पंक्ति और स्तंभ सदिश

रैखिक बीजगणित में, एक कॉलम वेक्टर प्रविष्टियों का एक कॉलम होता है, उदाहरण के लिए,

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}\,.$

इसी तरह, एक पंक्ति सदिश प्रविष्टियों की एक पंक्ति है

${\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}\,.$

कुल मिलाकर, बोल्डफेस का उपयोग पंक्ति और स्तंभ वैक्टर दोनों के लिए किया जाता है। पंक्ति सदिश का स्थानान्तरण (T द्वारा दर्शाया गया) स्तंभ सदिश है

${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}\,,$

और स्तंभ सदिश का स्थानान्तरण पंक्ति सदिश है

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}\,.$

n प्रविष्टियों वाले सभी पंक्ति सदिशों का समुच्चय एक n-आयामी सदिश स्थान बनाता है; इसी प्रकार, एम प्रविष्टियों वाले सभी कॉलम वैक्टर का सेट एक एम-आयामी वेक्टर स्पेस बनाता है।

n प्रविष्टियों के साथ पंक्ति वैक्टरों के स्थान को n प्रविष्टियों वाले कॉलम वैक्टरों के स्थान के दोहरे स्थान के रूप में माना जा सकता है, क्योंकि स्तंभ वैक्टरों के स्थान पर किसी भी रैखिक कार्यात्मक को एक अद्वितीय पंक्ति वेक्टर के बाएं-गुणन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

नोटेशन

कॉलम वैक्टर को अन्य पाठ के साथ इन-लाइन लिखने को आसान बनाने के लिए, कभी-कभी उन्हें पंक्ति वैक्टर के रूप में लिखा जाता है, जिसमें ट्रांसपोज़ ऑपरेशन लागू होता है।

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$

या

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$

कुछ लेखक कॉलम वैक्टर और रो वैक्टर दोनों को पंक्तियों के रूप में लिखने की परंपरा का भी उपयोग करते हैं, लेकिन पंक्ति वेक्टर तत्वों को अल्पविराम से और कॉलम वेक्टर तत्वों को अर्धविराम से अलग करते हैं (नीचे दी गई तालिका में वैकल्पिक नोटेशन 2 देखें)।

	Row vector	Column vector
Standard matrix notation (array spaces, no commas, transpose signs)	${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ or }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
Alternative notation 1 (commas, transpose signs)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
Alternative notation 2 (commas and semicolons, no transpose signs)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}$

संचालन

मैट्रिक्स गुणन में एक मैट्रिक्स के प्रत्येक पंक्ति वेक्टर को दूसरे मैट्रिक्स के प्रत्येक कॉलम वेक्टर से गुणा करने की क्रिया शामिल है।

दो कॉलम वैक्टर ए और बी का डॉट उत्पाद बी के साथ ए के स्थानान्तरण के मैट्रिक्स उत्पाद के बराबर है,

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,$

डॉट उत्पाद की समरूपता से, दो कॉलम वैक्टर ए और बी का डॉट उत्पाद भी ए के साथ बी के ट्रांसपोज़ के मैट्रिक्स उत्पाद के बराबर है,

$\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.$

कॉलम और रो वेक्टर का मैट्रिक्स उत्पाद दो वैक्टर ए और बी का बाहरी उत्पाद देता है, जो अधिक सामान्य टेंसर उत्पाद का एक उदाहरण है। ए के कॉलम वेक्टर प्रतिनिधित्व और बी के पंक्ति वेक्टर प्रतिनिधित्व का मैट्रिक्स उत्पाद उनके डाईडिक उत्पाद के घटक देता है,

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,$

जो बी के कॉलम वेक्टर प्रतिनिधित्व के मैट्रिक्स उत्पाद का स्थानान्तरण है और ए की पंक्ति वेक्टर प्रतिनिधित्व है,

$\mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.$

मैट्रिक्स परिवर्तन

Main article: Transformation matrix

एक n × n मैट्रिक्स M एक रेखीय मानचित्र का प्रतिनिधित्व कर सकता है और रैखिक मानचित्र के परिवर्तन मैट्रिक्स के रूप में पंक्ति और स्तंभ वैक्टर पर कार्य कर सकता है। एक पंक्ति सदिश v के लिए, गुणनफल vM एक अन्य पंक्ति सदिश p है:

$vM=p\,.$

अन्य n × n आव्यूह Q, p पर कार्य कर सकता है,

$pQ=t\,.$

फिर कोई t = p Q = v MQ लिख सकता है, इसलिए मैट्रिक्स उत्पाद परिवर्तन MQ सीधे t से v को मैप करता है। पंक्ति वैक्टर के साथ जारी रखते हुए, एन-स्पेस को फिर से कॉन्फ़िगर करने वाले मैट्रिक्स ट्रांसफॉर्मेशन को पिछले आउटपुट के दाईं ओर लागू किया जा सकता है।

जब एक कॉलम वेक्टर को n × n मैट्रिक्स क्रिया के तहत दूसरे कॉलम वेक्टर में बदल दिया जाता है, तो ऑपरेशन बाईं ओर होता है,

$p^{\mathrm {T} }=Mv^{\mathrm {T} }\,,\quad t^{\mathrm {T} }=Qp^{\mathrm {T} }$,

बीजगणितीय व्यंजक QM v के लिए अग्रणी^T v से निर्मित आउटपुट के लिए^टी इनपुट। मैट्रिक्स ट्रांसफ़ॉर्मेशन में इनपुट के लिए कॉलम वेक्टर के इस उपयोग में मैट्रिक्स ट्रांसफ़ॉर्मेशन बाईं ओर माउंट होता है।

यह भी देखें

• सहप्रसरण और सदिशों का अंतर्विरोध
• सूचकांक संकेतन
• लोगों का वेक्टर
• सिंगल-एंट्री वेक्टर
• मानक इकाई वेक्टर
• इकाई वेक्टर

संदर्भ

See also: Linear algebra § Further reading

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on March 1, 2001
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall