विन्यास समष्टि (गणित)

वृत्त पर बिंदुओं के सभी अव्यवस्थित युग्मों का विन्यास स्थान मोबियस पट्टी है।

गणित में, कॉन्फ़िगरेशन स्थान ऐसा निर्माण है जो भौतिकी में राज्य स्थान या चरण स्थान से निकटता से संबंधित है। भौतिकी में, इनका उपयोग उच्च-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु के रूप में पूरे सिस्टम की स्थिति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। गणित में, उनका उपयोग टोपोलॉजिकल स्पेस में स्थितियों के लिए बिंदुओं के संग्रह के असाइनमेंट का वर्णन करने के लिए किया जाता है। अधिक विशेष रूप से, गणित में कॉन्फ़िगरेशन स्थान कई गैर-टकराव वाले कणों के विशेष मामले में कॉन्फ़िगरेशन स्थान (भौतिकी)भौतिकी) के विशेष उदाहरण हैं।

परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $X$ और सकारात्मक पूर्णांक $n$, होने देना $X^{n}$ का कार्टेशियन उत्पाद हो $n$ की प्रतियाँ $X$, उत्पाद टोपोलॉजी से सुसज्जित। तब^वें (आदेश दिया गया) कॉन्फ़िगरेशन स्थान $X$जोड़ीवार अलग-अलग बिंदुओं के एन-टुपल्स का सेट है $X$:

$\operatorname {Conf} _{n}(X):=X^{n}\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\ {\text{ for some }}i\neq j\}.$

यह स्थान आम तौर पर शामिल होने से उप-स्थान टोपोलॉजी से संपन्न होता है $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ में $X^{n}$. इसे कभी-कभी निरूपित भी किया जाता है $F(X,n)$, $F^{n}(X)$, या ${\mathcal {C}}^{n}(X)$.

सममित समूह की स्वाभाविक समूह क्रिया (गणित) होती है $S_{n}$ में बिंदुओं पर $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ द्वारा दिए गए

${\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{aligned}}$

यह क्रिया उत्पन्न करती हैn^वें का अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्थान X,

$\operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n},$

जो उस क्रिया का कक्षीय स्थान है। अंतर्ज्ञान यह है कि यह क्रिया बिंदुओं के नाम भूल जाती है। कभी-कभी अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्थान को दर्शाया जाता है ${\mathcal {UC}}^{n}(X)$, $B_{n}(X)$, या $C_{n}(X)$. सभी पर अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्थानों का संग्रह $n$ अंतरिक्ष भागा है, और प्राकृतिक टोपोलॉजी के साथ आता है।

वैकल्पिक सूत्रीकरण

टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $X$ और परिमित समुच्चय $S$, का कॉन्फ़िगरेशन स्थान X द्वारा लेबल किए गए कणों के साथ S है

$\operatorname {Conf} _{S}(X):=\{f\mid f\colon S\hookrightarrow X{\text{ is injective}}\}.$

के लिए $n\in \mathbb {N}$, परिभाषित करना $\mathbf {n} :=\{1,2,\ldots ,n\}$. फिरn^{X' का विन्यास स्थान है $\operatorname {Conf} _{\mathbf {n} }(X)$, और इसे सरलता से दर्शाया गया है $\operatorname {Conf} _{n}(X)$.}

उदाहरण

• दो बिंदुओं के क्रमबद्ध विन्यास का स्थान $\mathbf {R} ^{2}$ वृत्त के साथ यूक्लिडियन 3-स्पेस के उत्पाद के लिए होमियोमोर्फिज्म है, अर्थात। $\operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}$.*अधिक सामान्यतः, दो बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्थान $\mathbf {R} ^{n}$ गोले की समरूपता है $S^{n-1}$.
• का कॉन्फ़िगरेशन स्थान $n$ में अंक $\mathbf {R} ^{2}$ का वर्गीकरण स्थान है $n$वां चोटी समूह (#चोटी समूहों से कनेक्शन देखें)।

चोटी समूहों से कनेक्शन

Main article: Braid group

n- जुड़ा हुआ स्थान टोपोलॉजिकल स्पेस पर स्ट्रैंड ब्रैड ग्रुप X है

$B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X)),$

का मौलिक समूह n^वें का अव्यवस्थित कॉन्फ़िगरेशन स्थान X.n-स्ट्रैंड प्योर ब्रैड ग्रुप ऑन X है

