डिराक ब्रैकेट

Not to be confused with ब्रा-केट नोटेशन, जिसे डिराक नोटेशन के नाम से भी जाना जाता है.

डिराक ब्रैकेट, जो पॉल डिराक द्वारा विकसित पॉइसन ब्रैकेट का सामान्यीकरण है, हैमिल्टनियन यांत्रिकी में द्वितीय श्रेणी की बाधाओं के साथ शास्त्रीय प्रणालियों का समाधान करने के लिए रचना की गई है, और इस प्रकार उन्हें विहित परिमाणीकरण से गुजरने की अनुमति मिल सके। यह डिरैक के हैमिल्टनियन यांत्रिकी के विकास का महत्वपूर्ण भाग है जिससे अधिक सामान्य लैग्रेंजियन यांत्रिकी को सुरुचिपूर्ण ढंग से संभाला जा सके; विशेष रूप से, जब बाधाएं हाथ में हों, जिससे स्पष्ट चर की संख्या गतिशील चर से अधिक हो। अधिक संक्षेप में, डिराक ब्रैकेट से निहित दो-रूप चरण स्थान में बाधा सतह पर सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड का प्रतिबंध है।

यह लेख मानक लैग्रेंजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी औपचारिकताओं से परिचित है, और विहित परिमाणीकरण से उनका संबंध मानता है। डिराक ब्रैकेट को संदर्भ में रखने के लिए डिराक की संशोधित हैमिल्टनियन औपचारिकता का विवरण भी संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है।

मानक हैमिल्टनियन प्रक्रिया की अपर्याप्तता

हैमिल्टनियन यांत्रिकी का मानक विकास कई विशिष्ट स्थितियों में अपर्याप्त है:

1. जब लैग्रेंजियन कम से कम निर्देशांक के वेग में अधिकतम रैखिक होता है;जिसका परिणामस्वरूप, विहित समन्वय की परिभाषा बाधा की ओर ले जाती है। यह डिराक ब्रैकेट का सहारा लेने का यह सबसे आम कारण है। उदाहरण के लिए, किसी भी फरमिओन्स के लिए लैग्रेंजियन (घनत्व) इस रूप का होता है।
2. जब गेज फिक्सिंग (या अन्य अभौतिक) स्वतंत्रता की डिग्री होती है जिसे ठीक करने की आवश्यकता होती है।
3. जब कोई अन्य बाधाएं होती हैं जिन्हें कोई चरण स्थान में प्रयुक्त करना चाहता है।

वेग में लैग्रेंजियन रैखिक का उदाहरण

शास्त्रीय यांत्रिकी में उदाहरण आवेश q और द्रव्यमान m वाला कण है जो मजबूत स्थिरांक, सजातीय लंबवत चुंबकीय क्षेत्र के साथ x - y विमान तक सीमित है , इसलिए फिर ताकत B के साथ z- दिशा में इंगित करता है ।

मापदंडों के उचित विकल्प के साथ इस प्रणाली के लिए लैग्रेंजियन है

$L={\tfrac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}+{\frac {q}{c}}{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}-V({\vec {r}}),$

कहाँ →A चुंबकीय क्षेत्र के लिए सदिश क्षमता है, →B; c निर्वात में प्रकाश की गति है; और V(→r) मनमाना बाह्य अदिश विभव है; कोई इसे आसानी से द्विघात मान सकता है x और y, व्यापकता के नुकसान के बिना। हम उपयोग करते हैं

${\vec {A}}={\frac {B}{2}}(x{\hat {y}}-y{\hat {x}})$

हमारी सदिश क्षमता के रूप में; यह z दिशा में समान और स्थिर चुंबकीय क्षेत्र B से मेल खाता है। यहां, टोपियाँ इकाई सदिशों को दर्शाती हैं। चूँकि, बाद में लेख में, उनका उपयोग क्वांटम मैकेनिकल ऑपरेटरों को उनके शास्त्रीय एनालॉग्स से अलग करने के लिए किया जाता है। उपयोग सन्दर्भ से स्पष्ट होना चाहिए।

स्पष्ट रूप से, लैग्रेंजियन यांत्रिकी न्यायसंगत है

$L={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})+{\frac {qB}{2c}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,$

जो गति के समीकरणों की ओर ले जाता है

$m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+{\frac {qB}{c}}{\dot {y}}$

$m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-{\frac {qB}{c}}{\dot {x}}.$

हार्मोनिक क्षमता के लिए, की ढाल V का ग्रेडिएंट केवल निर्देशांक के समान होता है −(x,y)।

अब, बहुत बड़े चुंबकीय क्षेत्र की सीमा में, qB/mc ≫ 1। फिर कोई साधारण सन्निकट लैग्रेन्जियन उत्पन्न करने के लिए गतिज शब्द को छोड़ सकता है,

$L={\frac {qB}{2c}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,$

गति के प्रथम-क्रम समीकरणों के साथ

${\dot {y}}={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}$

${\dot {x}}=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}~.$

ध्यान दें कि यह अनुमानित लैग्रेंजियन वेग में रैखिक है, जो उन स्थितियों में से है जिसके अनुसार मानक हैमिल्टनियन प्रक्रिया टूट जाती है। चूँकि इस उदाहरण को सन्निकटन के रूप में प्रेरित किया गया है, विचाराधीन लैग्रैन्जियन वैध है और लैग्रैन्जियन औपचारिकता में गति के लगातार समीकरणों की ओर ले जाता है।

चूँकि, हैमिल्टनियन प्रक्रिया का पालन करते हुए, निर्देशांक से जुड़े विहित क्षण अब हैं

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=-{\frac {qB}{2c}}y$

$p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}={\frac {qB}{2c}}x~,$

जो इस अभिप्राय में असामान्य हैं कि वे वेगों के व्युत्क्रमणीय नहीं हैं; इसके अतिरिक्त, वे निर्देशांक के कार्य होने के लिए बाध्य हैं: चार चरण-स्थान चर रैखिक रूप से निर्भर हैं, इसलिए परिवर्तनीय आधार अतिपूर्णता है।

लीजेंड्रे परिवर्तन तब हैमिल्टनियन का निर्माण करता है

$H(x,y,p_{x},p_{y})={\dot {x}}p_{x}+{\dot {y}}p_{y}-L=V(x,y).$

ध्यान दें कि इस "भोले" हैमिल्टनियन की संवेग पर कोई निर्भरता नहीं है , जिसका अर्थ है कि गति के समीकरण (हैमिल्टन के समीकरण) असंगत हैं।

हैमिल्टनियन प्रक्रिया टूट गई है। कोई व्यक्ति 4 -आयामी चरण स्थान के दो घटकों , जैसे y और p _y , को 2 आयामों के कम चरण स्थान तक हटाकर समस्या को ठीक करने का प्रयास कर सकता है, जो कभी-कभी निर्देशांक को क्षण के रूप में और कभी-कभी निर्देशांक के रूप में व्यक्त करता है। चूँकि , यह न तो कोई सामान्य और न ही कठोर समाधान है। यह स्थितियों की तह तक जाता है: विहित संवेग की परिभाषा से चरण स्थान (संवेग और निर्देशांक के बीच) पर बाधा का पता चलता है जिस पर कभी ध्यान नहीं दिया गया।

सामान्यीकृत हैमिल्टनियन प्रक्रिया

लैग्रेंजियन यांत्रिकी में, यदि प्रणाली में होलोनोमिक बाधाएं हैं, तो सामान्यतः उनके लिए लैग्रेंजियन में लैग्रेंज गुणक को जोड़ा जाता है। जब बाधाएं संतुष्ट हो जाती हैं तो अतिरिक्त शर्तें लापता हो जाती हैं, जिससे स्थिर कार्रवाई का मार्ग बाधा सतह पर होने के लिए मजबूर हो जाता है। इस स्थितियों में, हैमिल्टनियन औपचारिकता पर जाने से हैमिल्टनियन यांत्रिकी में चरण स्थान पर बाधा उत्पन्न होती है, किन्तु समाधान समान है।

आगे बढ़ने से पहले, 'अशक्त समानता' और 'मजबूत समानता' की धारणाओं को समझना उपयोगी है। चरण स्थान पर दो कार्य, f और g, अशक्त रूप से समान हैं यदि बाधाएं संतुष्ट होने पर वे समान हैं, किन्तु पूरे चरण स्थान में नहीं, दर्शाया गया है f ≈ g। यदि f और g बाधाओं के संतुष्ट होने से स्वतंत्र रूप से समान हैं, उन्हें दृढ़ता से समान, लिखित कहा जाता है f = g। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि, सही उत्तर प्राप्त करने के लिए, डेरिवेटिव या पॉइसन ब्रैकेट का मूल्यांकन करने से पहले किसी भी अशक्त समीकरण का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

