वैश्विक विकल्प अवलम्बित

गणित में, विशेष रूप से क्लास (सेट थ्योरी) में, वैश्विक पसंद का स्वयंसिद्ध पसंद के स्वयंसिद्ध का एक मजबूत रूप है जो सेट (गणित) के उचित वर्गों के साथ-साथ सेट के सेट पर भी लागू होता है। अनौपचारिक रूप से यह बताता है कि एक साथ प्रत्येक खाली सेट | गैर-खाली सेट से एक तत्व चुन सकते हैं।

कथन

वैश्विक पसंद का स्वयंसिद्ध बताता है कि एक चॉइस फ़ंक्शन # बॉरबाकी ताऊ फ़ंक्शन τ है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक गैर-खाली सेट z के लिए, τ(z) z का एक तत्व है।

वैश्विक पसंद के स्वयंसिद्ध को सीधे ZFC की भाषा में नहीं कहा जा सकता है (अर्नेस्ट ज़र्मेलो सेट थ्योरी विथ द एक्सिओम ऑफ़ चॉइस), क्योंकि च्वाइस फंक्शन τ एक उचित वर्ग है और ZFC में कोई भी कक्षाओं की मात्रा निर्धारित नहीं कर सकता है। इसे ZFC की भाषा में एक नया फ़ंक्शन प्रतीक τ जोड़कर कहा जा सकता है, संपत्ति के साथ कि τ एक वैश्विक पसंद फ़ंक्शन है। यह ZFC का एक रूढ़िवादी विस्तार है: इस विस्तारित सिद्धांत का प्रत्येक सिद्ध कथन जो ZFC की भाषा में कहा जा सकता है, ZFC में पहले से ही सिद्ध है। (Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973, p.72). वैकल्पिक रूप से, कर्ट गोडेल | गोडेल ने दिखाया कि निर्माण के स्वयंसिद्ध को देखते हुए एक स्पष्ट (हालांकि कुछ जटिल) विकल्प फ़ंक्शन τ को ZFC की भाषा में लिखा जा सकता है, इसलिए कुछ अर्थों में निर्माण क्षमता का स्वयंसिद्ध वैश्विक विकल्प (वास्तव में, (ZFC) साबित करता है कि) यूनरी फ़ंक्शन प्रतीक τ द्वारा विस्तारित भाषा में, निर्माण के स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि यदि τ को स्पष्ट रूप से निश्चित फ़ंक्शन कहा जाता है, तो यह τ एक वैश्विक विकल्प फ़ंक्शन है। और फिर वैश्विक विकल्प नैतिक रूप से, τ को एक गवाह के रूप में रखता है ( अंक शास्त्र))।

वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी (NBG) और मोर्स-केली सेट थ्योरी की भाषा में, वैश्विक पसंद के स्वयंसिद्ध को सीधे कहा जा सकता है (Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973, p.133), और कई अन्य बयानों के बराबर है:

• गैर-खाली सेटों के प्रत्येक वर्ग में एक विकल्प कार्य होता है।
• V \ {∅} का एक पसंद समारोह है (जहाँ V वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड है)।
• V का सुक्रम है।
• V और सभी क्रमिक संख्याओं के वर्ग के बीच एक आक्षेप है।

वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत में, वैश्विक पसंद 'सेट' (उचित वर्ग नहीं) के बारे में कोई परिणाम नहीं जोड़ता है, जो पसंद के सामान्य स्वयंसिद्ध से निकाला जा सकता है।

वैश्विक पसंद आकार की सीमा के स्वयंसिद्ध का परिणाम है।

संदर्भ

• Fraenkel, Abraham A.; Bar-Hillel, Yehoshua; Levy, Azriel (1973), Foundations of set theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 67 (Second revised ed.), Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0720422702, MR 0345816
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• John L. Kelley; General Topology; ISBN 0-387-90125-6