स्वत: सहप्रसरण

संभाव्यता सिद्धांत और आँकड़ों में, एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को देखते हुए, ऑटोकोवेरिअन्स एक फ़ंक्शन है जो समय बिंदुओं के जोड़े पर स्वयं के साथ प्रक्रिया का सहप्रसरण देता है। ऑटोकॉवेरिएंस प्रश्न में प्रक्रिया के ऑटोसहसंबंध से निकटता से संबंधित है।

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का ऑटो-सहप्रसरण

परिभाषा

सामान्य संकेतन के साथ $\operatorname {E}$ अपेक्षित मूल्य ऑपरेटर के लिए, यदि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया $\left\{X_{t}\right\}$ माध्य कार्य है $\mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]$, तो स्वतः सहप्रसरण द्वारा दिया जाता है

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}$

(Eq.1)

कहाँ $t_{1}$ और $t_{2}$ समय में दो उदाहरण हैं.

कमजोर स्थिर प्रक्रिया की परिभाषा

अगर $\left\{X_{t}\right\}$ एक कमज़ोर-इंद्रिय स्थिरता| कमजोर स्थिर (डब्ल्यूएसएस) प्रक्रिया है, तो निम्नलिखित सत्य हैं:

$\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu$ सभी के लिए $t_{1},t_{2}$

और

$\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty$ सभी के लिए $t$

और

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),$

कहाँ $\tau =t_{2}-t_{1}$ अंतराल समय है, या समय की वह मात्रा जिसके द्वारा सिग्नल स्थानांतरित किया गया है।

इसलिए WSS प्रक्रिया का ऑटोकॉवेरिएंस फ़ंक्शन इस प्रकार दिया गया है:

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{t-\tau }-\mu _{t-\tau })]=\operatorname {E} [X_{t}X_{t-\tau }]-\mu _{t}\mu _{t-\tau }$

(Eq.2)

जो के बराबर है

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}$.

सामान्यीकरण

समय-निर्भर पियर्सन सहसंबंध गुणांक प्राप्त करने के लिए ऑटोकोवेरिएंस फ़ंक्शन को सामान्य करना कुछ विषयों (जैसे सांख्यिकी और समय श्रृंखला विश्लेषण) में आम बात है। हालाँकि अन्य विषयों (उदाहरण के लिए इंजीनियरिंग) में सामान्यीकरण को आमतौर पर हटा दिया जाता है और ऑटोसहसंबंध और ऑटोकोवेरिएंस शब्दों का परस्पर उपयोग किया जाता है।

स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के सामान्यीकृत ऑटो-सहसंबंध की परिभाषा है

$\rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}$.

यदि फ़ंक्शन $\rho _{XX}$ अच्छी तरह से परिभाषित है, इसका मूल्य सीमा में होना चाहिए $[-1,1]$, जिसमें 1 पूर्ण सहसंबंध दर्शाता है और −1 पूर्ण सहसंबंध विरोधी दर्शाता है।

WSS प्रक्रिया के लिए, परिभाषा है

$\rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}$.

कहाँ

$\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}$.

गुण

समरूपता गुण

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}$

WSS प्रक्रिया के लिए क्रमशः:

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}$

रैखिक फ़िल्टरिंग

एक रैखिक रूप से फ़िल्टर की गई प्रक्रिया का स्वत: सहप्रसरण $\left\{Y_{t}\right\}$

$Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,$

है

$K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,$

अशांत प्रसार की गणना

अशांत प्रसार की गणना के लिए ऑटोकोवेरिएंस का उपयोग किया जा सकता है। किसी प्रवाह में अशांति अंतरिक्ष और समय में वेग के उतार-चढ़ाव का कारण बन सकती है। इस प्रकार, हम उन उतार-चढ़ाव के आँकड़ों के माध्यम से अशांति की पहचान करने में सक्षम हैं.

रेनॉल्ड्स अपघटन का उपयोग वेग के उतार-चढ़ाव को परिभाषित करने के लिए किया जाता है $u'(x,t)$ (मान लें कि अब हम 1डी समस्या के साथ काम कर रहे हैं $U(x,t)$ साथ में वेग है $x$ दिशा):

$U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),$

कहाँ $U(x,t)$ सच्चा वेग है, और $\langle U(x,t)\rangle$ रेनॉल्ड्स अपघटन है. अगर हम सही चुनते हैं $\langle U(x,t)\rangle$, अशांत वेग के सभी स्टोकेस्टिक घटकों को शामिल किया जाएगा $u'(x,t)$. इरादा करना $\langle U(x,t)\rangle$, वेग माप का एक सेट जो अंतरिक्ष में बिंदुओं, समय के क्षणों या बार-बार किए गए प्रयोगों से इकट्ठा किया जाता है, की आवश्यकता होती है।

यदि हम अशांत प्रवाह मान लें $\langle u'c'\rangle$ ($c'=c-\langle c\rangle$, और सी एकाग्रता शब्द है) एक यादृच्छिक चलने के कारण हो सकता है, हम अशांत प्रवाह शब्द को व्यक्त करने के लिए फ़िक के प्रसार के नियमों का उपयोग कर सकते हैं:

$J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.$

वेग स्वतः सहप्रसरण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle$ या $K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,$

कहाँ $\tau$ अंतराल समय है, और $r$ अंतराल दूरी है.

अशांत प्रसार $D_{T_{x}}$ निम्नलिखित 3 विधियों का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

1. If we have velocity data along a Lagrangian trajectory:

   $D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .$

2. If we have velocity data at one fixed (Eulerian) location:
   $D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .$
3. If we have velocity information at two fixed (Eulerian) locations:
   $D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,$
   where $r$ is the distance separated by these two fixed locations.

यादृच्छिक सदिशों का स्वत: सहप्रसरण

Main article: Auto-covariance matrix

यह भी देखें

• स्वप्रतिगामी प्रक्रिया
• सह - संबंध
• क्रॉस-सहप्रसरण
• पार सहसंबंध
• कलमन फ़िल्टर#शोर सहप्रसरण Qk और Rk का अनुमान (एक एप्लिकेशन उदाहरण के रूप में)

अग्रिम पठन

• Hoel, P. G. (1984). Mathematical Statistics (Fifth ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4.
• Lecture notes on autocovariance from WHOI