परिभाषित समीकरण (भौतिकी)

For इस लेख में प्रयुक्त आधार मात्राओं का सामान्य नामकरण, see भौतिक मात्रा. For सापेक्षता में प्रयुक्त 4-वेक्टर संशोधन, see चार-वेक्टर.

भौतिकी में, समीकरणों को परिभाषित करने वाले समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जो आधार मात्राओं के संदर्भ में नई मात्राओं को परिभाषित करते हैं। यह लेख माप की इकाइयों की वर्तमान अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (एसआई प्रणाली) का उपयोग करता है, न कि प्राकृतिक इकाइयों या विशिष्ट इकाइयों का उपयोग करता है।

इकाइयों और भौतिक मात्राओं का विवरण

भौतिक मात्राएँ और इकाइयाँ समान पदानुक्रम का पालन करती हैं; चुनी गई आधार मात्राओं ने आधार इकाइयों को परिभाषित किया है जिससे कोई अन्य मात्राएँ प्राप्त की जा सकती हैं और संबंधित व्युत्पन्न इकाइयाँ हो सकती हैं।

रंग मिश्रण सादृश्य

मात्राओं को परिभाषित करना रंगों के मिश्रण के समान है, और इसे इसी प्रकार से वर्गीकृत किया जा सकता है, चूंकि यह मानक नहीं है। प्राथमिक रंग मूल मात्रा के होते हैं; द्वितीयक (या तृतीयक आदि) रंगों के रूप में व्युत्पन्न मात्राएँ हैं। रंगों को मिलाना गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके मात्राओं के संयोजन के समान है। किन्तु रंग प्रकाश या पेंट के लिए हो सकते हैं, और समान रूप से इकाइयों की प्रणाली कई रूपों में से हो सकती है: जैसे एसआई (अब सबसे सामान्य), सेंटीमीटर ग्राम इकाइयों की दूसरी प्रणाली, गॉसियन इकाइयां, इंपीरियल इकाइयां, प्राकृतिक इकाइयों का विशिष्ट रूप या यहाँ तक कि स्वैच्छिक विधि से परिभाषित इकाइयां विचाराधीन भौतिक प्रणाली (गैर-विमीयकरण) की विशेषता हैं।

मात्राओं और इकाइयों की आधार प्रणाली का चुनाव स्वैच्छिक है; किन्तु बार चुने जाने के बाद इसे सभी विश्लेषणों में पालन किया जाना चाहिए जो स्थिरता के लिए अनुसरण करता है। इकाइयों की विभिन्न प्रणालियों को मिलाने का कोई अर्थ नहीं है। इकाइयों की प्रणाली का चयन करना, एसआई, सीजीएस आदि में से प्रणाली, पेंट या हल्के रंगों का चयन करने जैसा है।

इस सादृश्यता के प्रकाश में, प्राथमिक परिभाषाएँ आधार मात्राएँ हैं जिनमें कोई परिभाषित समीकरण नहीं है, किन्तु परिभाषित मानकीकृत स्थिति, द्वितीयक परिभाषाएँ आधार मात्राओं के संदर्भ में, आधार और द्वितीयक दोनों मात्राओं के संदर्भ में मात्राओं के लिए तृतीयक, मात्राओं के लिए चतुर्धातुक आधार, द्वितीयक और तृतीयक मात्राओं का, और इसी प्रकार विशुद्ध रूप से परिभाषित मात्राएँ हैं।

प्रेरणा

अधिकांश भौतिकी को समीकरणों को समझने के लिए परिभाषाओं की आवश्यकता होती है।

सैद्धांतिक निहितार्थ: परिभाषाएँ महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे भौतिकी की शाखा की नई अंतर्दृष्टि में ले जा सकती हैं। शास्त्रीय भौतिकी में ऐसे दो उदाहरण सामने आये थे। जब एन्ट्रापी एस को परिभाषित किया गया था - ऑर्डर और डिसऑर्डर (भौतिकी) को संख्यात्मक मात्रा के साथ जोड़कर ऊष्मप्रवैगिकी की सीमा को बहुत बढ़ा दिया गया था, जो ऊर्जा और तापमान से संबंधित हो सकता है, जिससे ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम को और सांख्यिकीय यांत्रिकी को समझने में सहायता मिली थी।