$P_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(X)).$

पहले अध्ययन किए गए ब्रैड समूह आर्टिन ब्रैड समूह थे $B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2}))$. जबकि उपरोक्त परिभाषा वह नहीं है जो एमिल आर्टिन ने दी थी, एडॉल्फ हर्विट्ज़ ने आर्टिन ब्रैड समूहों को आर्टिन की परिभाषा (1891 में) से काफी पहले जटिल विमान के कॉन्फ़िगरेशन स्थानों के मौलिक समूहों के रूप में परिभाषित किया था। यह इस परिभाषा और तथ्य से अनुसरण करता है $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ और $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ ईलेनबर्ग-मैकलेन प्रकार के स्थान हैं $K(\pi ,1)$, कि विमान का अव्यवस्थित विन्यास स्थान $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ आर्टिन ब्रैड समूह के लिए वर्गीकरण स्थान है, और $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ शुद्ध आर्टिन ब्रैड समूह के लिए वर्गीकरण स्थान है, जब दोनों को अलग समूह माना जाता है।

मैनिफोल्ड्स का कॉन्फ़िगरेशन स्थान

यदि मूल स्थान $X$ अनेक गुना है, इसके क्रमबद्ध विन्यास स्थान की शक्तियों के खुले उपस्थान हैं $X$ और इस प्रकार वे स्वयं अनेक हैं। अलग-अलग अव्यवस्थित बिंदुओं का कॉन्फ़िगरेशन स्थान भी कई गुना है, जबकि कॉन्फ़िगरेशन स्थान आवश्यक रूप से भिन्न नहीं है अव्यवस्थित बिंदु इसके बजाय कक्षीय गुना है।

कॉन्फ़िगरेशन स्पेस प्रकार का वर्गीकृत स्थान या (ठीक) मॉड्यूलि स्पेस है। विशेष रूप से, सार्वभौमिक बंडल है $\pi \colon E_{n}\to C_{n}$ जो तुच्छ बंडल का उप-बंडल है $C_{n}\times X\to C_{n}$, और जिसमें यह गुण है कि प्रत्येक बिंदु पर फाइबर होता है $p\in C_{n}$ का n तत्व उपसमुच्चय है $X$ पी द्वारा वर्गीकृत।

समरूप अपरिवर्तनीय

होमोटोपी प्रकार के कॉन्फ़िगरेशन स्थान होमोटोपी अपरिवर्तनीय नहीं हैं। उदाहरण के लिए, रिक्त स्थान $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})$ के किन्हीं दो भिन्न मानों के लिए समरूप समतुल्य नहीं हैं $m$: $\mathrm {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{0})$ के लिए खाली है $n\geq 2$, $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} )$ के लिए कनेक्ट नहीं है $n\geq 2$, $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ ईलेनबर्ग-मैकलेन प्रकार का स्थान है $K(\pi ,1)$, और $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})$ के लिए बस जुड़ा हुआ स्थान है $m\geq 3$.

यह खुला प्रश्न हुआ करता था कि क्या कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के उदाहरण थे जो होमोटोपी समकक्ष थे लेकिन गैर-होमोटॉपी समकक्ष कॉन्फ़िगरेशन स्थान थे: ऐसा उदाहरण केवल 2005 में रिकार्डो लोंगोनी और पाओलो साल्वाटोर द्वारा पाया गया था। उनके उदाहरण दो त्रि-आयामी लेंस स्थान और उनमें कम से कम दो बिंदुओं के विन्यास स्थान हैं। ये कॉन्फ़िगरेशन स्थान समरूप समतुल्य नहीं हैं, इसका पता मैसी उत्पादों द्वारा उनके संबंधित सार्वभौमिक आवरणों में लगाया गया था। सिंपली कनेक्टेड स्पेस क्लोज्ड मैनिफोल्ड्स के कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के लिए होमोटोपी इनवेरिएंस सामान्य रूप से खुला रहता है, और यह बेस फील्ड पर पकड़ बनाए रखने के लिए सिद्ध हुआ है। $\mathbf {R}$. कम से कम 4 आयाम की सीमा के साथ सरल रूप से जुड़े कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड का वास्तविक होमोटॉपी इनवेरिएंस भी साबित हुआ।