नई प्रक्रिया इस प्रकार काम करती है, लैग्रेंजियन से प्रारंभ करें और सामान्य विधि से विहित संवेग को परिभाषित करें। उनमें से कुछ परिभाषाएँ उलटी नहीं हो सकती हैं और इसके अतिरिक्त चरण स्थान में बाधा देती हैं (जैसा कि ऊपर बताया गया है)। इस प्रकार उत्पन्न या समस्या की प्रारंभ से लगाए गए अवरोधों को 'प्राथमिक अवरोध' कहा जाता है। बाधाएँ, लेबल φ_j, अशक्त रूप से लापता हो जाना चाहिए, φ_j (p,q) ≈ 0।

इसके बाद, कोई भोला-भाला हैमिल्टनियन पाता है, H, लीजेंड्रे परिवर्तन के माध्यम से सामान्य विधि से, बिल्कुल उपरोक्त उदाहरण की तरह। ध्यान दें कि हैमिल्टनियन को हमेशा केवल q s और p s के फलन के रूप में लिखा जा सकता है, भले ही वेगों को संवेग के फलनों में उलटा न किया जा सके।

हैमिल्टनियन का सामान्यीकरण

डिराक का तर्क है कि हमें हैमिल्टनियन (कुछ सीमा तक लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि के अनुरूप) का सामान्यीकरण करना चाहिए

$H^{*}=H+\sum _{j}c_{j}\phi _{j}\approx H,$

जहां c_j स्थिरांक नहीं हैं किंतु निर्देशांक और संवेग के कार्य हैं। चूंकि यह नया हैमिल्टनियन निर्देशांक का सबसे सामान्य कार्य है और क्षणभंगुर हैमिल्टनियन के समान अशक्त है, H^* हैमिल्टनियन का संभवतः सबसे व्यापक सामान्यीकरण है जिससे δH * ≈ δH कब δφ_j ≈ 0 हो ।

c_j, और अधिक स्पष्ट करने के लिए , विचार करें कि मानक प्रक्रिया में भोले हैमिल्टनियन से गति के समीकरण कैसे प्राप्त किए जाते हैं। हैमिल्टनियन की भिन्नता को दो विधियों से विस्तारित करता है और उन्हें समान सेट करता है (दबे हुए सूचकांकों और योगों के साथ कुछ संक्षिप्त संकेतन का उपयोग करके):

$\delta H={\frac {\partial H}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta p\approx {\dot {q}}\delta p-{\dot {p}}\delta q~,$

जहां गति के यूलर-लैग्रेंज समीकरणों और विहित गति की परिभाषा को सरल बनाने के बाद दूसरी समानता कायम है। इस समानता से, हैमिल्टनियन औपचारिकता में गति के समीकरणों का अनुमान लगाया जाता है

$\left({\frac {\partial H}{\partial q}}+{\dot {p}}\right)\delta q+\left({\frac {\partial H}{\partial p}}-{\dot {q}}\right)\delta p=0~,$

जहां अशक्त समानता प्रतीक अब स्पष्ट रूप से प्रदर्शित नहीं होता है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार गति के समीकरण केवल अशक्त होते हैं। वर्तमान संदर्भ में, कोई केवल गुणांक निर्धारित नहीं कर सकता है δq और δp अलग से शून्य तक, क्योंकि भिन्नताएं कुछ सीमा तक बाधाओं द्वारा प्रतिबंधित हैं। विशेष रूप से, विविधताएं बाधा सतह के स्पर्शरेखा होनी चाहिए।

कोई इसका समाधान प्रदर्शित कर सकता है

$\sum _{n}A_{n}\delta q_{n}+\sum _{n}B_{n}\delta p_{n}=0,$

विविधताओं के लिए δq_n और δp_n बाधाओं द्वारा प्रतिबंधित Φ_j ≈ 0 (यह मानते हुए कि बाधाएं कुछ नियमित कार्य को संतुष्ट करती हैं) सामान्यतः है

$A_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial q_{n}}}$

$B_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial p_{n}}},$

जहां u_m मनमाने कार्य हैं।

इस परिणाम के प्रयोग से गति के समीकरण बन जाते हैं

${\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}-\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial q_{j}}}$

${\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}+\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial p_{j}}}$

$\phi _{j}(q,p)=0,$

जहां u_k निर्देशांक और वेग के कार्य हैं जिन्हें, सिद्धांत रूप में, उपरोक्त गति के दूसरे समीकरण से निर्धारित किया जा सकता है।

लैग्रेंजियन औपचारिकता और हैमिल्टनियन औपचारिकता के बीच लीजेंड्रे परिवर्तन को नए चर जोड़ने की मूल्य पर बचाया गया है।

