लाई अधि-बीजगणित

गणित में, ली सुपरबीजगणित Z को शामिल करने के लिए लाई बीजगणित का सामान्यीकरण है₂‑श्रेणीबद्ध बीजगणित। सैद्धांतिक भौतिकी में सुपरएलजेब्रा महत्वपूर्ण हैं जहां उनका उपयोग अतिसममिति के गणित का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इनमें से अधिकांश सिद्धांतों में, सुपरबीजगणित के सम तत्व बोसॉन के अनुरूप होते हैं और विषम तत्व फरमिओन्स के अनुरूप होते हैं (लेकिन यह हमेशा सच नहीं होता है; उदाहरण के लिए, सर्वोत्तम सुपरसममेट्री इसका दूसरा तरीका है)।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, ली सुपरबीजगणित गैर-सहयोगी Z है₂-ग्रेडेड बीजगणित, या सुपरबीजगणित, क्रमविनिमेय रिंग (आमतौर पर 'आर' या 'सी') पर जिसका उत्पाद [···], जिसे 'लाइ सुपरब्रैकेट' कहा जाता है या सुपरकम्यूटेटर, दो स्थितियों को संतुष्ट करता है (ग्रेडिंग के साथ सामान्य लाई बीजगणित सिद्धांतों के अनुरूप):

सुपर तिरछा-समरूपता:

$[x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\$

सुपर जैकोबी पहचान:

$(-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,$

जहां x, y, और z 'Z' में शुद्ध हैं₂-ग्रेडिंग। यहाँ, |x| x की डिग्री को दर्शाता है (या तो 0 या 1)। [x,y] की डिग्री x और y मॉड्यूलो 2 की डिग्री का योग है।

कोई कभी-कभी स्वयंसिद्ध भी जोड़ता है $[x,x]=0$ |x| के लिए = 0 (यदि 2 उलटा है तो यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है) और $[[x,x],x]=0$ |x| के लिए = 1 (यदि 3 उलटा है तो यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है)। जब ग्राउंड रिंग पूर्णांक होती है या ली सुपरएल्जेब्रा स्वतंत्र मॉड्यूल होता है, तो ये स्थितियाँ उस स्थिति के बराबर होती हैं जो पोंकारे-बिरखॉफ़-विट प्रमेय रखती हैं (और, सामान्य तौर पर, वे प्रमेय को धारण करने के लिए आवश्यक शर्तें हैं)।

लाई बीजगणित की ही तरह, लाई सुपरबीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित को हॉपफ बीजगणित संरचना दी जा सकती है।

एक श्रेणीबद्ध झूठ बीजगणित (मान लीजिए, 'जेड' या 'एन' द्वारा वर्गीकृत) जो कि एंटीकम्यूटेटिव है और श्रेणीबद्ध अर्थ में जैकोबी के पास भी है $Z_{2}$ ग्रेडिंग (जिसे बीजगणित को विषम और सम भागों में रोल करना कहा जाता है), लेकिन इसे सुपर नहीं कहा जाता है। चर्चा के लिए ग्रेडेड लाई बीजगणित#नोट-0 देखें।

गुण

होने देना ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ झूठ सुपरबीजगणित बनें। जैकोबी पहचान का निरीक्षण करने पर, कोई यह देख सकता है कि आठ मामले हैं जो इस बात पर निर्भर करते हैं कि तर्क सम हैं या विषम। ये चार वर्गों में आते हैं, जिन्हें विषम तत्वों की संख्या के आधार पर अनुक्रमित किया जाता है:

1. कोई विषम तत्व नहीं. बयान बस इतना ही है ${\mathfrak {g}}_{0}$ सामान्य झूठ बीजगणित है.
2. एक अजीब तत्व. तब ${\mathfrak {g}}_{1}$ है ${\mathfrak {g}}_{0}$-कार्रवाई के लिए मॉड्यूल $\mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}$.
3. दो विषम तत्व. जैकोबी पहचान कहती है कि ब्रैकेट ${\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}$ सममिति है ${\mathfrak {g}}_{1}$-नक्शा।
4. तीन विषम तत्व. सभी के लिए $b\in {\mathfrak {g}}_{1}$, $[b,[b,b]]=0$.

इस प्रकार सम उपबीजगणित ${\mathfrak {g}}_{0}$ जैसे ही सभी चिह्न गायब हो जाते हैं, झूठ सुपरबीजगणित (सामान्य) झूठ बीजगणित बनाता है, और सुपरब्रैकेट सामान्य झूठ ब्रैकेट बन जाता है, जबकि ${\mathfrak {g}}_{1}$ के झूठ बीजगणित का प्रतिनिधित्व है ${\mathfrak {g}}_{0}$, और वहां सममिति मौजूद है ${\mathfrak {g}}_{0}$-समतुल्य रेखीय मानचित्र $\{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}$ ऐसा है कि,

$[\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.$

स्थितियाँ (1)-(3) रैखिक हैं और सभी को सामान्य लाई बीजगणित के संदर्भ में समझा जा सकता है। शर्त (4) अरैखिक है, और सामान्य लाई बीजगणित से शुरू करके लाई सुपरबीजगणित का निर्माण करते समय इसे सत्यापित करना सबसे कठिन है (${\mathfrak {g}}_{0}$) और प्रतिनिधित्व (${\mathfrak {g}}_{1}$).

