वास्तविक संरचना

गणित में, एक सम्मिश्र संख्या सदिश समष्टि पर एक वास्तविक संरचना, दो वास्तविक संख्या सदिश समष्टि के सदिश समष्टि के सीधे योग में सम्मिश्र सदिश समष्टि को विघटित करने का एक तरीका है। ऐसी संरचना का प्रोटोटाइप स्वयं जटिल संख्याओं का क्षेत्र है, जिसे स्वयं पर एक जटिल सदिश स्थल माना जाता है और संयुग्मन फ़ंक्शन (गणित) के साथ $\sigma :{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }\,$, साथ $\sigma (z)={\bar {z}}$, विहित वास्तविक संरचना दे रहा है ${\mathbb {C} }\,$, वह है ${\mathbb {C} }={\mathbb {R} }\oplus i{\mathbb {R} }\,$.

संयुग्मन मानचित्र प्रतिरेखीय है: $\sigma (\lambda z)={\bar {\lambda }}\sigma (z)\,$ और $\sigma (z_{1}+z_{2})=\sigma (z_{1})+\sigma (z_{2})\,$.

वेक्टर स्थान

एक जटिल सदिश समष्टि V पर एक वास्तविक संरचना एक एंटीलीनियर इनवोल्यूशन (गणित) है $\sigma :V\to V$. एक वास्तविक संरचना एक वास्तविक उप-स्थान को परिभाषित करती है $V_{\mathbb {R} }\subset V$, इसका निश्चित स्थान और प्राकृतिक मानचित्र

$V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }\to V$

एक समरूपता है. इसके विपरीत कोई भी सदिश स्थान जो जटिलता है एक वास्तविक सदिश समष्टि की एक प्राकृतिक वास्तविक संरचना होती है।

पहला नोट यह है कि प्रत्येक जटिल स्थान V में मूल सेट के समान वैक्टर और स्केलर के प्रतिबंध को वास्तविक मानकर एक प्राप्ति प्राप्त की जाती है। अगर $t\in V\,$ और $t\neq 0$ फिर वेक्टर $t\,$ और $it\,$ V की प्राप्ति में रैखिक स्वतंत्रता हैं। इसलिए:

$\dim _{\mathbb {R} }V=2\dim _{\mathbb {C} }V$

स्वाभाविक रूप से, कोई वी को दो वास्तविक वेक्टर स्थानों, वी के वास्तविक और काल्पनिक भागों के प्रत्यक्ष योग के रूप में प्रस्तुत करना चाहेगा। ऐसा करने का कोई विहित तरीका नहीं है: इस तरह का विभाजन वी में एक अतिरिक्त 'वास्तविक संरचना' है। इसे निम्नानुसार पेश किया जा सकता है। होने देना $\sigma :V\to V\,$ ऐसा प्रतिरेखीय मानचित्र बनें $\sigma \circ \sigma =id_{V}\,$, यह जटिल स्थान V का एक एंटीलीनियर इन्वोल्यूशन है। कोई भी वेक्टर $v\in V\,$ लिखा जा सकता है ${v=v^{+}+v^{-}}\,$, कहाँ $v^{+}={1 \over {2}}(v+\sigma v)$ और $v^{-}={1 \over {2}}(v-\sigma v)\,$.

इसलिए, किसी को सदिश स्थानों का सीधा योग प्राप्त होता है $V=V^{+}\oplus V^{-}\,$ कहाँ:

$V^{+}=\{v\in V|\sigma v=v\}$ और $V^{-}=\{v\in V|\sigma v=-v\}\,$.

दोनों सेट $V^{+}\,$ और $V^{-}\,$ वास्तविक सदिश स्थान हैं। रेखीय मानचित्र $K:V^{+}\to V^{-}\,$, कहाँ $K(t)=it\,$, वास्तविक सदिश स्थानों की एक समरूपता है, जहां से:

$\dim _{\mathbb {R} }V^{+}=\dim _{\mathbb {R} }V^{-}=\dim _{\mathbb {C} }V\,$.

पहला कारक $V^{+}\,$ द्वारा भी निरूपित किया जाता है $V_{\mathbb {R} }\,$ और द्वारा अपरिवर्तनीय छोड़ दिया गया है $\sigma \,$, वह है $\sigma (V_{\mathbb {R} })\subset V_{\mathbb {R} }\,$. दूसरा कारक $V^{-}\,$ है आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $iV_{\mathbb {R} }\,$. सीधा योग $V=V^{+}\oplus V^{-}\,$ अब इस प्रकार पढ़ता है:

$V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,$,

यानी वास्तविक के प्रत्यक्ष योग के रूप में $V_{\mathbb {R} }\,$ और काल्पनिक $iV_{\mathbb {R} }\,$ वी के भाग। यह निर्माण दृढ़ता से जटिल वेक्टर स्पेस वी के एंटीलीनियर इनवोल्यूशन (गणित) की पसंद पर निर्भर करता है। वास्तविक वेक्टर स्पेस की जटिलता $V_{\mathbb {R} }\,$, अर्थात।,

$V^{\mathbb {C} }=V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,$ मानते हैं

एक प्राकृतिक वास्तविक संरचना और इसलिए इसकी दो प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के लिए विहित रूप से आइसोमोर्फिक है $V_{\mathbb {R} }\,$:

$V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,$.

