भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित)

For quotient associative algebras over a ring, see quotient ring.

गणित में, एक भागफल बीजगणित एक सर्वांगसम संबंध का उपयोग करते हुए एक बीजगणितीय संरचना के तत्वों के विभाजन का परिणाम है। भागफल बीजगणित को कारक बीजगणित भी कहा जाता है। यहाँ, सर्वांगसमता संबंध एक तुल्यता संबंध होना चाहिए जो नीचे वर्णित औपचारिक अर्थों में बीजगणित के सभी संक्रियाओं (गणित) के साथ अतिरिक्त रूप से संगत हो। इसके तुल्यता वर्ग दी गई बीजगणितीय संरचना के तत्वों को विभाजित करते हैं। भागफल बीजगणित में ये वर्ग इसके तत्व हैं, और वर्गों को बीजगणितीय संरचना देने के लिए संगतता स्थितियों का उपयोग किया जाता है। भागफल बीजगणित सार का विचार एक आम धारणा में अंगूठी सिद्धांत के भागफल के छल्ले की भागफल संरचना, समूह सिद्धांत के भागफल समूह, रैखिक बीजगणित के भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) और एक सामान्य ढांचे में प्रतिनिधित्व सिद्धांत के भागफल मॉड्यूल का विचार है।

संगत संबंध

माना A बीजगणित के अवयवों का समुच्चय है ${\mathcal {A}}$, और E को सेट A पर एक तुल्यता संबंध होने दें। संबंध E को एक n-ary ऑपरेशन f के साथ संगत (या प्रतिस्थापन संपत्ति के संबंध में) कहा जाता है, यदि $(a_{i},\;b_{i})\in E$ के लिए $1\leq i\leq n$ तात्पर्य $(f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),f(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}))\in E$ किसी के लिए $a_{i},\;b_{i}\in A$ साथ $1\leq i\leq n$. एक बीजगणित के सभी कार्यों के साथ संगत एक तुल्यता संबंध को इस बीजगणित के संबंध में सर्वांगसमता कहा जाता है।

भागफल बीजगणित और समरूपता

समुच्चय A में कोई तुल्यता संबंध E इस समुच्चय को तुल्यता वर्ग में विभाजित करता है। इन तुल्यता वर्गों के समुच्चय को आमतौर पर भागफल समुच्चय कहा जाता है, और इसे A/E द्वारा निरूपित किया जाता है। एक बीजगणित के लिए ${\mathcal {A}}$, ए/ई के तत्वों पर प्रेरित संचालन को परिभाषित करना सीधा है यदि ई एक सर्वांगसमता है। विशेष रूप से, किसी भी ऑपरेशन के लिए $f_{i}^{\mathcal {A}}$ दया की $n_{i}$ में ${\mathcal {A}}$ (जहां सुपरस्क्रिप्ट केवल यह दर्शाता है कि यह एक ऑपरेशन है ${\mathcal {A}}$, और सबस्क्रिप्ट $i\in I$ में कार्यों की गणना करता है ${\mathcal {A}}$ और उनकी arities) परिभाषित करते हैं $f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}:(A/E)^{n_{i}}\to A/E$ जैसा $f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}([a_{1}]_{E},\ldots ,[a_{n_{i}}]_{E})=[f_{i}^{\mathcal {A}}(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})]_{E}$, कहाँ $[x]_{E}\in A/E$ के समकक्ष वर्ग को दर्शाता है $x\in A$ ई (एक्स मॉड्यूलो ई) द्वारा उत्पन्न।

एक बीजगणित के लिए ${\mathcal {A}}=(A,(f_{i}^{\mathcal {A}})_{i\in I})$पर सर्वांगसमता दी है ${\mathcal {A}}$, बीजगणित ${\mathcal {A}}/E=(A/E,(f_{i}^{{\mathcal {A}}/E})_{i\in I})$ का भागफल बीजगणित (या कारक बीजगणित) कहा जाता है ${\mathcal {A}}$ मोडुलो ई। से एक प्राकृतिक समरूपता है ${\mathcal {A}}$ को ${\mathcal {A}}/E$ प्रत्येक तत्व को उसके तुल्यता वर्ग में मैप करना। वास्तव में, प्रत्येक समरूपता h समरूपता के कर्नेल (बीजगणित) #सार्वभौमिक बीजगणित के माध्यम से एक सर्वांगसमता संबंध निर्धारित करता है, $\mathop {\mathrm {ker} } \,h=\{(a,a')\in A^{2}\,|\,h(a)=h(a')\}\subseteq A^{2}$.

एक बीजगणित दिया ${\mathcal {A}}$, एक समरूपता h इस प्रकार दो बीजगणित समरूपता को परिभाषित करता है ${\mathcal {A}}$, छवि (गणित) h(${\mathcal {A}}$) और ${\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h$ दोनों समरूपी हैं, एक परिणाम जिसे समरूपी छवि प्रमेय के रूप में जाना जाता है या सार्वभौम बीजगणित के लिए समरूपता प्रमेय#प्रथम समाकृतिकता प्रमेय 4 के रूप में जाना जाता है। औपचारिक रूप से, चलो $h:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ एक विशेषण समरूपता हो। फिर, वहाँ से एक अद्वितीय समरूपता जी मौजूद है ${\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h$ पर ${\mathcal {B}}$ ऐसा है कि जी कार्य संरचना के साथ प्रेरित प्राकृतिक समरूपता के साथ $\mathop {\mathrm {ker} } \,h$ एच के बराबर

सर्वांगसम जाली

प्रत्येक बीजगणित के लिए ${\mathcal {A}}$ सेट ए पर, ए पर पहचान संबंध, और $A\times A$ तुच्छ संगति हैं। जिस बीजगणित में कोई अन्य सर्वांगसमता न हो, उसे सरल कहा जाता है।

होने देना $\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})$ बीजगणित पर सर्वांगसमताओं का समुच्चय हो ${\mathcal {A}}$. क्योंकि सर्वांगसमता चौराहे के नीचे बंद हैं, हम एक मीट (गणित) को परिभाषित कर सकते हैं: $\wedge :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})$ केवल सर्वांगसमताओं के प्रतिच्छेदन को लेकर $E_{1}\wedge E_{2}=E_{1}\cap E_{2}$.