ग्राफ़ का कॉन्फ़िगरेशन स्थान

कुछ परिणाम ग्राफ़ (टोपोलॉजी) के कॉन्फ़िगरेशन स्थानों के लिए विशेष हैं। यह समस्या रोबोटिक्स और मोशन प्लानिंग से संबंधित हो सकती है: कोई कई रोबोटों को पटरियों पर रखने और उन्हें टकराव के बिना विभिन्न स्थितियों में ले जाने की कोशिश करने की कल्पना कर सकता है। ट्रैक ग्राफ़ के किनारों से मेल खाते हैं, रोबोट कणों से मेल खाते हैं, और सफल नेविगेशन उस ग्राफ़ के कॉन्फ़िगरेशन स्थान में पथ से मेल खाता है। किसी भी ग्राफ़ के लिए $\Gamma$, $\operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )$ ईलेनबर्ग-मैकलेन प्रकार का स्थान है $K(\pi ,1)$और विरूपण आयाम के सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स में वापस आ जाता है $b(\Gamma )$, कहाँ $b(\Gamma )$ डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) के शीर्षों की संख्या कम से कम 3 है। इसके अतिरिक्त, $\operatorname {UConf} _{n}(\Gamma )$ और $\operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )$ विरूपण गैर-सकारात्मक वक्रता में वापस आ जाता है | अधिकतम आयाम के गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार घनीय परिसर $\min(n,b(\Gamma ))$.

यांत्रिक लिंकेज का विन्यास स्थान

ग्राफ़ के साथ यांत्रिक लिंकेज के कॉन्फ़िगरेशन स्थान को भी परिभाषित किया गया है $\Gamma$ इसकी अंतर्निहित ज्यामिति। इस तरह के ग्राफ को आमतौर पर कठोर छड़ों और टिकाओं के संयोजन के रूप में निर्मित माना जाता है। इस तरह के लिंकेज के कॉन्फ़िगरेशन स्थान को उचित मीट्रिक से सुसज्जित यूक्लिडियन स्पेस में इसके सभी स्वीकार्य पदों की समग्रता के रूप में परिभाषित किया गया है। सामान्य लिंकेज का कॉन्फ़िगरेशन स्थान सहज मैनिफोल्ड है, उदाहरण के लिए, इससे बने तुच्छ प्लानर लिंकेज के लिए $n$ कठोर छड़ें उल्टे जोड़ों से जुड़ी होती हैं, विन्यास स्थान एन-टोरस है $T^{n}$. ऐसे विन्यास स्थानों में सबसे सरल विलक्षणता बिंदु यूक्लिडियन अंतरिक्ष द्वारा सजातीय द्विघात हाइपरसतह पर शंकु का उत्पाद है। लिंकेज के लिए ऐसा विलक्षणता बिंदु उभरता है जिसे दो उप-लिंकेज में विभाजित किया जा सकता है जैसे कि उनके संबंधित समापन बिंदु ट्रेस-पथ गैर-अनुप्रस्थ तरीके से प्रतिच्छेद करते हैं, उदाहरण के लिए लिंकेज जिसे संरेखित किया जा सकता है (यानी पूरी तरह से पंक्ति में मोड़ा जा सकता है)।

संघनन

कॉन्फ़िगरेशन स्थान $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ अलग-अलग बिंदुओं का गैर-कॉम्पैक्ट होता है, जिसके सिरे वहां होते हैं जहां बिंदु एक-दूसरे के करीब आते हैं (संगामी हो जाते हैं)। कई ज्यामितीय अनुप्रयोगों के लिए कॉम्पैक्ट स्पेस की आवश्यकता होती है, इसलिए कोई संकलन (गणित)गणित) करना चाहेगा $\operatorname {Conf} _{n}(X)$, यानी, इसे उपयुक्त गुणों के साथ कॉम्पैक्ट स्पेस के खुले उपसमुच्चय के रूप में एम्बेड करें। इस समस्या के लिए दृष्टिकोण राउल बॉट और क्लिफोर्ड टौब्स द्वारा दिए गए हैं, साथ ही विलियम फुल्टन (गणितज्ञ) और रॉबर्ट मैकफरसन (गणितज्ञ)।

यह भी देखें

• विन्यास स्थान (भौतिकी)
• राज्य अंतरिक्ष (भौतिकी)