यह एक प्राकृतिक रैखिक समरूपता का अनुसरण करता है $V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to V\,$ किसी दी गई वास्तविक संरचना के साथ जटिल वेक्टर स्थानों के बीच।

एक जटिल सदिश समष्टि V पर एक वास्तविक संरचना, जो एक एंटीलीनियर इनवोलुशन है $\sigma :V\to V\,$, रैखिक मानचित्र के संदर्भ में समान रूप से वर्णित किया जा सकता है ${\hat {\sigma }}:V\to {\bar {V}}\,$ सदिश स्थान से $V\,$ जटिल संयुग्मी सदिश समष्टि के लिए ${\bar {V}}\,$ द्वारा परिभाषित

$v\mapsto {\hat {\sigma }}(v):={\overline {\sigma (v)}}\,$.

बीजगणितीय विविधता

वास्तविक संख्याओं के फ़ील्ड विस्तार पर परिभाषित बीजगणितीय विविधता के लिए, वास्तविक संरचना जटिल प्रक्षेप्य या एफ़िन स्पेस में विविधता के बिंदुओं पर कार्य करने वाला जटिल संयुग्मन है। इसका निश्चित स्थान विविधता के वास्तविक बिंदुओं का स्थान है (जो खाली हो सकता है)।

योजना

वास्तविक संख्याओं के उपक्षेत्र पर परिभाषित एक योजना के लिए, जटिल संयुग्मन स्वाभाविक रूप से आधार क्षेत्र के बीजगणितीय समापन के गैलोज़ समूह का सदस्य है। वास्तविक संरचना के विस्तार पर इस संयुग्मन की गैलोज़ क्रिया है आधार क्षेत्र के बीजगणितीय समापन पर योजना। वास्तविक बिंदु वे बिंदु हैं जिनका अवशेष क्षेत्र निश्चित है (जो खाली हो सकता है)।

वास्तविकता संरचना

गणित में, एक जटिल सदिश समष्टि V पर एक वास्तविकता संरचना V का दो वास्तविक उप-स्थानों में अपघटन है, जिसे V का वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग कहा जाता है:

$V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.$

यहां वी_R V का एक वास्तविक उपसमष्टि है, अर्थात V का एक उपसमष्टि वास्तविक संख्याओं पर एक सदिश समष्टि के रूप में माना जाता है। यदि V का जटिल आयाम n (वास्तविक आयाम 2n) है, तो V_R वास्तविक आयाम n होना चाहिए।

वेक्टर स्पेस पर 'मानक वास्तविकता संरचना' $\mathbb {C} ^{n}$ विघटन है

$\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\oplus i\,\mathbb {R} ^{n}.$

वास्तविकता संरचना की उपस्थिति में, V में प्रत्येक वेक्टर का एक वास्तविक भाग और एक काल्पनिक भाग होता है, जिनमें से प्रत्येक V में एक वेक्टर होता है_R:

$v=\operatorname {Re} \{v\}+i\,\operatorname {Im} \{v\}$

इस मामले में, वेक्टर v के जटिल संयुग्म को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

${\overline {v}}=\operatorname {Re} \{v\}-i\,\operatorname {Im} \{v\}$

यह मानचित्र $v\mapsto {\overline {v}}$ एक एंटीलीनियर इनवोल्यूशन (गणित) है, यानी।

${\overline {\overline {v}}}=v,\quad {\overline {v+w}}={\overline {v}}+{\overline {w}},\quad {\text{and}}\quad {\overline {\alpha v}}={\overline {\alpha }}\,{\overline {v}}.$

इसके विपरीत, एक एंटीलीनियर इन्वोल्यूशन दिया गया है $v\mapsto c(v)$ एक जटिल सदिश समष्टि V पर, V पर एक वास्तविकता संरचना को निम्नानुसार परिभाषित करना संभव है। होने देना

$\operatorname {Re} \{v\}={\frac {1}{2}}\left(v+c(v)\right),$

और परिभाषित करें

$V_{\mathbb {R} }=\left\{\operatorname {Re} \{v\}\mid v\in V\right\}.$

तब

$V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.$

यह वास्तव में वास्तविक रैखिक संचालिका c के eigenspaces के रूप में V का अपघटन है। c के eigenvalues ​​+1 और −1 हैं, eigenspaces V के साथ_R और $i$में_R, क्रमश। आमतौर पर, ऑपरेटर सी को, ईजेनस्पेस अपघटन के बजाय, वी पर 'वास्तविकता संरचना' के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

• एंटीलीनियर मानचित्र
• विहित जटिल संयुग्मन मानचित्र
• जटिल सन्युग्म
• जटिल संयुग्म वेक्टर स्थान
• जटिलीकरण
• रैखिक जटिल संरचना
• रेखीय मानचित्र
• सेसक्विलिनियर फॉर्म
• स्पिनर कैलकुलस

संदर्भ

• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (antilinear maps are discussed in section 4.6).
• Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (antilinear maps are discussed in section 3.3).
• Penrose, Roger; Rindler, Wolfgang (1986), Spinors and space-time. Vol. 2, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-25267-6, MR 0838301