सिग्नेचर (तर्क)

तर्कशास्त्र में, विशेष रूप से गणितीय तर्क में, चिह्नक औपचारिक भाषा के गैर-तार्किक प्रतीकों को सूचीबद्ध करता है और उनका वर्णन करता है। सार्वभौमिक बीजगणित में, चिह्नक उन कार्यों को सूचीबद्ध करता है जो एक बीजगणितीय संरचना की विशेषता बताते हैं। प्रतिरूप सिद्धांत में, दोनों उद्देश्यों के लिए चिह्नक का उपयोग किया जाता है। तर्क के अधिक दार्शनिक उपचारों में उन्हें कदाचित ही कभी स्पष्ट किया जाता है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक (एकल-क्रमबद्ध) चिह्नक को 4-टपल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right),$ जहाँ $S_{\operatorname {func} }$ और $S_{\operatorname {rel} }$ असंयुक्त समुच्चय (गणित) हैं जिनमें कोई अन्य बुनियादी तार्किक प्रतीक नहीं हैं, जिन्हें क्रमशः निम्न कहा जाता है

• फलन प्रतीक (उदाहरण: $+,\times ,0,1$),
• सन्दर्भ प्रतीक या विधेय (गणितीय तर्क) (उदाहरण: $\,\leq ,\,\in$),
• स्थिर प्रतीक (उदाहरण: $0,1$),

और एक प्रकार्य $\operatorname {ar} :S_{\operatorname {func} }\cup S_{\operatorname {rel} }\to \mathbb {N}$ जो हर फलन या सन्दर्भ प्रतीक को एक प्राकृतिक संख्या प्रदान करता है जिसे अरिटी कहा जाता है। एक प्रकार्य या संबंध प्रतीक $n$-आरी कहा जाता है यदि इसकी अरिटी $n$ है। कुछ लेखक एक अशक्त ($0$-आरी) फलन प्रतीक को स्थिर प्रतीक के रूप में परिभाषित करते हैं, अन्यथा निरंतर प्रतीकों को अलग से परिभाषित किया जाता है।

बिना फलन प्रतीक वाले चिह्नक को 'सन्दर्भ प्रतीक' कहा जाता है, और बिना संबंध प्रतीकों वाले चिह्नक को बीजगणितीय चिह्नक कहा जाता है. संकुचित चिह्नक एक चिह्नक ऐसा है $S_{\operatorname {func} }$ और $S_{\operatorname {rel} }$ परिमित समुच्चय हैं। अधिक सामान्यतः, एक चिह्नक $\sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right)$ की प्रमुखता $|\sigma |=\left|S_{\operatorname {func} }\right|+\left|S_{\operatorname {rel} }\right|+\left|S_{\operatorname {const} }\right|$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

हस्ताक्षर की भाषा तार्किक प्रणाली में प्रतीकों के साथ उस चिह्नक में प्रतीकों से निर्मित सभी अच्छी तरह से गठित वाक्यों का सम्मुच्चय है।

अन्य सम्मेलन

सार्वभौमिक बीजगणित में शब्द प्रकार या सादृश्य प्रकार को प्रायः चिह्नक के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है। प्रतिरूप सिद्धांत में, एक चिह्नक $\sigma$ प्रायः शब्दकोश, या प्रथम-क्रम की भाषा कहा जाता है| (प्रथम-क्रम) भाषा $L$ से पहचाना जाता है जिसके लिए यह गैर-तार्किक प्रतीक प्रदान करता है। हालांकि, भाषा की प्रमुखता $L$ हमेशा अनंत रहेगा; यदि $\sigma$ तब परिमित है तो $|L|$ $\aleph _{0}$ होगा।

जैसा कि औपचारिक परिभाषा रोजमर्रा के उपयोग के लिए असुविधाजनक है, एक विशिष्ट चिह्नक की परिभाषा को प्रायः अनौपचारिक तरीके से संक्षिप्त किया जाता है, जैसे:

एबेलियन समूहों के लिए $\sigma =(+,-,0)$ मानक चिह्नक है जहाँ $-$ अंगीय प्रचालक है।

कभी-कभी बीजगणितीय चिह्नक को सिर्फ एक सूची के रूप में माना जाता है, जैसा कि:

एबेलियन समूहों के लिए $\sigma =(2,1,0)$ समानता प्रकार है औपचारिक रूप से यह चिह्नक के फलन प्रतीक को $f_{0}$ (जो युग्मक है), $f_{1}$ (जो एकात्मक है) और $f_{2}$ (जो निरर्थक है) कुछ इस तरह परिभाषित करेगा, लेकिन वास्तविकता में इस सम्मेलन के संबंध में भी सामान्य नामों का उपयोग किया जाता है।

