संख्यात्मक विश्लेषण

बाबुलियन क्ले टैबलेट YBC 7289 (c। 1800–1600 ईसा पूर्व) एनोटेशन के साथ।2 के वर्गमूल का अनुमान चार सेक्सजैमिमल आंकड़े हैं, जो लगभग छह दशमलव आंकड़े हैं।1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³= 1.41421296 ...

संख्यात्मक विश्लेषण कलन विधि का अध्ययन है जो गणितीय विश्लेषण की समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक अनुमानों (प्रतीकात्मक जोड़तोड़ के विपरीत) का उपयोग करता है (असतत गणित से अलग)। यह संख्यात्मक तरीकों का अध्ययन है जो सटीक समाधान के बजाय समस्याओं के अनुमानित समाधान खोजने का प्रयास करता है। संख्यात्मक विश्लेषण अभियांत्रिकी और भौतिक विज्ञान के सभी क्षेत्रों में लागू होता है, और 21 वीं सदी में भी जीवन और सामाजिक विज्ञान, चिकित्सा, व्यवसाय और यहां तक कि कला भी। कंप्यूटिंग शक्ति में मौजूदा वृद्धि ने विस्तृत और यथार्थवादी गणितीय मॉडल प्रदान करते हुए विज्ञान और इंजीनियरिंग में अधिक जटिल संख्यात्मक विश्लेषण के उपयोग को सक्षम किया है। संख्यात्मक विश्लेषण के उदाहरणों में खगोलीय यांत्रिकी (ग्रहों, सितारों और आकाशगंगाओं की गति की भविष्यवाणी), डेटा विश्लेषण में संख्यात्मक रैखिक बीजगणित, और स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण और मार्कोव श्रृंखलाओं के अनुकरण के लिए पाए जाने वाले साधारण अंतर समीकरण शामिल हैं। दवा और जीव विज्ञान में जीवित कोशिकाएं।

आधुनिक कंप्यूटरों से पहले, संख्यात्मक तरीके अक्सर बड़े मुद्रित तालिकाओं के डेटा का उपयोग करते हुए, हस्त प्रक्षेप सूत्रों पर निर्भर करते थे। 20वीं सदी के मध्य से, कंप्यूटर इसके बजाय आवश्यक कार्यों की गणना करते हैं, लेकिन सॉफ्टवेयर कलन विधि में एक ही तरह के कई सूत्रों का उपयोग जारी है। संख्यात्मक दृष्टिकोण प्रारंभिक गणितीय लेखन में वापस चला जाता है। येल बेबीलोनियाई संग्रह (वाईबीसी 7289) से एक टैबलेट 2 के वर्गमूल का एक साठवाँ संख्यात्मक अनुमानित देता है, जो एक इकाई वर्ग में एक विकर्ण की लंबाई है।

संख्यात्मक विश्लेषण इस लंबी परंपरा को जारी रखता है: अंकों में अनुवादित सटीक प्रतीकात्मक उत्तर देने और केवल वास्तविक दुनिया के माप के लिए लागू होने के बजाय, निर्दिष्ट त्रुटि श्रेणियों के भीतर अनुमानित समाधानों का उपयोग किया जाता है।

सामान्य परिचय

संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र का समग्र लक्ष्य कठिन समस्याओं के पूर्वानुमान योग्य लेकिन सटीक समाधान प्रदान करने के लिए तकनीकों का डिजाइन और विश्लेषण है, जिनमें से कई प्रकार निम्नलिखित हैं:

• संख्यात्मक मौसम पूर्वानुमान को व्यवहार्य बनाने के लिए, उन्नत संख्यात्मक विधियों की आवश्यकता होती है।
• एक अंतरिक्ष यान के प्रक्षेपवक्र की गणना के लिए सरल अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के सटीक संख्यात्मक समाधान की आवश्यकता होती है।
• कार कंपनियां कार दुर्घटनाओं के कंप्यूटर अनुकरण का उपयोग कर अपने वाहनों की दुर्घटना सुरक्षा में सुधार कर सकती हैं। इस तरह के अनुकरण में अनिवार्य रूप से संख्यात्मक रूप से आंशिक अंतर समीकरणों को हल करना शामिल है।
• हेज फंड (निजी निवेश फंड) अन्य बाजार सहभागियों के सापेक्ष स्टॉक और डेरिवेटिव के मूल्य की गणना करने के लिए संख्यात्मक विश्लेषण के सभी क्षेत्रों से उपकरणों का उपयोग करते हैं।
• एयरलाइंस टिकट की कीमतों, हवाई जहाज और क्रू असाइनमेंट और ईंधन की जरूरतों को तय करने के लिए परिष्कृत अनुकूलन एल्गोरिदम का उपयोग करती हैं। ऐतिहासिक रूप से, ऐसे एल्गोरिदम संचालन अनुसंधान के अतिव्यापी क्षेत्र के भीतर विकसित किए गए हैं।
• बीमा कंपनियां बीमांकिक विश्लेषण करने के लिए संख्यात्मक कार्यक्रमों का इस्तेमाल करती हैं।