संगति की शर्तें

यदि, पॉइसन ब्रैकेट का उपयोग करते समय गति के समीकरण अधिक कॉम्पैक्ट हो जाते हैं f तो निर्देशांक और संवेग का कुछ कार्य है

${\dot {f}}\approx \{f,H^{*}\}_{PB}\approx \{f,H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{f,\phi _{k}\}_{PB},$

यदि कोई मानता है कि पॉइसन ब्रैकेट के साथ u_k (वेग के कार्य) उपस्थित हैं; इससे कोई समस्या नहीं होती क्योंकि योगदान अशक्त रूप से लापता हो जाता है। अब, इस औपचारिकता को सार्थक बनाने के लिए कुछ स्थिरता की शर्तें हैं जिन्हें पूरा किया जाना चाहिए। यदि बाधाएं संतुष्ट होने वाली हैं, तो गति के उनके समीकरण अशक्त रूप से लापता हो जाने चाहिए, यानी हमें आवश्यकता है

${\dot {\phi _{j}}}\approx \{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.$

उपरोक्त से चार अलग-अलग प्रकार की स्थितियाँ उत्पन्न हो सकती हैं:

1. समीकरण जो स्वाभाविक रूप से गलत है, जैसे 1=0 ।
2. समीकरण जो संभवतः हमारे प्राथमिक अवरोधों में से किसी का उपयोग करने के बाद, समान रूप से सत्य है।
3. समीकरण जो हमारे निर्देशांक और संवेग पर नई बाधाएँ डालता है, किन्तु इससे स्वतंत्र है u_k।
4. समीकरण जो निर्दिष्ट करने का कार्य करता है u_k।

पहला स्थिति इंगित करता है कि प्रारंभिक लैग्रेंजियन गति के असंगत समीकरण देता है, जैसे L = q। दूसरा स्थिति कोई नया योगदान नहीं देता।

तीसरा स्थिति चरण स्थान में नई बाधाएँ देता है। इस विधि से प्राप्त बाधा को द्वितीयक बाधा कहा जाता है। द्वितीयक बाधा का पता चलने पर उसे विस्तारित हैमिल्टनियन में जोड़ना चाहिए और नई स्थिरता स्थितियों की जांच करनी चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप और भी अधिक बाधाएं उत्पन्न हो सकती हैं। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराएँ जब तक कोई और बाधा न रह जाए। प्राथमिक और द्वितीयक बाधाओं के बीच अंतर अधिक सीमा तक कृत्रिम है (अर्थात ही प्रणाली के लिए बाधा लैग्रेंजियन के आधार पर प्राथमिक या माध्यमिक हो सकती है), इसलिए यह लेख यहां से उनके बीच अंतर नहीं करता है। यह मानते हुए कि स्थिरता की स्थिति को तब तक दोहराया गया है जब तक कि सभी बाधाएँ नहीं मिल जातीं φ_jउन सभी को अनुक्रमित करेगा। ध्यान दें कि यह लेख किसी भी बाधा के लिए द्वितीयक बाधा का उपयोग करता है जो प्रारंभ में समस्या में नहीं थी या विहित संवेग की परिभाषा से ली गई थी; कुछ लेखक द्वितीयक बाधाओं, तृतीयक बाधाओं आदि के बीच अंतर करते हैं।

अंत में, अंतिम स्थिति ठीक करने में मदद करता है u_k। यदि, इस प्रक्रिया के अंत में, u_k पूरी प्रकार से निर्धारित नहीं हैं, तो इसका कारण है कि प्रणाली में स्वतंत्रता की अभौतिक (गेज) डिग्री हैं। बार सभी बाधाओं (प्राथमिक और माध्यमिक) को भोले हैमिल्टनियन में जोड़ दिया जाता है और स्थिरता की स्थिति के समाधान के लिए u_k को प्लग इन किया जाता है, परिणाम को कुल हैमिल्टनियन कहा जाता है।

u_k का निर्धारण

u_k को इस प्रकार के असमशीत रैखिक समीकरण का समाधान करना होगा

$\{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.$

जहां यह समीकरण कम से कम समाधान पर होना चाहिए, क्योंकि अन्यथा प्रारंभिक लैग्रेंजियन असंगत होगी; चूँकि, स्वतंत्रता की गेज डिग्री वाले प्रणाली में, समाधान अद्वितीय नहीं होगा। सबसे सामान्य समाधान इस प्रकार होता है

$u_{k}=U_{k}+V_{k},$

जहाँ U_k विशेष समाधान है और V_k सजातीय समीकरण का सबसे सामान्य समाधान है

$\sum _{k}V_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.$

सबसे सामान्य समाधान उपरोक्त सजातीय समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का रैखिक संयोजन होगा। रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों की संख्या की संख्या के समान होती है u_k (जो बाधाओं की संख्या के समान है) चौथे प्रकार की स्थिरता स्थितियों की संख्या घटाएं (पिछले उपधारा में)। यह प्रणाली में स्वतंत्रता की अभौतिक डिग्री की संख्या है। रैखिक स्वतंत्र समाधानों को लेबल करना V_k^a जहां सूचकांक a से चलती है 1 स्वतंत्रता की अभौतिक डिग्री की संख्या के लिए, स्थिरता की स्थिति का सामान्य समाधान रूप का है

$u_{k}\approx U_{k}+\sum _{a}v_{a}V_{k}^{a},$

जहां v_aसमय के पूरी तरह से विविध समय के अनुक्रम हैं। v_a का विभिन्न चयन गेज परिवर्तन का समर्थन करता है, और प्रणाली की भौतिक स्थिति को अपरिवर्तित छोड़ना चाहिए।

कुल हैमिल्टनियन

इस बिंदु पर, कुल हैमिल्टनियन का परिचय देना स्वाभाविक है

$H_{T}=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}+\sum _{a,k}v_{a}V_{k}^{a}\phi _{k}$

और जिसे यह नकारात्मकारीता से प्रदर्शित किया गया है

$H'=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}.$

चरण स्थान पर किसी फलन का समय विकास, f निर्धारित होता है, जहां PB हैमिल्टोनियन उपाधी को आंतरिक गुणरूप में व्यक्त करने के लिए उपयोग हो रहा है।

${\dot {f}}\approx \{f,H_{T}\}_{PB}.$

बाद में, विस्तारित हैमिल्टनियन प्रस्तुत किया जाता है। गेज-अवैशिष्ट (भौतिक रूप से मापनीय मात्राएँ) मात्राएँ के लिए, सभी हैमिल्टोनियन्स कोई भी समय के विकास को समान होना चाहिए, क्योंकि वे सभी अशक्त रूप से समरूप हैं। यह केवल गेज-अवैशिष्ट मात्राओं के लिए है कि भेद सामने आता है, जिन्हें महत्वपूर्ण होता है।

डिराक ब्रैकेट

ऊपर वह सब है जो डिरैक के संशोधित हैमिल्टोनियन प्रक्रिया में समीक्षा करने के लिए आवश्यक है। ऊपर वह सब है जो डिरैक के संशोधित हैमिल्टोनियन प्रक्रिया में समीक्षा करने के लिए आवश्यक है। यदि कोई सामान्य प्रणाली को प्रामाणिक रूप से परिमाणित करना चाहता है, तो उसे डिराक कोष्ठक की आवश्यकता होती है। डिराक कोष्ठक को परिभाषित करने से पहले, प्रथम श्रेणी और द्वितीय श्रेणी की बाधाओं को प्रस्तुत करने की आवश्यकता है।

हम फलन f(q, p) को संयोजन और शंकुतों का पहला वर्ग कहते हैं यदि इसका पोयसन ब्रैकेट सभी प्रतिबंधियों के साथ अशक्त रूप से शून्य है, अर्थात,

$\{f,\phi _{j}\}_{PB}\approx 0,$

प्रत्येक j के लिए। ध्यान दें कि एकमात्र मात्राएँ जो अशक्त रूप से शून्य हो जाती हैं, वे बाधाएँ φ_j हैं, और इसलिए जो कुछ भी अशक्त रूप से लापता हो जाता है वह दृढ़ता से बाधाओं के रैखिक संयोजन के समान होना चाहिए। कोई यह प्रदर्शित कर सकता है कि दो प्रथम श्रेणी मात्राओं का पॉइसन ब्रैकेट भी प्रथम श्रेणी होना चाहिए। प्रथम श्रेणी की बाधाएं पहले उल्लिखित स्वतंत्रता की अभौतिक डिग्री के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ी हुई हैं। अर्थात्, स्वतंत्र प्रथम श्रेणी बाधाओं की संख्या स्वतंत्रता की अभौतिक डिग्री की संख्या के समान है, और इसके अतिरिक्त, प्राथमिक प्रथम श्रेणी बाधाएं गेज परिवर्तन उत्पन्न करती हैं। डिराक ने आगे कहा कि सभी माध्यमिक प्रथम श्रेणी की बाधाएँ गेज परिवर्तनों के जनक हैं, जो गलत सिद्ध होती हैं; चूँकि, सामान्यतः कोई इस धारणा के अनुसार काम करता है कि इस उपचार का उपयोग करते समय सभी प्रथम श्रेणी की बाधाएं गेज परिवर्तन उत्पन्न करती हैं।

