संलग्न समीकरण

एक सहायक समीकरण एक रैखिक अंतर समीकरण है, जो आमतौर पर भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके इसके प्रारंभिक समीकरण से प्राप्त होता है। ब्याज की एक विशेष मात्रा के संबंध में क्रमिक मूल्यों की गणना सहायक समीकरण को हल करके कुशलतापूर्वक की जा सकती है। सहायक समीकरणों के समाधान पर आधारित विधियों का उपयोग पंख आकार अनुकूलन, प्रवाह नियंत्रण (द्रव) और अनिश्चितता मात्रा निर्धारण में किया जाता है।

उदाहरण: संवहन-प्रसार पीडीई

प्रारंभिक समाधान के लिए निम्नलिखित रैखिक, अदिश संवहन-प्रसार_समीकरण|अभिवहन-प्रसार समीकरण पर विचार करें $u({\vec {x}})$, डोमेन में $\Omega$ डिरिचलेट सीमा शर्तों के साथ:

${\begin{aligned}\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)&=f,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\u&=b,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}$

मान लीजिए कि ब्याज का आउटपुट निम्नलिखित रैखिक कार्यात्मक है:

$J(u)=\int _{\Omega }gu\ dV.$

प्रारंभिक समीकरण को वेटिंग फ़ंक्शन से गुणा करके कमजोर सूत्रीकरण प्राप्त करें $w({\vec {x}})$ और भागों द्वारा एकीकरण करना:

${\begin{aligned}B(u,w)&=L(w),\end{aligned}}$

कहाँ,

${\begin{aligned}B(u,w)&=\int _{\Omega }w\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV\\&=\int _{\partial \Omega }w\left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla w\cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV,\qquad {\text{(Integration by parts)}}\\L(w)&=\int _{\Omega }wf\ dV.\end{aligned}}$

फिर, एक अत्यंत सूक्ष्म गड़बड़ी पर विचार करें $L(w)$ जो कि एक अत्यंत सूक्ष्म परिवर्तन उत्पन्न करता है $u$ निम्नलिखित नुसार:

${\begin{aligned}B(u+u',w)&=L(w)+L'(w)\\B(u',w)&=L'(w).\end{aligned}}$

ध्यान दें कि समाधान गड़बड़ी $u'$ सीमा पर गायब हो जाना चाहिए, क्योंकि डिरिक्लेट सीमा की स्थिति में बदलाव की अनुमति नहीं है $\partial \Omega$.

उपरोक्त कमजोर रूप और जोड़ की परिभाषा का उपयोग करना $\psi ({\vec {x}})$ नीचे दिया गया:

${\begin{aligned}L'(\psi )&=J(u')\\B(u',\psi )&=J(u'),\end{aligned}}$

हमने प्राप्त:

${\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV&=\int _{\Omega }gu'\ dV.\end{aligned}}$

इसके बाद, डेरिवेटिव को स्थानांतरित करने के लिए भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करें $u'$ के व्युत्पन्न में $\psi$:

${\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\Omega }\nabla u'\cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }u'\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\qquad {\text{(Repeating integration by parts on diffusion volume term)}}\\\int _{\Omega }u'\left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]dV+\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA&=0.\end{aligned}}$

उपरोक्त अंतिम समीकरण से आसन्न पीडीई और इसकी सीमा की स्थिति का अनुमान लगाया जा सकता है। तब से $u'$ डोमेन के भीतर आम तौर पर गैर-शून्य होता है $\Omega$, यह आवश्यक है $\left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]$ शून्य हो जाओ $\Omega$, वॉल्यूम शब्द गायब होने के लिए। इसी तरह, प्रारंभिक प्रवाह के बाद से $\left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}$ सीमा पर आम तौर पर गैर-शून्य होता है, जिसकी हमें आवश्यकता होती है $\psi$ प्रथम सीमा पद के लुप्त होने के लिए वहां शून्य होना। चूंकि प्रारंभिक सीमा स्थिति की आवश्यकता होती है, इसलिए दूसरा सीमा शब्द तुच्छ रूप से गायब हो जाता है $u'=0$ सीमा पर.

इसलिए, सहायक समस्या इस प्रकार दी गई है:

${\begin{aligned}-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)&=g,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\\psi &=0,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}$

ध्यान दें कि संवहन पद संवहन वेग के चिह्न को उलट देता है ${\vec {c}}$ आसन्न समीकरण में, जबकि प्रसार पद स्व-संयुक्त रहता है।

यह भी देखें

• संयुक्त अवस्था विधि
• कोस्टेट समीकरण

संदर्भ

• Jameson, Antony (1988). "Aerodynamic Design via Control Theory". Journal of Scientific Computing. 3 (3): 233–260. doi:10.1007/BF01061285. S2CID 7782485.