साथ ही एक्शन (भौतिकी) कार्यात्मक (गणित) (जिसे एस भी लिखा गया है) (सामान्यीकृत निर्देशांक और कैनोनिकल निर्देशांक और लैग्रैंगियन यांत्रिकी फ़ंक्शन के साथ), प्रारंभ में न्यूटन के नियमों के लिए शास्त्रीय यांत्रिकी का वैकल्पिक सूत्रीकरण, अब सामान्य रूप से क्वांटम यांत्रिकी, कण भौतिकी और सामान्य सापेक्षता में आधुनिक भौतिकी की सीमा का विस्तार करता है।

विश्लेषणात्मक सुविधा: वे अन्य समीकरणों को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखने की अनुमति देते हैं और इसलिए आसान गणितीय हेरफेर की अनुमति देते हैं; परिभाषा में पैरामीटर को सम्मिलित करके, पैरामीटर की घटनाओं को प्रतिस्थापित मात्रा में अवशोषित किया जा सकता है और समीकरण से हटाया जा सकता है।

उदाहरण

उदाहरण के रूप में एम्पीयर के सर्किटल नियम (मैक्सवेल के सुधार के साथ) को निर्वात में विद्युत चालक ले जाने के लिए अभिन्न रूप में विचार करें (इसलिए शून्य चुंबकीयकरण कारण माध्यम, अर्थात् M = 0):

$$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}\oint _{S}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {A}$$

संवैधानिक परिभाषा का उपयोग करना

$$\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} ,$$

और वर्तमान घनत्व परिभाषा

$$I=\oint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} ,$$

इसी प्रकार विस्थापन वर्तमान घनत्व के लिए

$$\mathbf {J} _{\rm {d}}=\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$$

विस्थापन धारा के लिए अग्रणी

$$I_{d}=\oint _{S}\mathbf {J} _{\text{d}}\cdot d\mathbf {A} ,$$

अपने पास

$$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}\oint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\mu _{0}\oint _{S}\mathbf {J} _{\text{d}}\cdot d\mathbf {A} ,$$

$$\oint _{S}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =I+I_{d},$$

जो समीकरण समान होने पर भी लिखना आसान है।

तुलना में आसानी: वे मापन की तुलना तब करने की अनुमति देते हैं जब वे अस्पष्ट और अन्यथा अस्पष्ट दिखाई दे सकते हैं।

उदाहरण

मूल उदाहरण द्रव्यमान घनत्व है। यह स्पष्ट नहीं है कि केवल उनके द्रव्यमान या केवल उनकी मात्राओं को देखते हुए कितने पदार्थ विभिन्न प्रकार के पदार्थों का गठन करते हैं, इसकी तुलना कैसे करें। प्रत्येक पदार्थ के लिए दोनों को देखते हुए, द्रव्यमान m प्रति इकाई आयतन V, या द्रव्यमान घनत्व ρ पदार्थों के बीच सार्थक तुलना प्रदान करता है, क्योंकि प्रत्येक के लिए, मात्रा की एक निश्चित मात्रा पदार्थ के आधार पर द्रव्यमान की मात्रा के अनुरूप होगी। इसका वर्णन करने के लिए; यदि दो पदार्थों A और B का द्रव्यमान क्रमशः 'm_A' और m_B है, जो क्रमशः V_A और V_B आयतन घेरते हैं, तो द्रव्यमान घनत्व की परिभाषा का उपयोग करते हुए देता है:

ρ_A = m_A / V_A , ρ_B = m_B / V_B

इसके बाद देखा जा सकता है कि:

• यदि m_A > m_B या m_A < m_B और V_A = V_B, तब ρ_A > ρ_B या ρ_A < ρ_B,
• यदि m_A = m_B और V_A > V_B या V_A < V_B, तब ρ_A < ρ_B या ρ_A > ρ_B,
• यदि ρ_A = ρ_B, फिर m_A / V_A = m_B / V_B तो m_A / m_B = V_A / V_B, यह प्रदर्शित करते हुए कि यदि m_A > m_B या m_A < m_B, तब V_A > V_B या V_A < V_B.