दूसरी ओर, संघ के तहत बधाई बंद नहीं होती है। हालांकि, हम निश्चित बीजगणित के संबंध में किसी भी द्विआधारी संबंध ई के क्लोजर ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं ${\mathcal {A}}$, जैसे कि यह एक सर्वांगसमता है, निम्नलिखित तरीके से: $\langle E\rangle _{\mathcal {A}}=\bigcap \{F\in \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\mid E\subseteq F\}$. ध्यान दें कि एक द्विआधारी संबंध का समापन एक सर्वांगसमता है और इस प्रकार इसमें संचालन पर निर्भर करता है ${\mathcal {A}}$, न केवल कैरियर सेट पर। अब परिभाषित करें $\vee :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})$ जैसा $E_{1}\vee E_{2}=\langle E_{1}\cup E_{2}\rangle _{\mathcal {A}}$.

प्रत्येक बीजगणित के लिए ${\mathcal {A}}$, $(\mathrm {Con} ({\mathcal {A}}),\wedge ,\vee )$ ऊपर परिभाषित दो संक्रियाओं के साथ एक जालक (क्रम) बनता है, जिसे सर्वांगसमता जालक कहते हैं ${\mathcal {A}}$.

माल्टसेव की स्थिति

यदि दो सर्वांगसमता संक्रिया के रूप में संबंधों की संरचना के साथ परिणत (कम्यूट) होती है, अर्थात $\alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha$, तो उनका जुड़ाव (सर्वांगसम जाली में) उनकी रचना के बराबर है: $\alpha \circ \beta =\alpha \vee \beta$. एक बीजगणित को सर्वांगसमता क्रमपरिवर्तनीय कहा जाता है यदि इसकी सर्वांगसमताओं का प्रत्येक युग्म क्रमपरिवर्तन करता है; इसी तरह एक विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) को सर्वांगसमता-परिवर्तनीय कहा जाता है यदि इसके सभी सदस्य हैं सर्वांगसमता-परिवर्तनीय बीजगणित।

1954 में, अनातोली माल्टसेव ने सर्वांगसमता-परिवर्तनीय किस्मों के निम्नलिखित लक्षण वर्णन की स्थापना की: एक विविधता सर्वांगसमता अनुज्ञेय है यदि और केवल यदि कोई त्रिगुणात्मक शब्द मौजूद है q(x, y, z) ऐसा है कि q(x, y, y) ≈ x ≈ q(y, y, x); इसे माल्टसेव शब्द कहा जाता है और इस गुण वाली किस्मों को माल्टसेव किस्में कहा जाता है। माल्टसेव का लक्षण वर्णन बड़ी संख्या में समूहों में समान परिणामों की व्याख्या करता है (ले q = xy⁻¹z), अंगूठियां, अर्धसमूह (ले q = (x / (y \ y))(y \ z)), पूरक जालक, हेटिंग बीजगणित आदि। इसके अलावा, प्रत्येक सर्वांगसमता-परिवर्तनीय बीजगणित सर्वांगसमता-मॉड्यूलर है, अर्थात इसकी सर्वांगसमता की जाली मॉड्यूलर जाली भी है; हालांकि इसका विलोम सत्य नहीं है।

माल्टसेव के परिणाम के बाद, अन्य शोधकर्ताओं ने माल्टसेव के समान लेकिन अन्य प्रकार के गुणों के लिए समान स्थितियों के आधार पर लक्षण वर्णन पाया। 1967 में बर्जनी जॉनसन ने सर्वांगसम जाली वाली किस्मों के लिए जोन्सन शब्द की खोज की जो कि वितरणात्मक हैं। (इस प्रकार सर्वांगसमता-वितरणात्मक किस्में कहलाती हैं), जबकि 1969 में एलन डे ने समरूप जाली वाली किस्मों के लिए ऐसा ही किया जो मॉड्यूलर हैं। सामान्यतया, ऐसी स्थितियों को माल्टसेव स्थितियाँ कहा जाता है।

अनुसंधान की इस पंक्ति ने माल्टसेव से जुड़ी स्थितियों को उत्पन्न करने के लिए पिक्स्ले-विल एल्गोरिथम का नेतृत्व किया सर्वांगसम पहचान के साथ।

यह भी देखें

• भागफल की अंगूठी
• सर्वांगसमता जालक समस्या
• उपसमूहों की जाली

संदर्भ

• Klaus Denecke; Shelly L. Wismath (2009). Universal algebra and coalgebra. World Scientific. pp. 14–17. ISBN 978-981-283-745-5.
• Purna Chandra Biswal (2005). Discrete mathematics and graph theory. PHI Learning Pvt. Ltd. p. 215. ISBN 978-81-203-2721-4.
• Clifford Bergman (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. pp. 122–124, 137 (Maltsev varieties). ISBN 978-1-4398-5129-6.