इस खंड के शेष भाग में संख्यात्मक विश्लेषण के कई महत्वपूर्ण विषयों की रूपरेखा है।

इतिहास

संख्यात्मक विश्लेषण का क्षेत्र कई सहस्राब्दियों से आधुनिक कंप्यूटरों के आविष्कार की भविष्यवाणी करता है। रेखीय प्रक्षेपण 2000 वर्षों से अधिक समय से उपयोग में था। अतीत के कई महान गणितज्ञ संख्यात्मक विश्लेषण में लगे हुए थे, जैसा कि न्यूटन की विधि, लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद, गाऊसी उन्मूलन, या यूलर की विधि जैसे महत्वपूर्ण कलन विधि के नामों से प्रमाणित है।

हाथ से गणना की सुविधा के लिए, बड़ी पुस्तकों का निर्माण सूत्रों और डेटा की तालिकाओं जैसे कि प्रक्षेप बिंदुओं और फ़ंक्शन गुणांक के साथ किया गया था। इन तालिकाओं का उपयोग करते हुए, कुछ फ़ंक्शन के लिए अक्सर 16 दशमलव स्थानों या उससे अधिक की गणना की जाती है, कोई दिए गए फ़ार्मुलों में प्लग इन करने के लिए मानों को देख सकता है और कुछ फ़ंक्शन के बहुत अच्छे संख्यात्मक अनुमान प्राप्त कर सकता है। क्षेत्र में विहित कार्य एनआईएसटी (NIST) प्रकाशन है, जिसे अब्रामोविट्ज़ और स्टेगुन द्वारा संपादित किया गया है, एक 1000 से अधिक पृष्ठ की पुस्तक जिसमें कई बिंदुओं पर आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सूत्र और कार्य और उनके मूल्य शामिल हैं। जब कंप्यूटर उपलब्ध हो जाते हैं तो फ़ंक्शन मान अब बहुत उपयोगी नहीं होते हैं, लेकिन सूत्रों की बड़ी सूची अभी भी बहुत उपयोगी हो सकती है।

हाथ की गणना के लिए एक उपकरण के रूप में यांत्रिक कैलकुलेटर भी विकसित किए गए थे। 1940 के दशक में ये कैलकुलेटर इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर में विकसित हुए और तब यह पाया गया कि ये कंप्यूटर प्रशासनिक उद्देश्यों के लिए भी उपयोगी थे। लेकिन कंप्यूटर के आविष्कार ने संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र को भी प्रभावित किया, क्योंकि अब अधिक जटिल गणनाएं की जा सकती थीं।

प्रत्यक्ष और पुनरावृत्त तरीके

हल करने की समस्या पर विचार करें

3x³+ 4 = 28

अज्ञात मात्रा के लिए x।

Direct method

	3x3 + 4 = 28.
Subtract 4	3x3 = 24.
Divide by 3	x3 =  8.
Take cube roots	x =  2.

पुनरावृत्त विधि के लिए, bisection विधि को f (x) = 3x पर लागू करें³& माइनस;24. प्रारंभिक मान A = 0, b = 3, f (a) = & minus; 24, f (b) = 57 हैं।

Iterative method

a	b	mid	f(mid)
0	3	1.5	−13.875
1.5	3	2.25	10.17...
1.5	2.25	1.875	−4.22...
1.875	2.25	2.0625	2.32...

इस तालिका से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि समाधान 1.875 और 2.0625 के बीच है।एल्गोरिथ्म 0.2 से कम त्रुटि के साथ उस सीमा में किसी भी संख्या को वापस कर सकता है।

विवेकाधीन और संख्यात्मक एकीकरण

ईमानदार = 0.6

दो घंटे की दौड़ में, कार की गति को तीन इंस्टेंट पर मापा जाता है और निम्नलिखित तालिका में दर्ज किया जाता है।