आक्रमण

ए^∗ ली सुपरएल्जेब्रा जटिल लाई सुपरएल्जेब्रा है जो अपने आप में इनवोल्यूशन (गणित) प्रतिरेखीय मानचित्र से सुसज्जित है जो Z का सम्मान करता है₂ ग्रेडिंग और संतुष्ट करता है

[एक्स,वाई]^*=[y^*,x^*] ली सुपरबीजगणित में सभी x और y के लिए। (कुछ लेखक सम्मेलन को पसंद करते हैं [x,y]^*=(−1)^|x||y|[y^*,x^*]; दो सम्मेलनों के बीच * को −* में बदलना।) इसका सार्वभौमिक आवरण बीजगणित साधारण तारा-बीजगणित होगा|^*-बीजगणित.

उदाहरण

किसी भी सहयोगी सुपरबीजगणित को देखते हुए $A$ कोई सजातीय तत्वों के सुपर कंप्यूटर को परिभाषित कर सकता है

$[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\$

और फिर सभी तत्वों तक रैखिकता द्वारा विस्तार करना। बीजगणित $A$ सुपरकम्यूटेटर के साथ मिलकर यह लाई सुपरबीजगणित बन जाता है। इस प्रक्रिया का सबसे सरल उदाहरण शायद कब है $A$ सभी रैखिक फलनों का स्थान है $\mathbf {End} (V)$ सुपर वेक्टर स्पेस का $V$ खुद को। कब $V=\mathbb {K} ^{p|q}$, इस स्थान को इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $M^{p|q}$ या $M(p|q)$. उपरोक्त लाई ब्रैकेट के साथ, स्थान दर्शाया गया है ${\mathfrak {gl}}(p|q)$.

होमोटॉपी समूहों पर व्हाइटहेड उत्पाद पूर्णांकों पर लाई सुपरएल्जेब्रा के कई उदाहरण देता है।

सुपर-पोंकारे बीजगणित फ्लैट सुपरस्पेस की आइसोमेट्री उत्पन्न करता है।

वर्गीकरण

सरल जटिल परिमित-आयामी लाई सुपरएलजेब्रा को विक्टर काक द्वारा वर्गीकृत किया गया था।

वे हैं (लाई बीजगणित को छोड़कर):

विशेष रैखिक झूठ सुपरबीजगणित ${\mathfrak {sl}}(m|n)$.

झूठ सुपरबीजगणित ${\mathfrak {sl}}(m|n)$ का उपबीजगणित है ${\mathfrak {gl}}(m|n)$ सुपर ट्रेस शून्य के साथ मैट्रिक्स से मिलकर। यह सरल है जब $m\not =n$. अगर $m=n$, फिर पहचान मैट्रिक्स $I_{2m}$एक आदर्श उत्पन्न करता है. इस आदर्श को उद्धृत करने से पता चलता है ${\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle$ जो कि सरल है $m\geq 2$.

ऑर्थोसिम्पलेक्टिक झूठ सुपरबीजगणित ${\mathfrak {osp}}(m|2n)$.

एक सम, गैर-पतित, सुपरसिमेट्रिक बिलिनियर रूप पर विचार करें $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ पर $\mathbb {C} ^{m|2n}$. फिर ऑर्थोसिम्पलेक्टिक लाई सुपरएलजेब्रा का उपबीजगणित है ${\mathfrak {gl}}(m|2n)$ ऐसे मैट्रिक्स से मिलकर जो इस फॉर्म को अपरिवर्तनीय छोड़ देते हैं:

$${\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.$$

इसका सम भाग किसके द्वारा दिया गया है? ${\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)$.

असाधारण लाई सुपरबीजगणित $D(2,1;\alpha )$.

एक पैरामीटर के आधार पर (9∣8)-आयामी लाई सुपरएल्जेब्रा का परिवार है $\alpha$. ये की विकृतियाँ हैं $D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)$. अगर $\alpha \not =0$ और $\alpha \not =-1$, तो D(2,1,α) सरल है। इसके अतिरिक्त $D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )$ अगर $\alpha$ और $\beta$ मानचित्रों के अंतर्गत ही कक्षा के अंतर्गत हैं $\alpha \mapsto \alpha ^{-1}$ और $\alpha \mapsto -1-\alpha$.

असाधारण लाई सुपरबीजगणित $F(4)$.

इसका आयाम (24|16) है। इसका सम भाग किसके द्वारा दिया गया है? ${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)$.

असाधारण लाई सुपरबीजगणित $G(3)$.

