जिम्बल लॉक

जिम्बल ने हवाई जहाज को बंद कर दिया। जब पिच (हरा) और यॉ (मैजेंटा) गिंबल्स संरेखित हो जाते हैं, तो रोल (नीला) और यॉ में परिवर्तन हवाई जहाज पर समान घुमाव लागू करते हैं।

चौथी घूर्णी धुरी जोड़ने से जिम्बल लॉक की समस्या हल हो सकती है, लेकिन इसके लिए सबसे बाहरी रिंग को सक्रिय रूप से चलाने की आवश्यकता होती है ताकि यह आंतरिक धुरी (फ्लाईव्हील शाफ्ट) के साथ संरेखण से 90 डिग्री बाहर रहे। सबसे बाहरी रिंग की सक्रिय ड्राइविंग के बिना, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, सभी चार अक्ष एक विमान में संरेखित हो सकते हैं, जिससे फिर से जिम्बल लॉक हो जाएगा और रोल करने में असमर्थता होगी।

जिम्बल लॉक एक त्रि-आयामी, तीन-ड्रेडलॉक तंत्र में स्वतंत्रता (यांत्रिकी) की एक डिग्री का नुकसान है जो तब होता है जब तीन में से दो जिम्बल की कुल्हाड़ियों को एक समानांतर विन्यास में संचालित किया जाता है, जिससे सिस्टम को एक विकृत दो में ROTATION में लॉक कर दिया जाता है। -आयामी स्थान.

जिम्बल-लॉक शब्द इस अर्थ में भ्रामक हो सकता है कि कोई भी व्यक्तिगत जिम्बल वास्तव में प्रतिबंधित नहीं है। सभी तीन गिंबल्स अभी भी निलंबन के अपने संबंधित अक्षों के बारे में स्वतंत्र रूप से घूम सकते हैं। फिर भी, जिम्बल के दो अक्षों के समानांतर अभिविन्यास के कारण एक अक्ष के चारों ओर घूमने को समायोजित करने के लिए कोई जिम्बल उपलब्ध नहीं है, जिससे निलंबित वस्तु उस अक्ष के चारों ओर प्रभावी रूप से लॉक हो जाती है (यानी घूमने में असमर्थ)।

गिम्बल्स

Main article: Gimbal

जिम्बल एक अंगूठी है जिसे निलंबित कर दिया जाता है ताकि यह एक धुरी के चारों ओर घूम सके। कई अक्षों के चारों ओर घूमने को समायोजित करने के लिए गिंबल्स को आम तौर पर एक दूसरे के भीतर घोंसला बनाया जाता है।

वे जाइरोस्कोप और जड़त्वीय माप इकाइयों में दिखाई देते हैं ताकि आंतरिक जिम्बल के अभिविन्यास को स्थिर रखा जा सके जबकि बाहरी जिम्बल निलंबन किसी भी अभिविन्यास को मानता है। कम्पास और फ्लाईव्हील ऊर्जा भंडारण तंत्र में वे वस्तुओं को सीधा रहने की अनुमति देते हैं। इनका उपयोग रॉकेट इंजन को रॉकेट पर उन्मुख करने के लिए किया जाता है। गणित में कुछ समन्वय प्रणालियाँ ऐसे व्यवहार करती हैं जैसे कि कोणों को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले वास्तविक गिम्बल हों, विशेष रूप से यूलर कोण।

तीन या उससे कम नेस्टेड गिंबल्स के मामलों के लिए, जगह को कवर करना के गुणों के कारण सिस्टम में किसी बिंदु पर जिम्बल लॉक अनिवार्य रूप से होता है।

इंजीनियरिंग में

जबकि केवल दो विशिष्ट अभिविन्यास सटीक जिम्बल लॉक का उत्पादन करते हैं, व्यावहारिक यांत्रिक जिम्बल उन अभिविन्यासों के निकट कठिनाइयों का सामना करते हैं। जब जिम्बल का एक सेट लॉक कॉन्फ़िगरेशन के करीब होता है, तो जिम्बल प्लेटफ़ॉर्म के छोटे घुमावों के लिए आसपास के जिम्बल की बड़ी गति की आवश्यकता होती है। यद्यपि अनुपात केवल जिम्बल लॉक के बिंदु पर अनंत है, जिम्बल की व्यावहारिक गति और त्वरण सीमाएं - जड़ता (प्रत्येक जिम्बल रिंग के द्रव्यमान के परिणामस्वरूप), घर्षण के कारण, हवा या आसपास के अन्य तरल पदार्थ के प्रवाह प्रतिरोध के कारण होती हैं। गिम्बल्स (यदि वे निर्वात में नहीं हैं), और अन्य भौतिक और इंजीनियरिंग कारक- उस बिंदु के करीब प्लेटफ़ॉर्म की गति को सीमित करते हैं।