गणित का इस प्रकार से तार्किक उपयोग किए बिना ऐसी तुलना करना उतना व्यवस्थित नहीं होगा।

परिभाषित समीकरणों का निर्माण

परिभाषाओं का दायरा

अध्ययन और प्रस्तुति के स्तर, विषय की जटिलता और प्रयोज्यता के सीमा के आधार पर, प्राथमिक बीजगणित और गणना , वेक्टर पथरी , या सबसे सामान्य अनुप्रयोगों टेन्सर के संदर्भ में परिभाषित समीकरण सामान्य रूप से तैयार किए जाते हैं। कार्यों को परिभाषा में सम्मिलित किया जा सकता है, कलन के लिए यह आवश्यक है। सैद्धांतिक लाभ के लिए मात्राएं भी जटिल संख्या-मूल्यवान हो सकती हैं, किन्तु भौतिक माप के लिए वास्तविक भाग प्रासंगिक है, काल्पनिक भाग को त्याग दिया जा सकता है। अधिक उन्नत उपचार के लिए परिभाषा को उपयोगी बनाने के लिए अन्य परिभाषित समीकरणों का उपयोग करते हुए समीकरण को समकक्ष किन्तु वैकल्पिक रूप में लिखा जाना पड़ सकता है। अधिकांशतः परिभाषाएं प्रारंभिक बीजगणित से प्रारंभ हो सकती हैं, फिर सदिशों में संशोधित हो सकती हैं, फिर सीमित स्तिथियों में कलन का उपयोग किया जा सकता है। सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले गणित के विभिन्न स्तर इस पैटर्न का अनुसरण करते हैं।

सामान्यतः परिभाषाएँ स्पष्ट होती हैं, जिसका अर्थ है कि परिभाषित मात्रा समीकरण का विषय है, किन्तु कभी-कभी समीकरण स्पष्ट रूप से नहीं लिखा जाता है - चूंकि समीकरण को स्पष्ट करने के लिए परिभाषित मात्रा का समाधान किया जा सकता है। सदिश समीकरणों के लिए, कभी-कभी परिभाषित मात्रा क्रॉस या डॉट उत्पाद में होती है और सदिश के रूप में स्पष्ट रूप से समाधान नहीं किया जा सकता है, किन्तु घटक कर सकते हैं।

सतह (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) के माध्यम से फ्लक्स एफ, डीएस डिफरेंशियल (इनफिनिटिमल) वेक्टर क्षेत्र एलिमेंट है, एन सतह के लिए सामान्य इकाई है। यहां भौतिक उदाहरणों के लिए, आरेख में वर्तमान घनत्व J या चुंबकीय क्षेत्र B F होगा।

कोनेदार गति; अदिश और वेक्टर घटक।

उदाहरण

विद्युत प्रवाह घनत्व इन सभी विधियों में फैले उदाहरण है, कोणीय गति उदाहरण है जिसमें पथरी की आवश्यकता नहीं होती है। नामकरण और आरेखों के लिए दाईं ओर शास्त्रीय यांत्रिकी अनुभाग देखें।

प्राथमिक बीजगणित

संक्रियाएँ केवल गुणा और भाग हैं। समीकरण को उत्पाद या भागफल दोनों निश्चित रूप से समकक्ष के रूप में लिखा जा सकता है।

	कोणीय गति	विद्युत प्रवाह घनत्व
भागफल रूप	$p={\frac {L}{r}}\,\!$	$J={\frac {I}{A}}\,\!$
उत्पाद का रूप	$L=pr\,\!$	$I=JA\,\!$

वेक्टर बीजगणित

सदिश को सदिश से विभाजित करने का कोई तरीका नहीं है, इसलिए कोई उत्पाद या भागफल रूप नहीं हैं।

	कोणीय गति	विद्युत प्रवाह घनत्व
भागफल रूप	लागू नहीं	$\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {I}{A}}\,\!$
उत्पाद का रूप	$L=pr\,\!$ से प्रारंभ करते हुए, चूंकि L = 0 जब p और r समांतर और प्रतिसमांतर हैं, और लम्बवत् होने पर अधिकतम होता है, जिससे p का एकमात्र घटक जो L में योगदान देता है वह स्पर्शरेखा |p| sin θ है, कोणीय संवेग का परिमाण $L=pr\sin \theta \,\!$ के रूप में फिर से लिखा जाना चाहिए क्योंकि r, p और L दाएँ हाथ का त्रिक बनाते हैं, यह सदिश रूप $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!$ की ओर ले जाता है।	$\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} A=I,\,\!$ $\mathbf {J} \cdot \mathbf {A} =I,\,\!$

