कम द्रव्यमान

भौतिकी में, न्यूटनी यांत्रिकी की द्वि-पिंड समस्या में में दिखाई देने वाला "प्रभावी" जड़त्वीय द्रव्यमान समानीत द्रव्यमान है। यह एक ऐसी मात्रा है जो द्वि-पिंड समस्या को समाधित करने की स्वीकृति देती है जैसे कि यह एक-पिंड की समस्या थी। हालाँकि, ध्यान दें कि गुरुत्वाकर्षण बल का निर्धारण करने वाला द्रव्यमान कम नहीं होता है। गणना में, द्रव्यमान को समानीत द्रव्यमान से परिवर्तित किया जा सकता है, यदि इसकी क्षतिपूर्ति दूसरे द्रव्यमान को दोनों द्रव्यमानों के योग से करके की जाती है। समानीत द्रव्यमान को प्रायः $\mu$ (परमाणु द्रव्यमान इकाई ) द्वारा निरूपित किया जाता है, हालांकि मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर को भी $\mu$ से निरूपित किया जाता है (जैसा कि कई अन्य भौतिक राशियां हैं)। इसमें द्रव्यमान का आयाम और अन्तर्राष्ट्रीय मात्रक प्रणाली (एसआई) इकाई किलोग्राम है।

समीकरण

दो निकायों को देखते हुए, एक द्रव्यमान m₁ के साथ और दूसरा द्रव्यमान m₂ के साथ, समतुल्य एक-पिंड समस्या, पिंड की स्थिति दूसरे के संबंध में अज्ञात के रूप में, द्रव्यमान के एकल पिंड की है।

$\mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,$

जहां इस द्रव्यमान पर बल दो पिंडों के बीच बल द्वारा दिया जाता है।

गुण

समानीत द्रव्यमान सदैव प्रत्येक पिंड के द्रव्यमान से कम या उसके समान होता है:

$\mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}\!\,$

और पारस्परिक योज्य गुण है:

${\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\,\!$

जो पुनर्व्यवस्था द्वारा अनुकूल माध्य के आधे के समतुल्य है।

उस विशेष स्थिति में $m_{1}=m_{2}$:

${\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}\,\!$

यदि $m_{1}\gg m_{2}$, उसके बाद $\mu \approx m_{2}$

व्युत्पत्ति

समीकरण निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है।

न्यूटोनियन यांत्रिकी

Main article: न्यूटोनियन यांत्रिकी

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, एक पिंड (कण 2) द्वारा दूसरे पिंड (कण 1) पर लगाया गया बल है:

$\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}$

कण 1 द्वारा कण 2 पर लगाया गया बल है:

$\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}$

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, कण 2 कण 1 पर जो बल लगाता है वह कण 1 द्वारा कण 2 पर लगाए गए बल के समान और विपरीत होता है:

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

इसलिए:

$m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}$

दो निकायों के बीच सापेक्ष त्वरण a_rel निम्न द्वारा दिया जाता है:

$\mathbf {a} _{\rm {rel}}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}$

ध्यान दें कि (क्योंकि व्युत्पन्न एक रैखिक संकारक है) सापेक्ष त्वरण $\mathbf {a} _{\rm {rel}}$ दो कणों के बीच पृथक्करण $\mathbf {x} _{\rm {rel}}$ के त्वरण के समान है।

$\mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\rm {rel}}}{dt^{2}}}$

यह प्रणाली के विवरण को बल (चूंकि $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$), समन्वयित $\mathbf {x} _{\rm {rel}}$, (और एक द्रव्यमान $\mu$ के बाद से) को सरल बनाता है। इस प्रकार हमने अपनी समस्या को स्वतंत्रता की कोटि तक कम कर दिया है, और हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं वह कण 1 कण 2 की स्थिति के संबंध में समानीत द्रव्यमान $\mu$ के समान द्रव्यमान के एकल कण के रूप में चलता है।

लैग्रैंजियन यांत्रिकी

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वैकल्पिक रूप से, द्वि-निकाय की समस्या का लैग्रैजियन विवरण एक लैग्रैजियन का देता है

${\mathcal {L}}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,$

जहाँ ${\mathbf {r} }_{i}$ द्रव्यमान $m_{i}$(कण का$i$) का स्थिति सदिश है। स्थितिज ऊर्जा V एक फलन है क्योंकि यह केवल कणों के बीच निरपेक्ष दूरी पर निर्भर है। यदि हम परिभाषित करते हैं

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

और द्रव्यमान का केंद्र इस संदर्भ फ्रेम में हमारे उत्पत्ति के साथ अनुरूप है, अर्थात

$m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0$,

तब

$\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.$

फिर ऊपर प्रतिस्थापित करने से एक नया लैग्रैंजियन मिलता है

${\mathcal {L}}={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),$

जहाँ

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

समानीत द्रव्यमान है। इस प्रकार हमने द्वि-पिंड की समस्या को एक पिंड की समस्या बना दिया है।

अनुप्रयोग

समानीत द्रव्यमान का उपयोग द्वि-पिंड की समस्याओं में किया जा सकता है, जहां उत्कृष्ट यांत्रिकी लागू होती है।

एक रेखा में दो बिन्दु द्रव्यमानों का जड़त्व आघूर्ण

द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर घूमने वाले दो बिंदु द्रव्यमान।

एक प्रणाली में दो बिंदु द्रव्यमान के साथ $m_{1}$ और $m_{2}$ जैसे कि वे सह-रेखीय हैं, दो दूरियाँ $r_{1}$ और $r_{2}$ घूर्णन अक्ष के साथ पाया जा सकता है

$$r_{1}=R{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$$

$$r_{2}=R{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$$

जहाँ $R$ दोनों दूरियों का योग है $R=r_{1}+r_{2}$

यह द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर घूमने के लिए है।

इस अक्ष के चारों ओर जडत्व आघूर्ण को सरल बनाया जा सकता है

$$I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{\frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.$$

कणों का संघट्ट

पुनर्स्थापना ई के गुणांक के साथ संघट्ट में, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के रूप में लिखा जा सकता है

$\Delta K={\frac {1}{2}}\mu v_{\rm {rel}}^{2}(e^{2}-1)$,

जहां v_rel संघट्ट से पहले पिंडों का सापेक्ष वेग है।

परमाणु भौतिकी में विशिष्ट अनुप्रयोगों के लिए, जहां एक कण का द्रव्यमान दूसरे की तुलना में बहुत बड़ा होता है, समानीत द्रव्यमान को प्रणाली के छोटे द्रव्यमान के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। समानीत द्रव्यमान सूत्र की सीमा जब एक द्रव्यमान अनंत तक जाता है तो छोटा द्रव्यमान होता है, इस प्रकार गणना को आसान बनाने के लिए इस सन्निकटन का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से जब बड़े कण का परिशुद्ध द्रव्यमान ज्ञात नहीं होता है।

दो विशाल पिंडों की उनके गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के अंतर्गत गति

गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा के स्थिति में

$V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\,,$

हम पाते हैं कि दूसरे पिंड के संबंध में पहले पिंड की स्थिति उसी अंतर समीकरण द्वारा नियंत्रित होती है, जैसे कि समानीत द्रव्यमान वाले पिंड की स्थिति, दो द्रव्यमानों के योग के समान द्रव्यमान वाले पिंड की परिक्रमा करती है, क्योंकि

$m_{1}m_{2}=(m_{1}+m_{2})\mu \!\,$

गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी

हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन (द्रव्यमान m_e) और प्रोटॉन (द्रव्यमान m_p) पर विचार करें। वे द्रव्यमान के एक सामान्य केंद्र, द्वि-पिंड की समस्या के बारे में एक दूसरे की परिक्रमा करते हैं। इलेक्ट्रॉन की गति का विश्लेषण करने के लिए, एक-निकाय समस्या, समानीत द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान को प्रतिस्थापित करता है

$m_{e}\rightarrow {\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}$

और प्रोटॉन द्रव्यमान दो द्रव्यमानों का योग बन जाता है

$m_{p}\rightarrow m_{e}+m_{p}$

इस विचार का उपयोग हाइड्रोजन परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण स्थापित करने के लिए किया जाता है।

अन्य उपयोग

समानीत द्रव्यमान भी सामान्य रूप से विधि बीजगणितीय शब्द के रूप में अधिक संदर्भित हो सकता है

$x^{*}={1 \over {1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}}={x_{1}x_{2} \over x_{1}+x_{2}}\!\,$

जो विधि के समीकरण को सरल करता है

$\ {1 \over x^{*}}=\sum _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}.\!\,$

समानीत द्रव्यमान सामान्य रूप से समानांतर में दो प्रणाली तत्वों के बीच संबंध के रूप में उपयोग किया जाता है, जैसे प्रतिरोधक या ये विद्युतीय, ऊष्मीय, द्रवचालित या यांत्रिक प्रक्षेत्र में हों। नमनीय मापांक के लिए किरण के अनुप्रस्थ कंपन में एक समान अभिव्यक्ति दिखाई देती है। यह संबंध तत्वों के भौतिक गुणों के साथ-साथ उन्हें जोड़ने वाले निरंतरता समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यह भी देखें

• केंद्र-की-गति फ्रेम
• संवेग संरक्षण
• समीकरण की परिभाषा (भौतिकी)
• लयबद्ध दोलक
• चर्प द्रव्यमान, न्यूटन के बाद के विस्तार में उपयोग किया जाने वाला एक सापेक्षिक समकक्ष

बाहरी संबंध

• Reduced Mass on HyperPhysics