जब प्रथम श्रेणी के माध्यमिक अवरोधों को हैमिल्टनियन में अर्बिट्रे v_a के साथ डाला जाता है जैसा कि पहले कक्षा के प्राथमिक नियमों को जोड़कर कुल हैमिल्टनीअन पर पहुंचने के लिए, तो व्यापक हैमिल्टनीअन प्राप्त होता है। व्यापक हैमिल्टनीअन ने किसी भी गेज-आधीन परिमाणों के लिए सबसे सामान्य समय विकास प्रदान किया है, और वास्तव में संभवतः लैग्रेंजियन रूपवाद के उसके समीकरणों को विस्तारित कर सकता है।

डिराक ब्रैकेट परिचित करने के उद्देश्य से, दीर्घकालीन रूप से अधिक रुचिकर हैं द्वितीय कक्षाएं। द्वितीय कक्षाएं वे कक्षाएं हैं जिनके साथ कम से कम अन्य कक्षा के साथ ऐसा पॉयसन ब्रैकेट होता है जो असुन्य है।

उदाहरण के लिए, द्वितीय श्रेणी की बाधाओं पर विचार करें φ₁ और φ₂ जिसका पॉइसन ब्रैकेट बस स्थिरांक c है,

$\{\phi _{1},\phi _{2}\}_{PB}=c~.$

अब, मान लीजिए कि कोई विहित परिमाणीकरण को नियोजित करना चाहता है, तो चरण-अंतरिक्ष निर्देशांक ऑपरेटर बन जाते हैं जिनके कम्यूटेटर्स इनके क्लासिकल पॉयसन ब्रैकेट का iħ गुणा होता है। नए क्वांटम सुधारों को उत्पन्न करने वाली कोई क्रमबद्धता निर्गम न होने की मानक की अनुमान करते हुए, इससे यह संकेत है कि

$[{\hat {\phi }}_{1},{\hat {\phi }}_{2}]=i\hbar ~c,$

जहां हैट्स यह दिखाने के लिए हैं कि कक्षाएं ऑपरेटर्स पर हैं।

विहित परिमाणीकरण उपरोक्त रूपान्तरण संबंध देता है, किन्तु दूसरी ओर φ₁ और φ₂ ऐसी बाधाएं हैं जो भौतिक अवस्थाओं पर शून्य होनी चाहिए, चूँकि दाहिना हाथ शून्य नहीं हो सकता है। यह उदाहरण किसी प्रणाली की प्रतिबंधों का समर्थन करने वाले पॉयसन ब्रैकेट की कुछ सामान्यीकृतियों की आवश्यकता को सारांशित करता है, जो संगत क्वैंटाइज़ेशन प्रक्रिया की ओर ले जाती है। इस नए ब्रैकेट को व्यापक होना चाहिए, उसे उपाधारित करना चाहिए, जैसा कि पॉयसन ब्रैकेट करता है, प्रतिबिंबी होना चाहिए, पॉयसन ब्रैकेट की प्रकार जैकोबी पहचान को पूरा करना चाहिए, अयश्च सुचि के लिए पॉयसन ब्रैकेट की समानता करनी चाहिए, और उसके अतिरिक्त, किसी भी द्वितीय कक्षा प्रतिबंध के साथ किसी अन्य मात्रा का ब्रैकेट शून्य होना चाहिए।

इस बिंदु पर, द्वितीय कक्षाओं को चिह्नित किया जाएगा ${\tilde {\phi }}_{a}$। आव्युह को परिभाषित करें जिसके प्रविष्टियाँ हैं

$M_{ab}=\{{\tilde {\phi }}_{a},{\tilde {\phi }}_{b}\}_{PB}.$

इस स्थितियों में, चरण स्थान पर दो कार्यों का डिराक ब्रैकेट, f और g, परिभाषित किया जाता है

$\{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}-\sum _{a,b}\{f,{\tilde {\phi }}_{a}\}_{PB}M_{ab}^{-1}\{{\tilde {\phi }}_{b},g\}_{PB}~,$

जहाँ M⁻¹_ab दर्शाता है ab की प्रविष्टि M का व्युत्क्रम मैट्रिक्स। डिराक ने यह सिद्ध कर दिया M सदैव उलटा रहेगा।