प्राथमिक गणित

अंकगणितीय संक्रियाओं को विभेदीकरण और एकीकरण के सीमित स्तिथियों में संशोधित किया जाता है। समीकरणों को इन समतुल्य और वैकल्पिक विधियों से व्यक्त किया जा सकता है।

	वर्तमान घनत्व
विभेदक रूप	$J=\lim _{A\rightarrow 0}{\frac {I}{A}}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} A}}\,\!$
अभिन्न रूप	$I=\lim _{A_{i}\rightarrow 0}\sum _{i}JA_{i}=\int _{S}J{\mathrm {d} A}\,\!$ जहाँ dA का अर्थ एक विभेदक क्षेत्र तत्व (अभिन्न सतह भी देखे)। वैकल्पिक रूप से अभिन्न रूप के लिए $\mathrm {d} I=J{\mathrm {d} A},\,\!$ $I=\int _{S}J{\mathrm {d} A}.\,\!$

वेक्टर कलन

	वर्तमान घनत्व
विभेदक रूप	$\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} A}}\,\!$
अभिन्न रूप	$I=\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,\!$ जहाँ dA = ndA अवकल सदिश क्षेत्र है।

टेंसर विश्लेषण

वेक्टर रैंक -1 टेंसर हैं। नीचे दिए गए सूत्र टेंसरों की भाषा में सदिश समीकरणों से अधिक नहीं हैं।

	कोणीय गति	विद्युत प्रवाह घनत्व
विभेदक रूप	लागू नहीं	$J_{i}n_{i}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} A}}\,\!$
उत्पाद/अभिन्न रूप	$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!$ से प्रारंभ करते हुए, घटक Li, rj, pi हैं, जहां i, j, k प्रत्येक डमी इंडेक्स हैं, प्रत्येक मान 1, 2, 3 लेते हैं, टेंसर विश्लेषण $\mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} ,\quad a_{i}=\epsilon _{ijk}b_{j}c_{k},\,\!$ से पहचान का उपयोग करते हुए जहाँ εijk क्रमचय/लेवी-सीटा टेंसर हैं, $L_{i}=\epsilon _{ijk}r_{j}p_{k}.\,\!$की ओर जाता है।	आइंस्टीन समन सम्मेलन का उपयोग करते हुए, $J_{i}n_{i}\mathrm {d} A=\mathrm {d} I\,\!$ $\int _{S}J_{i}\mathrm {d} A_{i}=I\,\!$

बहुविकल्पी परिभाषाएँ

कभी-कभी चुनी हुई इकाई प्रणाली के अंदर एक या एक से अधिक मात्राओं को एक से अधिक विधियों से परिभाषित करने की स्वतंत्रता होती है। स्थिति दो स्तिथियों में विभाजित होती है:

एक परिभाषा के लिए एक से अधिक अनन्य समीकरणों को चुनने से एक विरोधाभास हो सकता है एक समीकरण एक मात्रा X की मांग कर सकता है जिसे एक तरह से दूसरी मात्रा Y का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है जबकि दूसरे समीकरण के लिए रिवर्स Y को X का उपयोग करके परिभाषित करने की आवश्यकता होती है किन्तु फिर एक अन्य समीकरण गलत साबित हो सकता है एक्स और वाई दोनों का उपयोग और इसी तरह।

पारस्परिक रूप से अनन्य परिभाषाएं: दूसरों के संदर्भ में परिभाषित की जाने वाली मात्रा के लिए कई संभावित विकल्प हैं, किन्तु केवल का उपयोग किया जा सकता है और अन्य का उपयोग नही किया जा सकता है। एक परिभाषा के लिए एक से अधिक अनन्य समीकरणों को चुनने से एक विरोधाभास हो सकता है एक समीकरण एक मात्रा X की मांग कर सकता है जिसे एक तरह से दूसरी मात्रा Y का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है जबकि दूसरे समीकरण के लिए रिवर्स Y को X का उपयोग करके परिभाषित करने की आवश्यकता होती है किन्तु फिर एक अन्य समीकरण गलत साबित हो सकता है X और Y दोनों का उपयोग और इसी तरह। आपसी असहमति यह कहना असंभव बना देती है कि कौन सा समीकरण किस मात्रा को परिभाषित करता है।

