार कारक हैं, तो प्रतिच्छेदन सिद्धांत का उपयोग बहुलता (गणित) के साथ प्रतिच्छेदन की गणना करने के लिए किया जाता है, जैसा कि बेज़ाउट के प्रमेय में है) .

अन्य दृष्टिकोण

अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण के लिए, वी के एम्बेडिंग को परिभाषित करने वाले विभाजकों की रैखिक प्रणाली को खंडों के स्थान द्वारा एम्बेडिंग को परिभाषित करने वाली लाइन बंडल या उलटा शीफ ​​से संबंधित किया जा सकता है। पी पर कैनोनिकल लाइन बंडलⁿ वापस V की ओर खींचता है। डिग्री प्रथम चेर्न वर्ग निर्धारित करती है। डिग्री की गणना पी के कोहोमोलोजी रिंग में भी की जा सकती हैⁿ, या चाउ रिंग, एक हाइपरप्लेन के वर्ग के साथ V के वर्ग को उचित संख्या में काटता है।

बेज़ाउट के प्रमेय का विस्तार

डिग्री का उपयोग P में n हाइपरसर्फेस के प्रतिच्छेदन के लिए अपेक्षित तरीके से बेज़ाउट के प्रमेय को सामान्य बनाने के लिए किया जा सकता है।ⁿ.

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