Time	0:20	1:00	1:40
km/h	140	150	180

एक विवेकाधीन यह कहना होगा कि कार की गति 0:00 से 0:40 तक निरंतर थी, फिर 0:40 से 1:20 तक और अंत में 1:20 से 2:00 तक।उदाहरण के लिए, पहले 40 मिनट में यात्रा की गई कुल दूरी लगभग है (2/3 h& nbsp; & times; & nbsp;140 km/h) & nbsp; = & nbsp;93.3 km।यह हमें यात्रा की गई कुल दूरी का अनुमान लगाने की अनुमति देगा 93.3 km + 100 km + 120 km = 313.3 km, जो एक रीमैन योग का उपयोग करके संख्यात्मक एकीकरण (नीचे देखें) का एक उदाहरण है, क्योंकि विस्थापन वेग का अभिन्न अंग है।

बीमार-वातानुकूलित समस्या: फ़ंक्शन लें f(x) = 1/(x − 1)।ध्यान दें कि f (1.1) = 10 और f (1.001) = 1000: 0.1 से कम के x में परिवर्तन लगभग 1000 के f (x) में परिवर्तन में बदल जाता है। x = 1 के पास f (x) का मूल्यांकन एक बीमार है-वातानुकूलित समस्या।

अच्छी तरह से वातानुकूलित समस्या: इसके विपरीत, एक ही फ़ंक्शन का मूल्यांकन f(x) = 1/(x − 1) X = 10 के पास एक अच्छी तरह से वातानुकूलित समस्या है। उदाहरण के लिए, f (10) = 1/9 and 0.111 और f (11) = 0.1: X में एक मामूली परिवर्तन f (x) में एक मामूली परिवर्तन की ओर जाता है।

प्रत्यक्ष तरीके चरणों की एक परिमित संख्या में किसी समस्या के समाधान की गणना करते हैं। यदि वे मनमाना-सटीक अंकगणित में किए गए थे, तो इन विधियों को सटीक उत्तर दिया जाएगा। अनंत सटीक अंकगणित। उदाहरणों में गॉसियन उन्मूलन, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए क्यूआर कारककरण विधि और रैखिक प्रोग्रामिंग की सिंप्लेक्स विधि शामिल हैं। व्यवहार में, परिमित परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है और परिणाम सही समाधान (स्थिरता मानते हुए) का एक अनुमान है।

प्रत्यक्ष तरीकों के विपरीत, पुनरावृत्त तरीकों से एक परिमित संख्या में चरणों की समाप्ति होने की उम्मीद नहीं है। एक प्रारंभिक अनुमान से शुरू करते हुए, पुनरावृत्त तरीके क्रमिक सन्निकटन बनाते हैं जो केवल सीमा में सटीक समाधान में परिवर्तित होते हैं। एक अभिसरण परीक्षण, जिसे अक्सर अवशिष्ट शामिल किया जाता है, यह तय करने के लिए निर्दिष्ट किया जाता है कि एक पर्याप्त सटीक समाधान कब (उम्मीद है) पाया गया है। यहां तक ​​कि अनंत सटीक अंकगणित का उपयोग करते हुए ये विधियाँ चरणों की एक सीमित संख्या (सामान्य रूप से) के भीतर समाधान तक नहीं पहुंचेंगी। उदाहरणों में न्यूटन की विधि, द्विभाजित विधि और जैकोबी पुनरावृत्ति शामिल हैं। कम्प्यूटेशनल मैट्रिक्स बीजगणित में, आम तौर पर बड़ी समस्याओं के लिए पुनरावृत्त तरीकों की आवश्यकता होती है। संख्यात्मक विश्लेषण में प्रत्यक्ष तरीकों की तुलना में पुनरावृत्त तरीके अधिक सामान्य हैं।कुछ तरीके सिद्धांत रूप में प्रत्यक्ष हैं, लेकिन आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं जैसे कि वे नहीं थे, उदा।Gmres और संयुग्म ग्रेडिएंट विधि।इन तरीकों के लिए सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए आवश्यक चरणों की संख्या इतनी बड़ी है कि एक सन्निकटन को उसी तरह से स्वीकार किया जाता है जैसे कि एक पुनरावृत्त विधि के लिए।

विवेकाधिकार

इसके अलावा, निरंतर समस्याओं को कभी -कभी एक असतत समस्या से बदल दिया जाना चाहिए, जिसका समाधान निरंतर समस्या के अनुमानित होने के लिए जाना जाता है;इस प्रक्रिया को 'विवेकाधीन' कहा जाता है।उदाहरण के लिए, एक अंतर समीकरण का समाधान एक फ़ंक्शन है।इस फ़ंक्शन को डेटा की एक परिमित राशि द्वारा दर्शाया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, इसके डोमेन में बिंदुओं की एक परिमित संख्या में इसके मूल्य से, भले ही यह डोमेन एक निरंतरता है।

