कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन

गणितीय तर्क में, एक रूढ़िवादी विस्तार एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) # उप सिद्धांत और एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) का विस्तार है जो अक्सर प्रमेयों को साबित करने के लिए सुविधाजनक होता है, लेकिन मूल सिद्धांत की भाषा के बारे में कोई नया प्रमेय साबित नहीं करता है। इसी तरह, एक गैर-रूढ़िवादी विस्तार एक सुपरथ्योरी है जो रूढ़िवादी नहीं है, और मूल से अधिक प्रमेय साबित कर सकता है।

अधिक औपचारिक रूप से कहा गया है, एक सिद्धांत $T_{2}$ एक सिद्धांत का एक (प्रमाण सिद्धांत) रूढ़िवादी विस्तार है $T_{1}$ अगर हर प्रमेय $T_{1}$ का प्रमेय है $T_{2}$, और कोई भी प्रमेय $T_{2}$ की भाषा में $T_{1}$ का एक प्रमेय पहले से ही है $T_{1}$.

अधिक सामान्यतः, यदि $\Gamma$ की आम भाषा में सुनिर्मित सूत्र का समुच्चय है $T_{1}$ और $T_{2}$, तब $T_{2}$ है $\Gamma$-रूढ़िवादी खत्म $T_{1}$ अगर हर सूत्र से $\Gamma$ में सिद्ध $T_{2}$ में भी सिद्ध होता है $T_{1}$.

ध्यान दें कि एक सुसंगत सिद्धांत का एक रूढ़िवादी विस्तार सुसंगत है। यदि ऐसा नहीं होता तो विस्फोट के सिद्धांत से हर सूत्र की भाषा में $T_{2}$ का एक प्रमेय होगा $T_{2}$, तो हर सूत्र की भाषा में $T_{1}$ का एक प्रमेय होगा $T_{1}$, इसलिए $T_{1}$ सुसंगत नहीं होगा। इसलिए, रूढ़िवादी विस्तार नई विसंगतियों को पेश करने का जोखिम नहीं उठाते हैं। इसे बड़े सिद्धांतों को लिखने और संरचित करने की एक पद्धति के रूप में भी देखा जा सकता है: एक सिद्धांत से शुरू करें, $T_{0}$, जिसे सुसंगत होना जाना जाता है (या माना जाता है), और क्रमिक रूप से रूढ़िवादी विस्तार का निर्माण करता है $T_{1}$, $T_{2}$, ... इसका।

हाल ही में, ओन्टोलॉजी (कंप्यूटर साइंस) के लिए ऑन्कोलॉजी मॉड्यूलराइजेशन की धारणा को परिभाषित करने के लिए रूढ़िवादी एक्सटेंशन का उपयोग किया गया है: यदि एक ऑन्कोलॉजी को एक तार्किक सिद्धांत के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है, तो एक सबथ्योरी एक मॉड्यूल है यदि संपूर्ण ऑन्कोलॉजी सबथ्योरी का एक रूढ़िवादी विस्तार है।

एक विस्तार जो रूढ़िवादी नहीं है उसे उचित विस्तार कहा जा सकता है।

उदाहरण

• एसीए₀, रिवर्स गणित में अध्ययन किए गए दूसरे क्रम के अंकगणित का एक उपतंत्र, पहले क्रम के पियानो अंकगणित का एक रूढ़िवादी विस्तार है।
• वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी (एनबीजी) ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी का एक रूढ़िवादी विस्तार है जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) है।
• आंतरिक समुच्चय सिद्धांत जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत का पसंद के स्वयंसिद्ध (ZFC) के साथ एक रूढ़िवादी विस्तार है।
• परिभाषाओं द्वारा विस्तार रूढ़िवादी हैं।
• अप्रतिबंधित विधेय या कार्य प्रतीकों द्वारा विस्तार रूढ़िवादी हैं।
• मैं₁ (अंकगणितीय पदानुक्रम के लिए केवल प्रेरण के साथ पीनो अंकगणितीय का एक उपप्रणाली। Σ⁰<उप शैली = हाशिये-बाएँ:-0.65em >1</उप>-सूत्र) एक Π है⁰₂- आदिम पुनरावर्ती अंकगणित (PRA) का रूढ़िवादी विस्तार।
• ZFC एक विश्लेषणात्मक पदानुक्रम है|Σ¹₃-निरपेक्षता (गणितीय तर्क) द्वारा ZF का रूढ़िवादी विस्तार| शोएनफील्ड की निरपेक्षता प्रमेय।
• सातत्य परिकल्पना के साथ ZFC एक Π है²<उप शैली = मार्जिन-बाएं: -0.65em> 1</उप> - ZFC का रूढ़िवादी विस्तार।

मॉडल-सैद्धांतिक रूढ़िवादी विस्तार

मॉडल सिद्धांत | मॉडल-सैद्धांतिक साधनों के साथ, एक मजबूत धारणा प्राप्त होती है: एक विस्तार $T_{2}$ एक सिद्धांत का $T_{1}$ मॉडल-सैद्धांतिक रूप से रूढ़िवादी है अगर $T_{1}\subseteq T_{2}$ और का हर मॉडल $T_{1}$ के मॉडल में विस्तारित किया जा सकता है $T_{2}$. उपरोक्त अर्थ में प्रत्येक मॉडल-सैद्धांतिक रूढ़िवादी विस्तार भी एक (सबूत-सैद्धांतिक) रूढ़िवादी विस्तार है। प्रूफ थ्योरिटिक की तुलना में मॉडल थ्योरिटिक धारणा का यह फायदा है कि यह हाथ में ली गई भाषा पर इतना अधिक निर्भर नहीं करती है; दूसरी ओर, आमतौर पर मॉडल सैद्धांतिक रूढ़िवाद स्थापित करना कठिन होता है।

यह भी देखें

• परिभाषाओं द्वारा विस्तार
• नए स्थिरांक और फ़ंक्शन नामों द्वारा विस्तार

बाहरी संबंध

• The importance of conservative extensions for the foundations of mathematics