दो आयामों में

जिम्बल लॉक जिम्बल सिस्टम में स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ हो सकता है जैसे थिअडलिट एक दिगंश के बारे में घूर्णन और दो आयामों में ऊंचाई के साथ। ये प्रणालियाँ आंचल और दुर्लभ पर जिम्बल लॉक कर सकती हैं, क्योंकि उन बिंदुओं पर अज़ीमुथ अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, और अज़ीमुथ दिशा में घूमने से थियोडोलाइट जिस दिशा की ओर इशारा कर रहा है वह नहीं बदलता है।

क्षितिज से थियोडोलाइट की ओर उड़ रहे एक हेलीकॉप्टर पर नज़र रखने पर विचार करें। थियोडोलाइट एक दूरबीन है जो एक तिपाई पर लगाई जाती है ताकि यह हेलीकॉप्टर को ट्रैक करने के लिए अज़ीमुथ और ऊंचाई में घूम सके। हेलीकॉप्टर थियोडोलाइट की ओर उड़ता है और दूरबीन द्वारा ऊंचाई और अज़ीमुथ में ट्रैक किया जाता है। जब हेलीकॉप्टर दिशा बदलता है तो वह तिपाई के ठीक ऊपर उड़ता है (अर्थात यह चरम पर होता है) और 90 डिग्री पर अपने पिछले रास्ते पर उड़ता है। टेलीस्कोप एक या दोनों जिम्बल ओरिएंटेशन में निरंतर छलांग के बिना इस पैंतरेबाज़ी को ट्रैक नहीं कर सकता है। इसमें कोई निरंतर गति नहीं है जो इसे लक्ष्य का अनुसरण करने की अनुमति देती है। यह जिम्बल लॉक में है. तो आंचल के चारों ओर दिशाओं की अनंतता है जिसके लिए दूरबीन किसी लक्ष्य की सभी गतिविधियों को लगातार ट्रैक नहीं कर सकती है। ध्यान दें कि भले ही हेलीकॉप्टर आंचल से नहीं गुजरता है, लेकिन केवल आंचल के पास से गुजरता है, ताकि जिम्बल लॉक न हो, सिस्टम को अभी भी इसे ट्रैक करने के लिए असाधारण तेजी से आगे बढ़ना चाहिए, क्योंकि यह तेजी से एक बीयरिंग से दूसरे तक जाता है। निकटतम बिंदु आंचल के जितना करीब होगा, उतनी ही तेजी से यह किया जाना चाहिए, और यदि यह वास्तव में आंचल से गुजरता है, तो इन तेजी से बढ़ती गतिविधियों की सीमा असीम रूप से तेज हो जाती है, अर्थात् असंतत।

जिम्बल लॉक से उबरने के लिए उपयोगकर्ता को आंचल के चारों ओर जाना होगा - स्पष्ट रूप से: ऊंचाई को कम करें, लक्ष्य के दिगंश से मेल खाने के लिए दिगंश को बदलें, फिर लक्ष्य से मेल खाने के लिए ऊंचाई को बदलें।

गणितीय रूप से, यह इस तथ्य से मेल खाता है कि गोलाकार निर्देशांक आंचल और नादिर पर गोले पर एक समन्वय चार्ट को परिभाषित नहीं करते हैं। वैकल्पिक रूप से, संबंधित मानचित्र टी²→एस²टोरस्र्स टी से²गोले एस के लिए² (दिए गए अज़ीमुथ और ऊंचाई वाले बिंदु द्वारा दिया गया) इन बिंदुओं पर एक कवरिंग मानचित्र नहीं है।

तीन आयामों में

घूर्णन की 3 अक्षों के साथ जिम्बल। तीन गिंबल्स का एक सेट स्वतंत्रता की तीन डिग्री की अनुमति देने के लिए एक साथ लगाया गया: रोल, पिच और यॉ। जब दो गिंबल्स एक ही धुरी के चारों ओर घूमते हैं, तो सिस्टम स्वतंत्रता की एक डिग्री खो देता है।

सामान्य स्थिति: तीन गिम्बल स्वतंत्र हैं

जिम्बल लॉक: तीन में से दो जिम्बल एक ही तल में हैं, स्वतंत्रता की एक डिग्री खो गई है