पीढ़ी और त्रुटियों का प्रसार

त्रुटियों का अध्ययन संख्यात्मक विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।कई तरीके हैं जिनमें समस्या के समाधान में त्रुटि पेश की जा सकती है।

राउंड-ऑफ

राउंड-ऑफ त्रुटियां उत्पन्न होती हैं क्योंकि परिमित मेमोरी के साथ एक मशीन पर सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना असंभव है (जो कि सभी व्यावहारिक डिजिटल कंप्यूटर हैं)।

ट्रंकेशन और विवेकाधीन त्रुटि

जब एक पुनरावृत्ति विधि समाप्त हो जाती है या गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाया जाता है और अनुमानित समाधान सटीक समाधान से भिन्न होता है, तो ट्रंकेशन त्रुटियां होती हैं।इसी तरह, विवेकाधीन एक विवेकाधीन त्रुटि को प्रेरित करता है क्योंकि असतत समस्या का समाधान निरंतर समस्या के समाधान के साथ मेल नहीं खाता है।ऊपर दिए गए उदाहरण में समाधान की गणना करने के लिए $3x^{3}+4=28$, दस पुनरावृत्तियों के बाद, गणना की गई जड़ लगभग 1.99 है।इसलिए, ट्रंकेशन त्रुटि लगभग 0.01 है।

एक बार एक त्रुटि उत्पन्न हो जाने के बाद, यह गणना के माध्यम से फैलता है।उदाहरण के लिए, कंप्यूटर पर ऑपरेशन + अक्षम है।प्रकार की गणना $a+b+c+d+e$ और भी अधिक अक्षम है।

गणितीय प्रक्रिया का अनुमान लगाने पर एक ट्रंकेशन त्रुटि बनाई जाती है।एक फ़ंक्शन को वास्तव में एकीकृत करने के लिए, क्षेत्रों का एक अनंत योग पाया जाना चाहिए, लेकिन संख्यात्मक रूप से केवल एक परिमित क्षेत्रों को पाया जा सकता है, और इसलिए सटीक समाधान का अनुमान।इसी तरह, एक फ़ंक्शन को अलग करने के लिए, अंतर तत्व शून्य तक पहुंचता है, लेकिन संख्यात्मक रूप से केवल अंतर तत्व का एक गैर -मान मान चुना जा सकता है।

संख्यात्मक स्थिरता और अच्छी तरह से पोज वाली समस्याएं

संख्यात्मक विश्लेषण संख्यात्मक विश्लेषण में एक धारणा है।एक एल्गोरिथ्म को 'संख्यात्मक रूप से स्थिर' कहा जाता है यदि कोई त्रुटि, जो भी इसका कारण है, गणना के दौरान बहुत बड़ा नहीं होता है। यह तब होता है जब समस्या 'अच्छी तरह से वातानुकूलित' हो, जिसका अर्थ है कि समाधान केवल एक छोटी राशि से बदल जाता है यदि समस्या डेटा को कम राशि से बदल दिया जाता है। इसके विपरीत, यदि कोई समस्या 'बीमार-वातानुकूलित' है, तो डेटा में कोई भी छोटी त्रुटि एक बड़ी त्रुटि होगी। मूल समस्या और एल्गोरिथ्म दोनों का उपयोग उस समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है, 'अच्छी तरह से वातानुकूलित' या 'बीमार-वातानुकूलित' हो सकता है, और कोई भी संयोजन संभव है।

तो एक एल्गोरिथ्म जो एक अच्छी तरह से वातानुकूलित समस्या को हल करता है, या तो संख्यात्मक रूप से स्थिर या संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो सकता है।संख्यात्मक विश्लेषण की एक कला एक अच्छी तरह से पनी हुई गणितीय समस्या को हल करने के लिए एक स्थिर एल्गोरिथ्म खोजने के लिए है।उदाहरण के लिए, 2 के वर्गमूल की गणना करना (जो लगभग 1.41421 है) एक अच्छी तरह से पनी समस्या है।कई एल्गोरिदम एक प्रारंभिक सन्निकटन एक्स के साथ शुरू करके इस समस्या को हल करते हैं₀ to ${\sqrt {2}}$उदाहरण के लिए x₀ = 1.4, and then computing improved guesses x₁, x₂, etc. One such method is the famous Babylonian method, which is given by x_k+1 = x_k/2 + 1/x_k. Another method, called 'method X', is given by x_k+1 = (x_k² − 2)² + x_k. प्रत्येक योजना के कुछ पुनरावृत्तियों की गणना नीचे तालिका रूप में की जाती है, प्रारंभिक अनुमान x के साथ₀ = 1.4 and x₀= 1.42।

Babylonian	Babylonian	Method X	Method X
x0 = 1.4	x0 = 1.42	x0 = 1.4	x0 = 1.42
x1 = 1.4142857...	x1 = 1.41422535...	x1 = 1.4016	x1 = 1.42026896
x2 = 1.414213564...	x2 = 1.41421356242...	x2 = 1.4028614...	x2 = 1.42056...
		...	...
		x1000000 = 1.41421...	x27 = 7280.2284...