समतुल्य परिभाषाएँ: ऐसे समीकरणों को परिभाषित करना जो भौतिक सिद्धांत के अंदर अन्य समीकरणों और नियमों के समतुल्य और स्व-संगत हैं, बस अलग-अलग विधियों से लिखे गए हैं।

प्रत्येक मामले के लिए दो संभावनाएँ हैं:

" एक परिभाषित समीकरण - एक परिभाषित मात्रा:" परिभाषित समीकरण का उपयोग कई अन्य के संदर्भ में मात्रा को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

"परिभाषित समीकरण - कई परिभाषित मात्राएँ:" परिभाषित समीकरण का उपयोग कई अन्य मात्राओं के संदर्भ में कई मात्राओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। एकल परिभाषित समीकरण में मात्रा नहीं होनी चाहिए जो समान समीकरण में अन्य सभी मात्राओं को परिभाषित करती है, अन्यथा विरोधाभास फिर से उत्पन्न होते हैं। अलग-अलग परिभाषित मात्राओं की कोई परिभाषा नहीं है क्योंकि वे एकल समीकरण में एकल मात्रा द्वारा परिभाषित हैं। इसके अतिरिक्त, परिभाषित मात्राएँ पहले ही परिभाषित हो सकती हैं, इसलिए यदि कोई अन्य मात्रा इन्हें समान समीकरण में परिभाषित करती है, तो परिभाषाओं के बीच टकराव होता है।

मात्राओं को 'क्रमिक रूप से' परिभाषित करके विरोधाभासों से बचा जा सकता है; जिस 'आदेश' में मात्राओं को परिभाषित किया गया है, उसका हिसाब देना होगा। इन उदाहरणों में फैले उदाहरण विद्युत चुंबकत्व में होते हैं, और नीचे दिए गए हैं।

वेक्टर लाइन तत्व डॉ के संबंध में वर्तमान प्रवाह के पथ के साथ लाइन-इंटीग्रेटेड।

उदाहरण

पारस्परिक रूप से अनन्य परिभाषाएँ:

चुंबकीय क्षेत्र B को विद्युत आवेश q या विद्युत धारा I के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, और लोरेंत्ज़ बल (चुंबकीय शब्द) F क्षेत्र के कारण आवेश वाहकों द्वारा अनुभव किया जाता है,

${\begin{aligned}\mathbf {F} &=q\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\&=\left(\int I\mathrm {d} t\right)\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {B} \right)\\&=\left(\int I\mathrm {d} t{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)\times \mathbf {B} \\&=I\left(\int \mathrm {d} \mathbf {r} \right)\times \mathbf {B} \\&=I\left(\mathbf {l} \times \mathbf {B} \right),\end{aligned}}\,\!$

जहाँ $\mathbf {l} =\int \mathrm {d} \mathbf {r} \,\!$ आवेश वाहकों द्वारा तय की गई स्थिति में परिवर्तन है (वर्तमान को स्थिति से स्वतंत्र मानते हुए, यदि ऐसा नहीं है तो वर्तमान के पथ के साथ लाइन इंटीग्रल किया जाना चाहिए) या चुंबकीय प्रवाह के संदर्भ में Φ_B सतह S के माध्यम से, जहां क्षेत्र को स्केलर A और वेक्टर के रूप में उपयोग किया जाता है: $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} \,\!$ और $\mathbf {\hat {n}} \,\!$ A के लिए सामान्य इकाई है, या तो अंतर रूप में

$\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} A}},\,\!$

या अभिन्न रूप,

$\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathrm {d} A=\mathrm {d} \Phi _{B},\,\!$

$\Phi _{B}=\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} .\,\!$

चूँकि, उपरोक्त समीकरणों में से केवल का उपयोग निम्नलिखित कारणों से B को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, यह देखते हुए कि A, r, v, और F को कहीं और स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है (सबसे अधिक संभावना यांत्रिकी और यूक्लिडियन ज्यामिति)।

