संलग्न समीकरण

संलग्न समीकरण एक रैखिक अंतर समीकरण है, जो सामान्यतः भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके इसके प्रारंभिक समीकरण से प्राप्त होता है। ब्याज की विशेष मात्रा के संबंध में क्रमिक मूल्यों की गणना संलग्न समीकरण का समाधान कुशलतापूर्वक किया जा सकता है। संलग्न समीकरणों के समाधान पर आधारित विधियों का उपयोग पंख आकार अनुकूलन, प्रवाह नियंत्रण (द्रव) और अनिश्चितता मात्रा निर्धारण में किया जाता है।

उदाहरण: संवहन-प्रसार पीडीई

प्रारंभिक समाधान के लिए निम्नलिखित रैखिक, अदिश संवहन-प्रसार समीकरण $u({\vec {x}})$ पर विचार किया जाता है, डोमेन में $\Omega$ डिरिचलेट सीमा नियम के अनुसार है:

${\begin{aligned}\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)&=f,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\u&=b,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}$

मान लीजिए कि ब्याज का आउटपुट निम्नलिखित रैखिक कार्यात्मक है:

$J(u)=\int _{\Omega }gu\ dV.$

प्रारंभिक समीकरण को भारित फलन से गुणा करके वीक सूत्रीकरण $w({\vec {x}})$ प्राप्त किया जाता है और भागों द्वारा एकीकरण करना:

${\begin{aligned}B(u,w)&=L(w),\end{aligned}}$

जहाँ,

${\begin{aligned}B(u,w)&=\int _{\Omega }w\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV\\&=\int _{\partial \Omega }w\left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla w\cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV,\qquad {\text{(Integration by parts)}}\\L(w)&=\int _{\Omega }wf\ dV.\end{aligned}}$

फिर, अत्यंत सूक्ष्म व्यर्थता पर विचार किया जाता है $L(w)$ जो कि अत्यंत सूक्ष्म परिवर्तन उत्पन्न करता है $u$ के निम्नलिखित नुसार:

${\begin{aligned}B(u+u',w)&=L(w)+L'(w)\\B(u',w)&=L'(w).\end{aligned}}$

ध्यान दें कि समाधान व्यर्थता $u'$ सीमा पर विलुप्त हो जाना चाहिए, क्योंकि डिरिक्लेट सीमा $\partial \Omega$ की स्थिति में परिवर्तन की अनुमति नहीं है।

उपरोक्त वीक रूप और जोड़ $\psi ({\vec {x}})$ की परिभाषा का उपयोग करना नीचे दिया गया:

${\begin{aligned}L'(\psi )&=J(u')\\B(u',\psi )&=J(u'),\end{aligned}}$

प्राप्त किया गया:

${\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV&=\int _{\Omega }gu'\ dV.\end{aligned}}$

इसके पश्चात, डेरिवेटिव को स्थानांतरित करने के लिए भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग किया जाता है $u'$ के व्युत्पन्न में $\psi$:

${\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\Omega }\nabla u'\cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }u'\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\qquad {\text{(Repeating integration by parts on diffusion volume term)}}\\\int _{\Omega }u'\left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]dV+\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA&=0.\end{aligned}}$

उपरोक्त अंतिम समीकरण से आसन्न पीडीई और इसकी सीमा की स्थिति का अनुमान लगाया जा सकता है। तब से $u'$ डोमेन के भीतर सामान्यतः $\Omega$ अशून्य होता है, यह आवश्यक है कि आयतन शब्द विलुप्त होने के लिए $\left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]$ शून्य $\Omega$ हो। इसी प्रकार, प्रारंभिक प्रवाह के पश्चात से $\left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}$ सीमा पर सामान्यतः अशून्य होता है, जिसकी हमें आवश्यकता होती है प्रथम सीमा पद के लुप्त होने के लिए $\psi$ शून्य का होना। चूंकि प्रारंभिक सीमा स्थिति की आवश्यकता होती है, इसलिए दूसरा सीमा शब्द $u'=0$ महत्त्वहीन रूप से विलुप्त हो जाता है।

इसलिए, संलग्न समस्या इस प्रकार दी गई है:

${\begin{aligned}-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)&=g,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\\psi &=0,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}$

ध्यान दें कि संवहन पद संवहन वेग के चिह्न को परवर्तित कर देता है ${\vec {c}}$ आसन्न समीकरण में, जबकि प्रसार पद स्व-संलग्न रहता है।

यह भी देखें

• संलग्न अवस्था विधि
• कोस्टेट समीकरण

संदर्भ

• Jameson, Antony (1988). "Aerodynamic Design via Control Theory". Journal of Scientific Computing. 3 (3): 233–260. doi:10.1007/BF01061285. S2CID 7782485.