निरीक्षण करें कि बेबीलोन की विधि प्रारंभिक अनुमान की परवाह किए बिना जल्दी से परिवर्तित हो जाती है, जबकि विधि एक्स प्रारंभिक अनुमान एक्स के साथ बेहद धीरे -धीरे परिवर्तित होती है₀ = 1.4 and diverges for initial guess x₀= 1.42।इसलिए, बेबीलोन की विधि संख्यात्मक रूप से स्थिर है, जबकि विधि एक्स संख्यात्मक रूप से अस्थिर है।

संख्यात्मक स्थिरता मशीन के महत्वपूर्ण अंकों की संख्या से प्रभावित होती है।यदि एक मशीन का उपयोग किया जाता है जो केवल चार सबसे महत्वपूर्ण दशमलव अंक रखता है, तो महत्व के नुकसान पर एक अच्छा उदाहरण दो समकक्ष कार्यों द्वारा दिया जा सकता है

$f(x)=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right)$ तथा $g(x)={\frac {x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}.$

के परिणामों की तुलना करना

$f(500)=500\left({\sqrt {501}}-{\sqrt {500}}\right)=500\left(22.38-22.36\right)=500(0.02)=10$

तथा

${\begin{alignedat}{3}g(500)&={\frac {500}{{\sqrt {501}}+{\sqrt {500}}}}\\&={\frac {500}{22.38+22.36}}\\&={\frac {500}{44.74}}=11.17\end{alignedat}}$

उपरोक्त दो परिणामों की तुलना करके, यह स्पष्ट है कि महत्व का नुकसान (यहां के कारण, सन्निकटन को पास के नंबरों को घटाने से भयावह रद्द होने के कारण ${\sqrt {501}}$ तथा ${\sqrt {500}}$, घटाव की गणना के बावजूद) परिणामों पर बहुत बड़ा प्रभाव पड़ता है, भले ही दोनों कार्य समतुल्य हों, जैसा कि नीचे दिखाया गया है

${\begin{alignedat}{4}f(x)&=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right)\\&=x\left({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}\right){\frac {{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {({\sqrt {x+1}})^{2}-({\sqrt {x}})^{2}}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {x+1-x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=x{\frac {1}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&={\frac {x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}\\&=g(x)\end{alignedat}}$

वांछित मूल्य, अनंत परिशुद्धता का उपयोग करके गणना की गई, 11.174755 है ...

• उदाहरण मैथ्यू से लिया गया एक संशोधन है;MATLAB, 3rd ed का उपयोग करके संख्यात्मक तरीके।

अध्ययन के क्षेत्र

संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र में कई उप-अनुशासन शामिल हैं।कुछ प्रमुख हैं:

कार्यों का कंप्यूटिंग मान

Interpolation: Observing that the temperature varies from 20 degrees Celsius at 1:00 to 14 degrees at 3:00, a linear interpolation of this data would conclude that it was 17 degrees at 2:00 and 18.5 degrees at 1:30pm. Extrapolation: If the gross domestic product of a country has been growing an average of 5% per year and was 100 billion last year, it might extrapolated that it will be 105 billion this year. Regression: In linear regression, given n points, a line is computed that passes as close as possible to those n points. Optimization: Suppose lemonade is sold at a lemonade stand, at $1.00 per glass, that 197 glasses of lemonade can be sold per day, and that for each increase of $0.01, one less glass of lemonade will be sold per day. If $1.485 could be charged, profit would be maximized, but due to the constraint of having to charge a whole-cent amount, charging $1.48 or $1.49 per glass will both yield the maximum income of $220.52 per day. Differential equation: If 100 fans are set up to blow air from one end of the room to the other and then a feather is dropped into the wind, what happens? The feather will follow the air currents, which may be very complex. One approximation is to measure the speed at which the air is blowing near the feather every second, and advance the simulated feather as if it were moving in a straight line at that same speed for one second, before measuring the wind speed again. This is called the Euler method for solving an ordinary differential equation.