यदि बल समीकरण B को परिभाषित करता है, जहां q या I को पहले परिभाषित किया गया है, तो फ्लक्स समीकरण Φ_B को परिभाषित करता है, चूंकि बी को पहले स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। यदि फ्लक्स समीकरण बी को परिभाषित करता है, जहां Φ_B, बल समीकरण I या q के लिए परिभाषित समीकरण हो सकता है। विरोधाभास पर ध्यान दें जब 'B' दोनों समीकरण 'B' को साथ परिभाषित करते हैं और जब 'B' आधार मात्रा नहीं है; बल समीकरण मांग करता है कि q या I को कहीं और परिभाषित किया जाए जबकि उसी समय फ्लक्स समीकरण मांग करता है कि q या I को बल समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाए, इसी प्रकार बल समीकरण के लिए Φ_B की आवश्यकता होती है फ्लक्स समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाना है, उसी समय फ्लक्स समीकरण की मांग है कि Φ_B अन्यत्र परिभाषित किया गया है। दोनों समीकरणों को साथ परिभाषाओं के रूप में उपयोग करने के लिए, B को आधार मात्रा होना चाहिए जिससे F और Φ_B हो B से स्पष्ट रूप से स्टेम करने के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

समतुल्य परिभाषाएँ:

अन्य उदाहरण इंडक्शन 'L' है जिसकी परिभाषा के रूप में उपयोग करने के लिए दो समकक्ष समीकरण हैं।

I और Φ_B के संदर्भ में, अधिष्ठापन द्वारा दिया जाता है

$L=N{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} I}},\,\!$

I और प्रेरित ईएमएफ V के संदर्भ में

$V=-L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}.\,\!$

ये दोनों फैराडे के आगमन के नियम के समतुल्य हैं:

$V=-N{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}},\,\!$

$V{\mathrm {d} t}=-N\mathrm {d} \Phi _{B},\,\!$

L के लिए पहली परिभाषा में प्रतिस्थापन

$L=-V{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} I}}\,\!$

$V=-L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}\,\!$

और इसलिए वे परस्पर अनन्य नहीं हैं।

"परिभाषित समीकरण - कई परिभाषित मात्राएँ"

ध्यान दें कि L, I और Φ_B को एक साथ परिभाषित नहीं कर सकता - इसका कोई अर्थ नहीं है। I, Φ_Bऔर V सबसे अधिक संभावना है कि सभी को पहले परिभाषित (Φ_Bफ्लक्स समीकरण में ऊपर दिया गया) किया गया है;

$V={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} q}},\quad I={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}},\,\!$

जहाँ W = आवेश q पर किया गया कार्य है। इसके अतिरिक्त, I या Φ_B की अलग से कोई परिभाषा नहीं है - क्योंकि L उन्हें एक ही समीकरण में परिभाषित कर रहा है।

चूंकि, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए E और B की परिभाषा के रूप में लोरेंत्ज़ बल नियम का उपयोग करना:

$\mathbf {F} =q\left[\mathbf {E} +\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right],\,\!$

विद्युत क्षेत्र E और चुंबकीय क्षेत्र B के लिए एकल परिभाषित समीकरण के रूप में अनुमति दी जाती है, क्योंकि E और B को न केवल एक चर द्वारा परिभाषित किया जाता है बल्कि तीन बल (F), वेग (v) और आवेश (q) द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह E और B की पृथक परिभाषाओं के अनुरूप है क्योंकि E को F और q का उपयोग करके परिभाषित किया गया है:

$\mathbf {E} =\mathbf {F} /q.\,\!$

और B को F, v और q द्वारा परिभाषित किया गया है, जैसा कि ऊपर दिया गया है।

परिभाषाओं की सीमाएं

परिभाषाएँ बनाम फलन: मात्राओं को परिभाषित करना परिभाषा में दिए गए मापदंडों के अतिरिक्त अन्य मापदंडों के कार्य के रूप में भिन्न हो सकता है। परिभाषित समीकरण केवल परिभाषित मात्रा की गणना करने के तरीके को परिभाषित करता है, यह वर्णन नहीं कर सकता है कि मात्रा अन्य पैरामीटर के फ़ंक्शन के रूप में कैसे भिन्न होती है क्योंकि फ़ंक्शन एप्लिकेशन से दूसरे में भिन्न होता है। परिभाषित मात्रा कैसे भिन्न होती है क्योंकि अन्य मापदंडों के कार्य को संवैधानिक समीकरण या समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है, क्योंकि यह आवेदन से दूसरे में और सन्निकटन (या सरलीकरण) से दूसरे में भिन्न होता है।