यह जांचना सीधा है कि डिराक ब्रैकेट की उपरोक्त परिभाषा सभी वांछित गुणों को संतुष्ट करती है, और विशेष रूप से अंतिम, तर्क के लिए लापता हो जाती है जो द्वितीय श्रेणी की बाधा है।

कैनोनिकल क्वैंटाइज़ेशन को प्रतिबंधित हैमिल्टनीअन सिस्टम पर लागू करते समय, ऑपरेटर्स के कम्यूटेटर की जगह, उनके क्लासिकल दीराक ब्रैकेट का iħ गुणा होता है। क्योंकि दीराक ब्रैकेट प्रतिबंधों का समर्थन करता है, इसलिए किसी भी अशक्त समीकरण का उपयोग करने से पहले सभी ब्रैकेट का मूल्यांकन करने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि पॉयसन ब्रैकेट के साथ स्थितियों होता है।

ध्यान दें कि चूँकि बोसोनिक (ग्रासमैन सम) चर का पॉइसन ब्रैकेट स्वयं लापता हो जाना चाहिए, ग्रासमैन संख्या के रूप में दर्शाए गए फर्मियन के पॉइसन ब्रैकेट को लापता होने की आवश्यकता नहीं है। इसका कारण यह है कि फर्मियोनिक स्थितियों में विषम संख्या में द्वितीय श्रेणी की बाधाएं होना संभव है।

दिए गए उदाहरण पर चित्रण

उपर्युक्त उदाहरण पर वापस आते हैं, अनुभवहीन हैमिल्टनियन और दो प्राथमिक बाधाएँ हैं

$H=V(x,y)$

$\phi _{1}=p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y,\qquad \phi _{2}=p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}}x.$

इसलिए, विस्तारित हैमिल्टोनियन को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$H^{*}=V(x,y)+u_{1}\left(p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y\right)+u_{2}\left(p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}}x\right).$

अगला कदम स्थिरता की शर्तों को प्रयुक्त करना है {Φ_j, H^*}_PB ≈ 0, जो इस स्थितियों में बन जाता है

$\{\phi _{1},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{1},\phi _{j}\}_{PB}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+u_{2}{\frac {qB}{c}}\approx 0$

$\{\phi _{2},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{2},\phi _{j}\}_{PB}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-u_{1}{\frac {qB}{c}}\approx 0.$

ये द्वितीयक बाधाएँ नहीं हैं, किंतु ये ऐसी स्थितियाँ हैं जो u₁ और u₂ ठीक करने के लिए हैं। इसलिए, कोई दूसरी प्रतिबंधियाँ नहीं हैं और यह ऐसा पूरी प्रकार से निर्दिष्ट करता है कि कोई अभौतिक गुणमान नहीं हैं।

यदि कोई u₁ और u₂ के मानों के साथ प्लग इन करता है, तो कोई देख सकता है कि गति के समीकरण हैं

${\dot {x}}=\{x,H\}_{PB}+u_{1}\{x,\phi _{1}\}_{PB}+u_{2}\{x,\phi _{2}\}=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}$

${\dot {y}}={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}$

${\dot {p}}_{x}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial x}}$

${\dot {p}}_{y}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial y}},$

जो आत्मनिर्भर हैं और गति के लैग्रेंजियन समीकरणों से समरूप हैं।

साधारण गणना इसकी पुष्टि करती है कि φ₁ और φ₂ दूसरी प्रकार की प्रतिबंधियाँ हैं, क्योंकि

$\{\phi _{1},\phi _{2}\}_{PB}=-\{\phi _{2},\phi _{1}\}_{PB}={\frac {qB}{c}},$

इसलिए आव्युह ऐसी दिखती है

$M={\frac {qB}{c}}\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\right),$

जिसे आसानी से उलटा किया जा सकता है

$M^{-1}={\frac {c}{qB}}\left({\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}}\right)\quad \Rightarrow \quad M_{ab}^{-1}=-{\frac {c}{qB_{0}}}\varepsilon _{ab},$

यहाँ ε_ab लेवी-सिविटा प्रतीक है। इस प्रकार, डिराक कोष्ठक को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

$\{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}+{\frac {c\varepsilon _{ab}}{qB}}\{f,\phi _{a}\}_{PB}\{\phi _{b},g\}_{PB}.$

यदि कोई सदैव पॉइसन ब्रैकेट के अतिरिक्त डिराक ब्रैकेट का उपयोग करता है, तो बाधाओं को प्रयुक्त करने और अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करने के क्रम के बारे में कोई समस्या नहीं है, क्योंकि अशक्त रूप से शून्य किसी भी चीज का डिराक ब्रैकेट दृढ़ता से शून्य के समान होता है। इसका कारण यह है कि कोई व्यक्ति गति के सही समीकरण प्राप्त करने के लिए डायराक कोष्ठक के साथ सरल हैमिल्टनियन का उपयोग कर सकता है, जिसकी पुष्टि उपरोक्त समीकरणों पर आसानी से की जा सकती है।