सबसे सरल समस्याओं में से एक किसी दिए गए बिंदु पर एक फ़ंक्शन का मूल्यांकन है।सूत्र में संख्या में सिर्फ प्लगिंग का सबसे सीधा दृष्टिकोण, कभी -कभी बहुत कुशल नहीं होता है।बहुपद के लिए, एक बेहतर दृष्टिकोण हॉर्नर योजना का उपयोग कर रहा है, क्योंकि यह आवश्यक संख्या में गुणा और परिवर्धन को कम करता है।आम तौर पर, फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित के उपयोग से उत्पन्न होने वाली राउंड-ऑफ त्रुटियों का अनुमान लगाना और नियंत्रित करना महत्वपूर्ण है।

प्रक्षेप, एक्सट्रपलेशन, और प्रतिगमन

प्रक्षेप निम्नलिखित समस्या को हल करता है: कई बिंदुओं पर कुछ अज्ञात फ़ंक्शन के मान को देखते हुए, दिए गए बिंदुओं के बीच किसी अन्य बिंदु पर उस फ़ंक्शन का क्या मूल्य है?

एक्सट्रपलेशन प्रक्षेप के समान है, सिवाय इसके कि अब एक बिंदु पर अज्ञात फ़ंक्शन का मूल्य जो दिए गए बिंदुओं के बाहर है, को पाया जाना चाहिए। प्रतिगमन भी समान है, लेकिन यह ध्यान में रखता है कि डेटा अभेद्य है।कुछ बिंदुओं को देखते हुए, और इन बिंदुओं पर कुछ फ़ंक्शन के मूल्य का माप (एक त्रुटि के साथ), अज्ञात फ़ंक्शन पाया जा सकता है।कम से कम वर्ग-मेथोड इसे प्राप्त करने का एक तरीका है।

समीकरणों और समीकरणों के सिस्टम को हल करना

एक और मौलिक समस्या कुछ दिए गए समीकरण के समाधान की गणना कर रही है।दो मामलों को आमतौर पर प्रतिष्ठित किया जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि समीकरण रैखिक है या नहीं।उदाहरण के लिए, समीकरण $2x+5=3$ जबकि रैखिक है $2x^{2}+5=3$ नहीं है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों के विकास में बहुत प्रयास किए गए हैं।मानक प्रत्यक्ष तरीके, यानी, कुछ मैट्रिक्स अपघटन का उपयोग करने वाले तरीके गॉसियन एलिमिनेशन, लू अपघटन, सममित (या हर्मिटियन) के लिए चोल्स्की अपघटन और सकारात्मक-कमी मैट्रिक्स, और गैर-वर्ग मैट्रिस के लिए क्यूआर अपघटन हैं।Jacobi विधि, Gauss-Seidel Method, क्रमिक ओवर-रिलैक्सेशन और कंजुगेट ग्रेडिएंट विधि जैसे पुनरावृत्त तरीके आमतौर पर बड़ी प्रणालियों के लिए पसंद किया जाता है।मैट्रिक्स विभाजन का उपयोग करके सामान्य पुनरावृत्त तरीकों को विकसित किया जा सकता है।

रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग nonlinear समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है (उन्हें इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि एक फ़ंक्शन की एक जड़ एक तर्क है जिसके लिए फ़ंक्शन शून्य पैदा करता है)।यदि फ़ंक्शन अलग -अलग है और व्युत्पन्न ज्ञात है, तो न्यूटन की विधि एक लोकप्रिय विकल्प है। नॉनलाइनियर समीकरणों को हल करने के लिए रैखिककरण एक और तकनीक है।

eigenvalue या एकवचन मूल्य समस्याओं को हल करना

कई महत्वपूर्ण समस्याओं को eigenvalue decompositions या एकवचन मूल्य विघटन के संदर्भ में प्रस्तुत किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, वर्णक्रमीय छवि संपीड़न एल्गोरिथ्म एकवचन मूल्य विघटन पर आधारित है।आंकड़ों में संबंधित उपकरण को प्रिंसिपल कंपोनेंट एनालिसिस कहा जाता है।

अनुकूलन

Main article: Mathematical optimization

अनुकूलन समस्याएं उस बिंदु के लिए पूछती हैं जिस पर किसी दिए गए फ़ंक्शन को अधिकतम (या कम से कम) किया जाता है।अक्सर, बिंदु को कुछ बाधाओं को भी संतुष्ट करना पड़ता है।