उत्तर की ओर उड़ रहे एक विमान के लेवल-सेंसिंग प्लेटफॉर्म के मामले पर विचार करें, जिसके तीन जिम्बल अक्ष परस्पर लंबवत हैं (यानी, रोल (उड़ान), पिच (विमानन) और यॉ कोण कोण प्रत्येक शून्य)। यदि विमान 90 डिग्री ऊपर उठता है, तो विमान और प्लेटफ़ॉर्म का यॉ अक्ष जिम्बल रोल अक्ष जिम्बल के समानांतर हो जाता है, और यॉ के बारे में परिवर्तनों की भरपाई नहीं की जा सकती है।

समाधान

इस समस्या को मोटर द्वारा सक्रिय रूप से संचालित चौथे जिम्बल के उपयोग से दूर किया जा सकता है ताकि रोल और यॉ जिम्बल अक्षों के बीच एक बड़ा कोण बनाए रखा जा सके। एक अन्य समाधान यह है कि जिम्बल लॉक का पता चलने पर एक या अधिक जिम्बल को मनमानी स्थिति में घुमाया जाए और इस प्रकार डिवाइस को रीसेट किया जाए।

आधुनिक अभ्यास में जिम्बल के उपयोग से पूरी तरह बचना है। जड़त्वीय नेविगेशन प्रणालियों के संदर्भ में, यह जड़त्वीय सेंसरों को सीधे वाहन के शरीर पर स्थापित करके किया जा सकता है (इसे पट्टा खोलें सिस्टम कहा जाता है) और वाहन अभिविन्यास और वेग प्राप्त करने के लिए चार का समुदाय विधियों का उपयोग करके संवेदी घूर्णन और त्वरण को डिजिटल रूप से एकीकृत करना। जिम्बल को बदलने का दूसरा तरीका द्रव बीयरिंग या प्लवनशीलता कक्ष का उपयोग करना है।

अपोलो 11 पर

अपोलो 11 चंद्रमा मिशन में एक प्रसिद्ध जिम्बल लॉक घटना घटी। इस अंतरिक्ष यान पर, एक जड़त्वीय माप इकाई (आईएमयू) पर गिंबल्स का एक सेट इस्तेमाल किया गया था। इंजीनियरों को जिम्बल लॉक की समस्या के बारे में पता था लेकिन उन्होंने चौथे जिम्बल का उपयोग करने से इनकार कर दिया था। इस निर्णय के पीछे के कुछ तर्क निम्नलिखित उद्धरण से स्पष्ट हैं:

The advantages of the redundant gimbal seem to be outweighed by the equipment simplicity, size advantages, and corresponding implied reliability of the direct three degree of freedom unit.

— David Hoag, Apollo Lunar Surface Journal

उन्होंने एक संकेतक का उपयोग करके एक वैकल्पिक समाधान को प्राथमिकता दी जो 85 डिग्री पिच के करीब होने पर चालू हो जाएगा।

Near that point, in a closed stabilization loop, the torque motors could theoretically be commanded to flip the gimbal 180 degrees instantaneously. Instead, in the LM, the computer flashed a "gimbal lock" warning at 70 degrees and froze the IMU at 85 degrees

— Paul Fjeld, Apollo Lunar Surface Journal

गिम्बल्स को उनकी क्षमता से अधिक तेज़ चलाने की कोशिश करने के बजाय, सिस्टम ने बस हार मान ली और प्लेटफ़ॉर्म को फ्रीज कर दिया। इस बिंदु से, अंतरिक्ष यान को मैन्युअल रूप से जिम्बल लॉक स्थिति से दूर ले जाना होगा, और संदर्भ के रूप में सितारों का उपयोग करके प्लेटफ़ॉर्म को मैन्युअल रूप से पुन: व्यवस्थित करना होगा। लूनर मॉड्यूल के उतरने के बाद, कमांड मॉड्यूल पर सवार माइकल कोलिन्स (अंतरिक्ष यात्री) ने मजाक में कहा कि क्रिसमस के लिए मुझे चौथा जिम्बल भेजने के बारे में क्या ख्याल है?