प्रणाली को परिमाणित करने के लिए, सभी चरण स्थान चर के बीच डायराक ब्रैकेट की आवश्यकता होती है। इस प्रणाली के लिए गैर-लुप्त होने वाले डिराक ब्रैकेट हैं

$\{x,y\}_{DB}=-{\frac {c}{qB}}$

$\{x,p_{x}\}_{DB}=\{y,p_{y}\}_{DB}={\tfrac {1}{2}}$

चूँकि क्रॉस-टर्म लापता हो जाते हैं, और

$\{p_{x},p_{y}\}_{DB}=-{\frac {qB}{4c}}.$

इसलिए, विहित परिमाणीकरण का सही कार्यान्वयन रूपान्तरण संबंधों को निर्धारित करता है,

$[{\hat {x}},{\hat {y}}]=-i{\frac {\hbar c}{qB}}$

$[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=[{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i{\frac {\hbar }{2}}$

क्रॉस शर्तों के लुप्त होने के साथ, और

$[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=-i{\frac {\hbar qB}{4c}}~.$

इस उदाहरण में ∧x और ∧y के बीच गैर-लुप्त होने वाला कम्यूटेटर है, जिसका अर्थ है कि यह संरचना गैर-अनुवांशिक ज्यामिति निर्दिष्ट करती है। (चूंकि दोनों निर्देशांक आवागमन नहीं करते हैं, इसलिए x और y पद इनके लिए अनिश्चितता सिद्धांत होगा।)

हाइपरस्फेयर के लिए आगे का चित्रण

इसी प्रकार, हाइपरस्फीयर Sⁿ पर मुक्त गति के लिए, द n + 1 स्थानांतरों को बाधित किया जाता है, x_i xⁱ = 1। सादे गतिज लैग्रेंजियन से, यह स्पष्ट है कि उनके मोमेंटा उनके के साथ अनुप्रयुक्त होते हैं, x_i pⁱ = 0। इस प्रकार से संबंधित डिरैक ब्रैकेट्स को समाधान करना भी सरल है,

$\{x_{i},x_{j}\}_{DB}=0,$

$\{x_{i},p_{j}\}_{DB}=\delta _{ij}-x_{i}x_{j},$

$\{p_{i},p_{j}\}_{DB}=x_{j}p_{i}-x_{i}p_{j}~.$

(2n + 1) प्रतिबद्ध चरण-स्थानीय चर मानक (x_i, p_i) 2n अनिर्बंधित मानों की समानता में बहुत आसान दीराक ब्रैकेट का अनुसरण करते हैं, यदि कोई xs और p को प्रारंभिक रूप से दो प्रतिबद्धियों के माध्यम से हटा जाता है, जो सामान्य पॉइसन ब्रैकेट का अनुसरण करेगा। ये दीराक ब्रैकेट सरलता और शैली जोड़ते हैं, किन्तु इसके साथ ही (प्रतिबद्ध) चर-स्थानीय चर मानों की अत्यधिक संख्या की लागत पर होते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी वृत्त पर मुक्त गति के लिए, n = 1, के लिए x₁ ≡ z और उन्मूलन x₂ वृत्त बाधा से अप्रतिबंधित की प्राप्ति होती है

$L={\frac {1}{2}}{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}~,$

गति के समीकरणों के साथ

${\ddot {z}}=-z{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}=-z2E~,$

अधिकारी; चूँकि H = p²/2 = E देने वाले समकिट प्रणाली के लिए

${\dot {x}}^{i}=\{x^{i},H\}_{DB}=p^{i}~,$ :${\dot {p}}^{i}=\{p^{i},H\}_{DB}=x^{i}~p^{2}~,$

और इसके फलस्वरूप, तुरंत, अदृश्यता से, दोनों परिवर्तनों के लिए ओसिलेशन,

${\ddot {x}}^{i}=-x^{i}2E~.$

यह भी देखें

• विहित परिमाणीकरण
• हैमिल्टनियन यांत्रिकी
• पॉइसन ब्रैकेट
• मोयल ब्रैकेट
• प्रथम श्रेणी की बाधा
• द्वितीय श्रेणी की बाधाएँ
• लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत)
• सिम्पेक्टिक संरचना
• अतिपूर्णता