उदाहरण

द्रव्यमान घनत्व ρ को द्रव्यमान m और आयतन V द्वारा परिभाषित किया गया है, किन्तु यह तापमान T और दबाव p, ρ के कार्य के रूप में भिन्न हो सकता है = ρ(पी, टी)

तरंग प्रसार की कोणीय आवृत्ति ω को तरंग संख्या k, ω = के कार्य के रूप में दोलन की आवृत्ति (या समकक्ष समय अवधि T) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। ω(के)। तरंग प्रसार के लिए यह 'फैलाव संबंध' है।

किसी वस्तु के टकराने के लिए पुनर्स्थापन के गुणांक को पृथक्करण की गति और टक्कर बिंदु के संबंध में दृष्टिकोण का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, किन्तु प्रश्न में सतहों की प्रकृति पर निर्भर करता है।

परिभाषा बनाम प्रमेय: परिभाषित समीकरणों और सामान्य या व्युत्पन्न परिणामों, प्रमेयों या नियमों के बीच बहुत ही महत्वपूर्ण अंतर है। भौतिक प्रणाली के बारे में समीकरणों को परिभाषित करते हुए कोई जानकारी नहीं मिलती, वे बस माप को दूसरे के संदर्भ में फिर से बताते हैं। दूसरी ओर, परिणाम, प्रमेय और नियम, 'डू' अर्थपूर्ण जानकारी प्रदान करते हैं, यदि केवल थोड़ी ही, क्योंकि वे पद्धति के अन्य गुणों को दी गई मात्रा के लिए गणना का प्रतिनिधित्व करते हैं, और वर्णन करते हैं कि पद्धति चर के रूप में कैसे व्यवहार करता है .

उदाहरण

एम्पीयर के नियम के लिए ऊपर उदाहरण दिया गया था। दूसरा 'n₁' के लिए संवेग का संरक्षण है प्रारंभिक संवेग p_i वाले प्रारंभिक कण जहां i = 1, 2 ... n₁, और n₂ अंतिम कण जिनका अंतिम संवेग p_i होता है (कुछ कण फट सकते हैं या चिपक सकते हैं) जहाँ j = 1, 2 ... N₂, संरक्षण का समीकरण पढ़ता है:

$\sum _{i}^{N_{1}}\mathbf {p} _{\rm {i}}=\sum _{j}^{N_{2}}\mathbf {p} _{\rm {j}}\,\!$

वेग के संदर्भ में संवेग की परिभाषा का उपयोग करना:

$\mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!$

जिससे प्रत्येक कण के लिए:

$\mathbf {p} _{\rm {i}}=m_{i}\mathbf {v} _{\rm {i}}\,\!$ और $\mathbf {p} _{\rm {j}}=m_{j}\mathbf {v} _{\rm {j}}\,\!$

संरक्षण समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

$\sum _{i}^{N_{1}}m_{i}\mathbf {v} _{\rm {i}}=\sum _{j}^{N_{2}}m_{i}\mathbf {v} _{\rm {i}}.\,\!$

यह पिछले संस्करण के समान है। परिभाषाओं को प्रतिस्थापित करने पर मात्राओं को बदलने से कोई जानकारी खो या प्राप्त नहीं होती है, किन्तु समीकरण ही प्रणाली के बारे में जानकारी देता है।

एकल ऑर्डर उत्पादन परिभाषाएँ

कुछ समीकरण, सामान्यतः व्युत्पत्ति से उत्पन्न होते हैं, इसमें उपयोगी मात्राएँ सम्मिलित होती हैं जो इसके अनुप्रयोग के सीमा में एकमुश्त परिभाषाएँ के रूप में काम करती हैं।

उदाहरण

विशेष आपेक्षिकता में, विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान#सापेक्षिक द्रव्यमान अवधारणा का इतिहास भौतिकविदों द्वारा समर्थन और विकर्षण है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$m=\gamma m_{0}\,\!$