रोबोटिक्स

फाउंड्री में काम करने वाला औद्योगिक रोबोट।

रोबोटिक्स में, जिम्बल लॉक को आमतौर पर कलाई फ्लिप के रूप में जाना जाता है, रोबोटिक हथियारों में ट्रिपल-रोल कलाई के उपयोग के कारण, जहां कलाई की तीन अक्ष, यॉ, पिच और रोल को नियंत्रित करती हैं, सभी एक सामान्य बिंदु से गुजरती हैं।

कलाई फ्लिप का एक उदाहरण, जिसे कलाई विलक्षणता भी कहा जाता है, जब रोबोट जिस पथ से यात्रा कर रहा होता है, उसके कारण रोबोट की कलाई की पहली और तीसरी धुरी एक पंक्ति में आ जाती है। फिर दूसरी कलाई की धुरी अंतिम प्रभावक के अभिविन्यास को बनाए रखने के लिए शून्य समय में 180° घूमने का प्रयास करती है। एक विलक्षणता का परिणाम काफी नाटकीय हो सकता है और रोबोट बांह, अंतिम प्रभावकारक और प्रक्रिया पर प्रतिकूल प्रभाव डाल सकता है।

रोबोटिक्स में विलक्षणताओं से बचने के महत्व ने औद्योगिक रोबोट और रोबोट सिस्टम के लिए अमेरिकी राष्ट्रीय मानक - सुरक्षा आवश्यकताओं को इसे दो या दो से अधिक रोबोट अक्षों के संरेख संरेखण के कारण होने वाली स्थिति के रूप में परिभाषित करने के लिए प्रेरित किया है जिसके परिणामस्वरूप अप्रत्याशित रोबोट गति और वेग होते हैं।

अनुप्रयुक्त गणित में

जिम्बल लॉक की समस्या तब प्रकट होती है जब कोई व्यावहारिक गणित में यूलर कोण का उपयोग करता है; 3 डी मॉडलिंग, जड़त्वीय मार्गदर्शन प्रणाली और वीडियो गेम जैसे 3डी कंप्यूटर प्रोग्राम के डेवलपर्स को इससे बचने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए।

औपचारिक भाषा में, जिम्बल लॉक होता है क्योंकि यूलर कोण से घूर्णन तक मानचित्र (टोपोलॉजिकल रूप से, 3-टोरस टी से)³वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान 'आरपी' के लिए³, जो त्रि-आयामी कठोर पिंडों के घूर्णन के स्थान के समान है, जिसे औपचारिक रूप से SO(3) नाम दिया गया है) प्रत्येक बिंदु पर एक स्थानीय होमियोमोर्फिज्म नहीं है, और इस प्रकार कुछ बिंदुओं पर रैंक (विभेदक टोपोलॉजी) है ( स्वतंत्रता की डिग्री) 3 से नीचे गिरनी चाहिए, जिस बिंदु पर जिम्बल लॉक होता है। यूलर कोण तीन संख्याओं का उपयोग करके त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किसी भी घूर्णन का संख्यात्मक विवरण देने का एक साधन प्रदान करते हैं, लेकिन न केवल यह विवरण अद्वितीय नहीं है, बल्कि कुछ ऐसे बिंदु भी हैं जहां लक्ष्य स्थान (घूर्णन) में प्रत्येक परिवर्तन को महसूस नहीं किया जा सकता है स्रोत स्थान (यूलर कोण) में परिवर्तन से। यह एक टोपोलॉजिकल बाधा है - 3-टोरस से 3-आयामी वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान तक कोई कवरिंग मानचित्र नहीं है; एकमात्र (गैर-तुच्छ) कवरिंग मानचित्र 3-गोले से है, जैसा कि चतुर्भुज के उपयोग में होता है।

तुलना करने के लिए, सभी अनुवाद (ज्यामिति) को तीन संख्याओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है $x$, $y$, और $z$, तीन लंबवत अक्षों के साथ तीन लगातार रैखिक आंदोलनों के उत्तराधिकार के रूप में $X$, $Y$ और $Z$ कुल्हाड़ियाँ यही बात घूर्णन के लिए भी लागू होती है: सभी घूर्णनों को तीन संख्याओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है $\alpha$, $\beta$, और $\gamma$, तीन अक्षों के चारों ओर तीन घूर्णी आंदोलनों के उत्तराधिकार के रूप में जो एक से दूसरे तक लंबवत हैं। रैखिक निर्देशांक और कोणीय निर्देशांक के बीच यह समानता यूलर कोणों को बहुत अंतर्ज्ञान (ज्ञान) बनाती है, लेकिन दुर्भाग्य से वे जिम्बल लॉक समस्या से ग्रस्त हैं।

यूलर कोणों के साथ स्वतंत्रता की एक डिग्री का नुकसान

3डी अंतरिक्ष में एक घूर्णन को कई तरीकों से मैट्रिक्स (गणित) के साथ संख्यात्मक रूप से दर्शाया जा सकता है। इनमें से एक प्रतिनिधित्व है:

${\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

जांचने लायक एक उदाहरण तब घटित होता है जब $\beta ={\tfrac {\pi }{2}}$. जानते हुए भी $\cos {\tfrac {\pi }{2}}=0$ और $\sin {\tfrac {\pi }{2}}=1$, उपरोक्त अभिव्यक्ति इसके बराबर हो जाती है:

${\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

मैट्रिक्स गुणन करना:

${\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\-\cos \alpha &\sin \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &0\\-\cos \alpha \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma &\cos \alpha \sin \gamma +\sin \alpha \cos \gamma &0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

और अंत में त्रिकोणमिति सूत्रों #कोण ​​योग और अंतर पहचान का उपयोग करना:

${\begin{aligned}R&={\begin{bmatrix}0&0&1\\\sin(\alpha +\gamma )&\cos(\alpha +\gamma )&0\\-\cos(\alpha +\gamma )&\sin(\alpha +\gamma )&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

के मूल्यों को बदलना $\alpha$ और $\gamma$ उपरोक्त मैट्रिक्स में समान प्रभाव हैं: घूर्णन कोण $\alpha +\gamma$ परिवर्तन होता है, लेकिन घूर्णन अक्ष बना रहता है $Z$ दिशा: मैट्रिक्स में अंतिम कॉलम और पहली पंक्ति नहीं बदलेगी। के लिए एकमात्र समाधान $\alpha$ और $\gamma$ विभिन्न भूमिकाओं को पुनः प्राप्त करना परिवर्तन है $\beta$.

X-Y-Z सम्मेलन का उपयोग करके उपर्युक्त यूलर कोणों द्वारा घुमाए गए हवाई जहाज की कल्पना करना संभव है। इस मामले में, पहला कोण - $\alpha$ पिच है. फिर यॉ को सेट किया जाता है ${\tfrac {\pi }{2}}$ और अंतिम घुमाव - द्वारा $\gamma$ - यह फिर से हवाई जहाज की पिच है। जिम्बल लॉक के कारण, इसने स्वतंत्रता की एक डिग्री खो दी है - इस मामले में रोल करने की क्षमता।

उपरोक्त X-Y-Z सम्मेलन की तुलना में यूलर कोणों का उपयोग करके मैट्रिक्स के साथ घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक और सम्मेलन चुनना भी संभव है, और कोणों के लिए अन्य भिन्नता अंतराल भी चुनना संभव है, लेकिन अंत में हमेशा कम से कम एक मान होता है जिसके लिए एक डिग्री स्वतंत्रता खो गई है.

जिम्बल लॉक समस्या यूलर कोणों को अमान्य नहीं बनाती है (वे हमेशा एक अच्छी तरह से परिभाषित समन्वय प्रणाली के रूप में काम करते हैं), लेकिन यह उन्हें कुछ व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए अनुपयुक्त बनाती है।

वैकल्पिक अभिविन्यास प्रतिनिधित्व

जिम्बल लॉक का कारण यूलर कोणों के आधार पर तीन अक्षीय घुमावों के रूप में गणना में अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व है। इसलिए एक संभावित समाधान किसी अन्य तरीके से अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करना है। यह एक रोटेशन मैट्रिक्स, एक चतुर्भुज (चतुर्भुज और स्थानिक रोटेशन देखें), या एक समान अभिविन्यास प्रतिनिधित्व के रूप में हो सकता है जो अभिविन्यास को तीन अलग और संबंधित मूल्यों के बजाय एक मूल्य के रूप में मानता है। ऐसे प्रतिनिधित्व को देखते हुए, उपयोगकर्ता ओरिएंटेशन को एक मूल्य के रूप में संग्रहीत करता है। परिवर्तन द्वारा उत्पन्न कोणीय परिवर्तनों को मापने के लिए, अभिविन्यास परिवर्तन को डेल्टा कोण/अक्ष रोटेशन के रूप में व्यक्त किया जाता है। क्रमिक परिवर्तनों में फ़्लोटिंग पॉइंट#सटीकता समस्याओं|फ़्लोटिंग-पॉइंट त्रुटि के संचय को रोकने के लिए परिणामी अभिविन्यास को फिर से सामान्यीकृत किया जाना चाहिए। मैट्रिक्स के लिए, परिणाम को पुनः सामान्य करने के लिए मैट्रिक्स को उसके ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स#निकटतम ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है। चतुष्कोणों के लिए, पुनः सामान्यीकरण के लिए इकाई चतुष्कोणों की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

• Charts on SO(3)
• Flight dynamics
• Grid north (ध्रुवीय अभियानों पर समतुल्य नौवहन समस्या)
• Inertial navigation system
• Motion planning
• Quaternions and spatial rotation

बाहरी संबंध

• Gimbal Lock - Explained at YouTube