ऑप्टिमाइज़ेशन के क्षेत्र को कई उप -क्षेत्रों में और विभाजित किया जाता है, जो उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधा के रूप में निर्भर करता है।उदाहरण के लिए, रैखिक प्रोग्रामिंग मामले से संबंधित है कि उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधाएं दोनों रैखिक हैं।रैखिक प्रोग्रामिंग में एक प्रसिद्ध विधि सिंप्लेक्स विधि है।

Lagrange मल्टीप्लायरों की विधि का उपयोग अप्रतिबंधित अनुकूलन समस्याओं के लिए बाधाओं के साथ अनुकूलन समस्याओं को कम करने के लिए किया जा सकता है।

इंटीग्रल्स का मूल्यांकन

Main article: Numerical integration

संख्यात्मक एकीकरण, कुछ उदाहरणों में संख्यात्मक चतुर्भुज के रूप में भी जाना जाता है, एक निश्चित अभिन्न के मूल्य के लिए पूछता है। लोकप्रिय तरीके न्यूटन -कॉट्स फॉर्मूले (जैसे मिडपॉइंट नियम या सिम्पसन के नियम) या गौसियन चतुष्कोण का उपयोग करते हैं। ये विधियाँ एक विभाजन और विजय रणनीति पर निर्भर करती हैं, जिससे अपेक्षाकृत बड़े सेट पर एक अभिन्न अंग छोटे सेटों पर इंटीग्रल में टूट जाते हैं।उच्च आयामों में, जहां ये विधियां कम्प्यूटेशनल प्रयास के संदर्भ में निषेधात्मक रूप से महंगी हो जाती हैं, कोई मोंटे कार्लो या क्वासी-मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग कर सकता है (मोंटे कार्लो एकीकरण देखें), या, मामूली बड़े आयामों में, विरल ग्रिड की विधि।

अंतर समीकरण

Main articles: Numerical ordinary differential equations and Numerical partial differential equations

संख्यात्मक विश्लेषण भी कंप्यूटिंग (एक अनुमानित तरीके से) विभेदक समीकरणों के समाधान, दोनों साधारण अंतर समीकरणों और आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान से भी संबंधित है। आंशिक अंतर समीकरणों को पहले समीकरण को विवेकाधीन करके हल किया जाता है, इसे एक परिमित-आयामी उप-समूह में लाया जाता है। यह एक परिमित तत्व विधि द्वारा किया जा सकता है, एक परिमित अंतर विधि, या (विशेष रूप से इंजीनियरिंग में) एक परिमित मात्रा विधि। इन विधियों के सैद्धांतिक औचित्य में अक्सर कार्यात्मक विश्लेषण से प्रमेय शामिल होते हैं।यह एक बीजीय समीकरण के समाधान के लिए समस्या को कम करता है।

सॉफ्टवेयर

Main articles: List of numerical-analysis software and Comparison of numerical-analysis software

बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, अधिकांश एल्गोरिदम विभिन्न प्रकार की प्रोग्रामिंग भाषाओं में लागू किए जाते हैं। नेटलिब रिपॉजिटरी में संख्यात्मक समस्याओं के लिए सॉफ्टवेयर रूटीन के विभिन्न संग्रह शामिल हैं, ज्यादातर फोरट्रान और सी। में कई अलग -अलग संख्यात्मक एल्गोरिदम को लागू करने वाले वाणिज्यिक उत्पादों में आईएमएसएल और एनएजी पुस्तकालय शामिल हैं; एक फ्री-सॉफ्टवेयर विकल्प जीएनयू साइंटिफिक लाइब्रेरी है।

पिछले कुछ वर्षों में रॉयल स्टैटिस्टिकल सोसाइटी ने रॉयल स्टैटिस्टिकल सोसाइटी, सीरीज़ सी (एप्लाइड स्टैटिस्टिक्स) के जर्नल में कई एल्गोरिदम प्रकाशित किए। एप्लाइड स्टैटिस्टिक्स (इन के लिए कोड फ़ंक्शंस के रूप में कोड यहां); एसीएम इसी तरह, गणितीय सॉफ्टवेयर पर इसके लेनदेन में (TOMS कोड यहाँ है)। नेवल सरफेस वारफेयर सेंटर ने कई बार अपने लाइब्रेरी ऑफ़ मैथमेटिक्स सबरूटीन्स प्रकाशित किया (कोड [1])।