गणितीय तर्क में, बहुत बार प्रतीकों को शून्य होने की अनुमति नहीं होती है, ताकि निरंतर प्रतीकों को अशक्त कार्य प्रतीकों के स्थान पर अलग से व्यवहार किया जाना चाहिए। वे $S_{\operatorname {func} }$ से एक समुच्चय $S_{\operatorname {const} }$ असंयुक्त बनाते हैं, जिस पर अरिटी कार्य $\operatorname {ar}$ परिभाषित नहीं है। हालांकि, यह केवल जटिल स्तिथि में कार्य करता है, विशेष रूप से एक सूत्र की संरचना पर प्रेरण द्वारा प्रमाण में, जहां एक अतिरिक्त स्तिथि पर विचार किया जाना चाहिए। कोई भी अशक्त संबंध प्रतीक, जिसे ऐसी परिभाषा के तहत भी अनुमति नहीं है, एकल संबंध प्रतीक द्वारा वाक्य के साथ अनुकरण किया जा सकता है जो यह व्यक्त करता है कि इसका मान सभी तत्वों के लिए समान है। यह अनुवाद केवल खाली संरचनाओं के लिए विफल रहता है (जो प्रायः सम्मेलन द्वारा बहिष्कृत होते हैं)। यदि अशक्त प्रतीकों की अनुमति है, तो प्रस्तावपरक तर्क का प्रत्येक सूत्र प्रथम-क्रम तर्क का भी एक सूत्र है।

अनंत चिह्नक उपयोग के लिए उदाहरण $S_{\operatorname {func} }=\{+\}\cup \left\{f_{a}:a\in F\right\}$ और $S_{\operatorname {rel} }=\{=\}$ अनंत अदिश क्षेत्र पर सदिश स्थान $F$ के बारे में व्यंजकों और समीकरणों को औपचारिक रूप देने के लिए है। जहाँ प्रत्येक $f_{a}$ अदिश गुणन की एकात्मक संक्रिया को $a$ द्वारा निरूपित करता है। इस तरह, चिह्नक और तर्क को एकल-क्रमबद्ध किया जा सकता है, जिसमें सदिश ही क्रमबद्ध होते हैं।

तर्क और बीजगणित में चिह्नकों का प्रयोग

प्रथम-क्रम तर्क के संदर्भ में, चिह्नक में प्रतीकों को गैर-तार्किक प्रतीकों के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि तार्किक प्रतीकों के साथ मिलकर वे अंतर्निहित वर्णमाला बनाते हैं, जिस पर दो औपचारिक भाषाओं को अनिवार्य रूप से परिभाषित किया जाता है: चिह्नक और चिह्नक के ऊपर (सुगठित) सूत्रों का सम्मुच्चय है।

संरचना (गणितीय तर्क) में, व्याख्या फलन और संबंध प्रतीकों को गणितीय वस्तुओं से जोड़ती है जो उनके नामों को सही ठहराते हैं: एक की व्याख्या $n$-एरी फलन प्रतीक $f$ एक संरचना $\mathbf {A}$ में कार्यछेत्र $A$ के साथ एक प्रकार्य $f^{\mathbf {A} }:A^{n}\to A$ है, और और $n$-एरी संबंध प्रतीक की व्याख्या एक संबंध $R^{\mathbf {A} }\subseteq A^{n}$ है। जहाँ $A^{n}=A\times A\times \cdots \times A$ $n$-गुना कार्तीय कार्यक्षेत्र का उत्पाद $A$ खुद के साथ दर्शाता है, और इसी तरह $f$ वस्तुत: एक $n$-एरी फलन, और $R$ एक $n$-एरी संबंध है।

बहु-वर्गीकृत चिह्नक

बहु-क्रमबद्ध किए गए तर्क और संरचना के लिए (गणितीय तर्क) बहु-क्रमबद्ध किए गए स्वरूप चिह्नक को क्रमबद्ध के बारे में जानकारी को कूटलेखन करना चाहिए। ऐसा करने का सबसे सीधा तरीका प्रतीक प्रकार है जो सामान्यीकृत धर्मार्थियों की भूमिका निभाते हैं।

प्रतीक प्रकार

मान लीजिये कि $S$ एक समुच्चय (प्रकार का) है जिसमें प्रतीक $\times$ या $\to$ नहीं हैं

$S$ के ऊपर के प्रतीक प्रकार वर्णमाला $S\cup \{\times ,\to \}$ के कुछ निश्चित शब्द हैं: संबंधपरक प्रतीक प्रकार $s_{1}\times \cdots \times s_{n},$ और कार्यात्मक प्रतीक प्रकार $s_{1}\times \cdots \times s_{n}\to s^{\prime },$ गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए $n$ और $s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n},s^{\prime }\in S.$($n=0$ के लिए, व्यंजक $s_{1}\times \cdots \times s_{n}$ खाली शब्द को दर्शाता है।)

चिह्नक

निम्न को मिलाकर चिह्नक (बहु-क्रमबद्ध) तिगुना $(S,P,\operatorname {type} )$ है

• एक समुच्चय $S$ प्रकार,
• प्रतीकों का एक समुच्चय $P$, और
• एक मानचित्र प्रकार जो $P$ में प्रत्येक प्रतीक को $S$ के ऊपर एक प्रतीक प्रकार से जोड़ता है।

यह भी देखें

• शब्द बीजगणित – Freely generated algebraic structure over a given signature

संदर्भ

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. (1981). A Course in Universal Algebra. Springer. ISBN 3-540-90578-2. Free online edition.
• Hodges, Wilfrid (1997). A Shorter Model Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58713-1.

बाहरी संबंध

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Model theory"—by Wilfred Hodges.
• PlanetMath: Entry "Signature" describes the concept for the case when no sorts are introduced.
• Baillie, Jean, "An Introduction to the Algebraic Specification of Abstract Data Types."