बोरेल उपसमूह

[[बीजगणितीय समूह]]ों के सिद्धांत में, बीजगणितीय समूह जी का एक बोरेल उपसमूह एक अधिकतम ज़ारिस्की टोपोलॉजी हल करने योग्य समूह बीजगणितीय उपसमूह है। उदाहरण के लिए, सामान्य रैखिक समूह जीएल में_n(n x n व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स), व्युत्क्रमणीय ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का उपसमूह एक बोरेल उपसमूह है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में महसूस किए गए समूहों के लिए, बोरेल उपसमूहों का एक एकल संयुग्मन वर्ग है।

जैक्स टिट्स के (बी,एन) जोड़ी वाले समूहों के सिद्धांत में, बोरेल उपसमूह सरल (अधिक सामान्यतः, रिडक्टिव समूह) बीजगणितीय समूहों की संरचना को समझने में दो प्रमुख सामग्रियों में से एक हैं। यहां समूह बी एक बोरेल उपसमूह है और एन बी में निहित अधिकतम टोरस का सामान्यीकरणकर्ता है।

यह धारणा आर्मंड बोरेल द्वारा प्रस्तुत की गई थी, जिन्होंने बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत के विकास में अग्रणी भूमिका निभाई थी।

परवलयिक उपसमूह

बोरेल उपसमूह बी और परिवेश समूह जी के बीच के उपसमूहों को 'परवलयिक उपसमूह' कहा जाता है। बीजगणितीय उपसमूहों के बीच, परवलयिक उपसमूहों P की भी विशेषता इस शर्त से होती है कि G/P एक पूर्ण विविधता है। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर काम करते हुए, बोरेल उपसमूह इस अर्थ में 'न्यूनतम परवलयिक उपसमूह' बन जाते हैं। इस प्रकार बी एक बोरेल उपसमूह है जब सजातीय स्थान जी/बी एक पूर्ण विविधता है जो जितना संभव हो उतना बड़ा है।

एक साधारण बीजगणितीय समूह जी के लिए, परवलयिक उपसमूहों के संयुग्मी वर्गों का सेट संबंधित डायनकिन आरेख के नोड्स के सभी सबसेट के सेट के साथ आक्षेप में है; बोरेल उपसमूह खाली सेट से मेल खाता है और जी स्वयं सभी नोड्स के सेट से मेल खाता है। (सामान्य तौर पर डायनकिन आरेख का प्रत्येक नोड एक सरल नकारात्मक रूट निर्धारित करता है और इस प्रकार जी का एक आयामी 'रूट समूह' होता है - नोड्स का एक उपसमूह इस प्रकार एक परवलयिक उपसमूह उत्पन्न करता है, जो बी और संबंधित नकारात्मक रूट समूहों द्वारा उत्पन्न होता है। इसके अलावा, कोई भी परवलयिक उपसमूह ऐसे परवलयिक उपसमूह से संयुग्मित होता है।)

उदाहरण

होने देना $G=GL_{4}(\mathbb {C} )$. एक बोरेल उपसमूह $B$ का $G$ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों का समुच्चय<ब्लॉककोट> है$\left\{A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:\det(A)\neq 0\right\}$और अधिकतम उचित परवलयिक उपसमूह $G$ युक्त $B$ <ब्लॉककोट> हैं$\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}$इसके अलावा, एक अधिकतम टोरस $B$ <ब्लॉककोट> है$\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}$यह बीजगणितीय टोरस के समरूपी है $(\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])$.

झूठ बीजगणित

Main article: Borel subalgebra

लाई बीजगणित के विशेष मामले के लिए ${\mathfrak {g}}$ कार्टन उपबीजगणित के साथ ${\mathfrak {h}}$, का एक आदेश सिद्धांत दिया गया ${\mathfrak {h}}$, बोरेल उपबीजगणित का प्रत्यक्ष योग है ${\mathfrak {h}}$ और भार स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत)। ${\mathfrak {g}}$ सकारात्मक वजन के साथ. का एक झूठ उपबीजगणित ${\mathfrak {g}}$ बोरेल उपबीजगणित युक्त को परवलयिक झूठ बीजगणित कहा जाता है।

यह भी देखें

• अतिशयोक्तिपूर्ण समूह
• कार्टन उपसमूह
• मिराबोलिक उपसमूह

संदर्भ

• A. Borel (2001). Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups. Providence RI: AMS. ISBN 0-8218-0288-7.
• J. Humphreys (1972). Linear Algebraic Groups. New York: Springer. ISBN 0-387-90108-6.
• Milne, J. S. (2017), Algebraic Groups: The Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field, Cambridge University Press, doi:10.1017/9781316711736, ISBN 978-1107167483, MR 3729270
• Gary Seitz (1991). "Algebraic Groups". In B. Hartley; et al. (eds.). Finite and Locally Finite Groups. pp. 45–70.

Specific

बाहरी संबंध

• Popov, V.L. (2001) [1994], "Parabolic subgroup", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Platonov, V.P. (2001) [1994], "Borel subgroup", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press