जहां एम₀ वस्तु का विराम द्रव्यमान है और γ लोरेंत्ज़ कारक है। यह गति में विशाल वस्तु के संवेग p और ऊर्जा E जैसी कुछ मात्राओं को सापेक्षिक द्रव्यमान का उपयोग करके अन्य समीकरणों से प्राप्त करना आसान बनाता है:

$\mathbf {p} =m\mathbf {v} \rightarrow \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v}$

$E=mc^{2}\rightarrow E=\gamma m_{0}c^{2}$

चूँकि, यह हमेशा लागू नहीं होता है, उदाहरण के लिए ही वस्तु की गतिज ऊर्जा T और बल 'F' निम्न द्वारा नहीं दिया जाता है:

$T={\frac {m}{2}}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \nrightarrow T={\frac {\gamma m_{0}}{2}}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \nrightarrow \mathbf {F} =\gamma m_{0}\mathbf {a}$

लोरेंत्ज़ कारक का गहरा महत्व और उत्पत्ति है, और इसका उपयोग उचित समय के संदर्भ में किया जाता है और चार-वैक्टरों के साथ समय का समन्वय करता है। उपरोक्त सही समीकरण सही क्रम में परिभाषाओं को लागू करने का परिणाम हैं।

आवेशित कण को ​​विक्षेपित करने वाला चुंबकीय क्षेत्र, कण के लिए छद्म-परिभाषित चुंबकीय कठोरता।

विद्युत चुंबकत्व में, समान चुंबकीय क्षेत्र 'B' में आवेशित कण (द्रव्यमान m और आवेश q का) क्षेत्र द्वारा गोलाकार कुंडलाकार चाप में वेग 'v' और वक्रता त्रिज्या (गणित) 'r' से विक्षेपित होता है, जहाँ पेचदार प्रक्षेपवक्र कोण θ से 'B' पर झुका हुआ है। चुंबकीय बल अभिकेन्द्र बल है, अतः कण पर लगने वाला बल 'F' है;

$\mathbf {F} =-{\frac {m\left(\mathbf {v} \cdot {\mathbf {v} }\right)\mathbf {\hat {r}} }{\left|\mathbf {r} \right|}}=q\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),\,\!$

अदिश रूप में घटाना और |B||r| का समाधान करना;

${\frac {m\left|\mathbf {v} \right|^{2}}{\left|\mathbf {r} \right|}}=q\left|\mathbf {v} \right|\left|\mathbf {B} \right|\sin \theta ,\,\!$

${\frac {m\left|\mathbf {v} \right|}{\left|\mathbf {r} \right|}}=q\left|\mathbf {B} \right|\sin \theta ,\,\!$

$\left|\mathbf {B} \right|\left|\mathbf {r} \right|={\frac {m\left|\mathbf {v} \right|}{q\sin \theta }},\,\!$

कण की चुंबकीय कठोरता की परिभाषा के रूप में कार्य करता है। चूँकि यह कण के द्रव्यमान और आवेश पर निर्भर करता है, यह उस सीमा को निर्धारित करने के लिए उपयोगी होता है जो कण बी क्षेत्र में विक्षेपित होता है, जो द्रव्यमान स्पेक्ट्रोमेट्री और कण अनुसन्धानों में प्रयोगात्मक रूप से होता है।

यह भी देखें

• संविधान समीकरण
• परिभाषा समीकरण (भौतिक रसायन विज्ञान)
• विद्युत चुंबकत्व समीकरणों की सूची
• शास्त्रीय यांत्रिकी में समीकरणों की सूची
• द्रव यांत्रिकी में समीकरणों की सूची
• गुरुत्वाकर्षण में समीकरणों की सूची
• परमाणु और कण भौतिकी में समीकरणों की सूची
• क्वांटम यांत्रिकी में समीकरणों की सूची
• प्रकाशिकी समीकरणों की सूची
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• थर्मोडायनामिक समीकरणों की तालिका

स्रोत

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अग्रिम पठन

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• H.D. Young; R.A. Freedman (2008). University Physics – With Modern Physics (12th ed.). Addison-Wesley (Pearson International). ISBN 978-0-321-50130-1.