इसका आयाम (17|14) है। इसका सम भाग किसके द्वारा दिया गया है? ${\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}$.

वहाँ भी दो तथाकथित अजीब श्रृंखला कहा जाता है ${\mathfrak {pe}}(n)$ और ${\mathfrak {q}}(n)$.

कार्टन प्रकार. इन्हें चार परिवारों में विभाजित किया जा सकता है: $W(n)$, $S(n)$, ${\widetilde {S}}(2n)$ और $H(n)$. कार्टन प्रकार के सरल लाई सुपरएलजेब्रा के लिए, सम भाग की क्रिया के तहत विषम भाग अब पूरी तरह से कम करने योग्य नहीं है।

अनंत-आयामी सरल रैखिक रूप से कॉम्पैक्ट झूठ सुपरएल्जेब्रा का वर्गीकरण

वर्गीकरण में 10 श्रृंखलाएँ शामिल हैं W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, ' 'एम) (एम ≥ 3), केओ(एम, एम + 1), एसकेओ(एम, एम + 1; β) (एम ≥ 2 ), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3) और पांच असाधारण बीजगणित:

ई(1, 6), ई(5, 10), ई(4, 4), ई(3, 6), ई(3, 8)

अंतिम दो विशेष रूप से दिलचस्प हैं (Kac के अनुसार) क्योंकि उनके पास मानक मॉडल गेज समूह SU(3)×SU(2)×U(1) उनके शून्य स्तर बीजगणित के रूप में है। सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत में अनंत-आयामी (एफ़िन) झूठ सुपरबीजगणित महत्वपूर्ण समरूपताएं हैं। विशेष रूप से, विरासोरो बीजगणित के साथ ${\mathcal {N}}$ सुपरसिमेट्रीज़ हैं $K(1,{\mathcal {N}})$ जिनका केवल केंद्रीय विस्तार है ${\mathcal {N}}=4$.

श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा

श्रेणी सिद्धांत में, झूठ सुपरबीजगणित को गैर-सहयोगी सुपरबीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका उत्पाद संतुष्ट करता है

• $[\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0$
• $[\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0$

जहां σ चक्रीय क्रमपरिवर्तन ब्रेडिंग है $({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })$. आरेखीय रूप में:

यह भी देखें

• गेरस्टेनहाबर बीजगणित
• एनीओनिक लाई बीजगणित
• ग्रासमैन बीजगणित
• एक झूठ सुपरबीजगणित का प्रतिनिधित्व
• सुपरस्पेस
• सुपरग्रुप (भौतिकी)
• सार्वभौमिक आवरण बीजगणित

संदर्भ

• Cheng, S.-J.; Wang, W. (2012). Dualities and Representations of Lie Superalgebras. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 144. pp. 302pp. ISBN 978-0-8218-9118-6.
• Freund, P. G. O. (1983). Introduction to supersymmetry. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511564017. ISBN 978-0521-356-756.
• Grozman, P.; Leites, D.; Shchepochkina, I. (2005). "Lie Superalgebras of String Theories". Acta Mathematica Vietnamica. 26 (2005): 27–63. arXiv:hep-th/9702120. Bibcode:1997hep.th....2120G.
• Kac, V. G. (1977). "Lie superalgebras". Advances in Mathematics. 26 (1): 8–96. doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2.
• Kac, V. G. (2010). "Classification of Infinite-Dimensional Simple Groups of Supersymmetries and Quantum Field Theory". Visions in Mathematics. pp. 162–183. arXiv:math/9912235. doi:10.1007/978-3-0346-0422-2_6. ISBN 978-3-0346-0421-5. S2CID 15597378.
• Manin, Y. I. (1997). Gauge Field Theory and Complex Geometry ((2nd ed.) ed.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-61378-7.
• Musson, I. M. (2012). Lie Superalgebras and Enveloping Algebras. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 131. pp. 488 pp. ISBN 978-0-8218-6867-6.
• Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol. 11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6.

ऐतिहासिक

• Frölicher, A.; Nijenhuis, A. (1956). "वेक्टर मूल्यवान विभेदक रूपों का सिद्धांत। भाग I". Indagationes Mathematicae. 59: 338–350. doi:10.1016/S1385-7258(56)50046-7..
• Gerstenhaber, M. (1963). "एक साहचर्य वलय की सहसंरचना संरचना". Annals of Mathematics. 78 (2): 267–288. doi:10.2307/1970343. JSTOR 1970343.
• Gerstenhaber, M. (1964). "वलयों और बीजगणित की विकृति पर". Annals of Mathematics. 79 (1): 59–103. doi:10.2307/1970484. JSTOR 1970484.
• Milnor, J. W.; Moore, J. C. (1965). "हॉपफ बीजगणित की संरचना पर". Annals of Mathematics. 81 (2): 211–264. doi:10.2307/1970615. JSTOR 1970615.

बाहरी संबंध

• Irving Kaplansky + Lie Superalgebras