कई लोकप्रिय संख्यात्मक कंप्यूटिंग अनुप्रयोग जैसे कि MATLAB, हैं, Tk सॉल्वर, एस-प्लस और आईडीएल साथ ही स्वतंत्र और खुले स्रोत विकल्प जैसे कि फ्रीमाट, स्किलैब, GNU ऑक्टेव (MATLAB के समान), और यह ++ (C ++ लाइब्रेरी)।आर जैसी प्रोग्रामिंग भाषाएं भी हैं (एस-प्लस के समान), जूलिया, और पायथन लाइब्रेरी जैसे कि न्यूमपी, स्किपी के साथ और सिम्पी।प्रदर्शन व्यापक रूप से भिन्न होता है: जबकि वेक्टर और मैट्रिक्स संचालन आमतौर पर तेज होते हैं, स्केलर लूप्स परिमाण के एक क्रम से अधिक गति में भिन्न हो सकते हैं। कई कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली जैसे कि मैथेमेटिका भी मनमानी-सटीक अंकगणित की उपलब्धता से लाभान्वित होती है जो अधिक सटीक परिणाम प्रदान कर सकती है। इसके अलावा, किसी भी स्प्रेडशीट सॉफ़्टवेयर का उपयोग संख्यात्मक विश्लेषण से संबंधित सरल समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। Microsoft_excel#| Excel, उदाहरण के लिए, मैट्रिस के लिए सैकड़ों उपलब्ध फ़ंक्शन हैं, जिनमें Matrices के लिए उपयोग किया जा सकता है, जिसका उपयोग इसके Microsoft Excel#Add-Ins के साथ संयोजन में किया जा सकता है।

यह भी देखें

• एल्गोरिदम का विश्लेषण
• कम्प्यूटेशनल विज्ञान
• कम्प्यूटेशनल भौतिकी
• अंतराल अंकगणित
• संख्यात्मक विश्लेषण विषयों की सूची
• स्थानीय रैखिककरण विधि
• संख्यात्मक भेदभाव
• संख्यात्मक व्यंजनों
• संभाव्य संख्या विज्ञान
• प्रतीकात्मक-प्रतिष्ठित गणना
• मान्य संख्या विज्ञान

संदर्भ

सूत्रों का कहना है

• Golub, Gene H.; Charles F. Van Loan (1986). Matrix Computations (3rd ed.). Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-X.
• Higham, Nicholas J. (1996). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-355-2.
• Hildebrand, F. B. (1974). Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-028761-9.
• Leader, Jeffery J. (2004). Numerical Analysis and Scientific Computation. Addison Wesley. ISBN 0-201-73499-0.
• Wilkinson, J.H. (1965). The Algebraic Eigenvalue Problem. Clarendon Press.
• Kahan, W. (1972). A survey of error-analysis. Proc. IFIP Congress 71 in Ljubljana. Info. Processing 71. Vol. 2. Amsterdam: North-Holland Publishing. pp. 1214–39. (examples of the importance of accurate arithmetic).
• Trefethen, Lloyd N. (2006). "Numerical analysis", 20 pages. In: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), Princeton Companion of Mathematics, Princeton University Press.

बाहरी संबंध

पत्रिकाओं

• gdz.sub.uni-goettingen, Numerische Mathematik, volumes 1-66, Springer, 1959-1994 (searchable; pages are images). (in English and German)
• Numerische Mathematik, volumes 1–112, Springer, 1959–2009
• Journal on Numerical Analysis, volumes 1-47, SIAM, 1964–2009

ऑनलाइन ग्रंथ

• "Numerical analysis", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Numerical Recipes, William H. Press (free, downloadable previous editions)
• First Steps in Numerical Analysis (archived), R.J.Hosking, S.Joe, D.C.Joyce, and J.C.Turner
• CSEP (Computational Science Education Project), U.S. Department of Energy (archived 2017-08-01)
• Numerical Methods, ch 3. in the Digital Library of Mathematical Functions
• Numerical Interpolation, Differentiation and Integration, ch 25. in the Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz and Stegun)

ऑनलाइन पाठ्यक्रम सामग्री

• Numerical Methods (Archived 28 July 2009 at the Wayback Machine), Stuart Dalziel University of Cambridge
• Lectures on Numerical Analysis, Dennis Deturck and Herbert S. Wilf University of Pennsylvania
• Numerical methods, John D. Fenton University of Karlsruhe
• Numerical Methods for Physicists, Anthony O’Hare Oxford University
• Lectures in Numerical Analysis (archived), R. Radok Mahidol University
• Introduction to Numerical Analysis for Engineering, Henrik Schmidt Massachusetts Institute of Technology
• Numerical Analysis for Engineering, D. W. Harder University of Waterloo
• Introduction to Numerical Analysis, Doron Levy University of Maryland
• Numerical Analysis - Numerical Methods (archived), John H. Mathews California State University Fullerton

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