तिरछी रेखाएँ

आयताकार समांतर चतुर्भुज। खंड AD के माध्यम से रेखा और खंड B के माध्यम से रेखा₁B तिरछी रेखाएँ हैं क्योंकि वे एक ही तल में नहीं हैं।

[[त्रि-आयामी ज्यामिति]] में, तिरछी रेखाएँ दो रेखाएँ (ज्यामिति) होती हैं जो रेखा-रेखा प्रतिच्छेदन नहीं करती हैं और समानांतर (ज्यामिति) नहीं होती हैं। तिरछी रेखाओं की एक जोड़ी का एक सरल उदाहरण एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के विपरीत किनारों से होकर जाने वाली रेखाओं की जोड़ी है। दो रेखाएँ जो एक ही तल में स्थित हैं, या तो एक दूसरे को काटती होंगी या समानांतर होंगी, इसलिए तिरछी रेखाएँ केवल तीन या अधिक आयामों में मौजूद हो सकती हैं। दो रेखाएँ टेढ़ी हैं यदि और केवल यदि वे समतलीय नहीं हैं।

सामान्य स्थिति

यदि एक इकाई घन के भीतर यादृच्छिक समान वितरण (निरंतर) पर चार बिंदु चुने जाते हैं, तो वे लगभग निश्चित रूप से तिरछी रेखाओं की एक जोड़ी को परिभाषित करेंगे। पहले तीन बिंदुओं को चुने जाने के बाद, चौथा बिंदु एक गैर-तिरछी रेखा को परिभाषित करेगा यदि, और केवल अगर, यह पहले तीन बिंदुओं के साथ समतलीय है। हालाँकि, पहले तीन बिंदुओं के माध्यम से विमान घन के माप शून्य का एक सबसेट बनाता है, और इस विमान पर चौथा बिंदु होने की संभावना शून्य है। यदि ऐसा नहीं होता है, तो बिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखाएं टेढ़ी हो जाएंगी।

इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किन्हीं भी दो समानांतर या प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक बहुत छोटा क्षोभ लगभग निश्चित रूप से उन्हें तिरछी रेखाओं में बदल देगा। इसलिए, सामान्य स्थिति में कोई भी चार बिंदु हमेशा तिरछी रेखाएँ बनाते हैं।

इस अर्थ में, तिरछी रेखाएँ सामान्य स्थिति हैं, और समानांतर या प्रतिच्छेदी रेखाएँ विशेष स्थितियाँ हैं।

सूत्र

Further information: Line–line intersection § Formulas

तिरछापन के लिए परीक्षण

यदि तिरछी रेखाओं की एक जोड़ी में प्रत्येक रेखा को दो बिंदुओं (ज्यामिति) द्वारा परिभाषित किया जाता है जिससे वह गुजरती है, तो ये चार बिंदु समतलीय नहीं होने चाहिए, इसलिए वे गैर-शून्य आयतन के चतुर्पाश्वीय के शीर्ष (ज्यामिति) होने चाहिए। इसके विपरीत, शून्येतर आयतन के चतुष्फलक को परिभाषित करने वाले बिंदुओं के कोई भी दो युग्म तिरछी रेखाओं के एक युग्म को भी परिभाषित करते हैं। इसलिए, यह परीक्षण कि क्या दो जोड़े बिंदु तिरछी रेखाओं को परिभाषित करते हैं, एक चतुष्फलक के आयतन के सूत्र को उसके चार शीर्षों के संदर्भ में लागू करना है। 1×3 वेक्टर के रूप में एक बिंदु को नकारना a जिसके तीन तत्व बिंदु के तीन समन्वय मान हैं, और इसी तरह निरूपित करते हैं b, c, और d अन्य बिंदुओं के लिए, हम जांच कर सकते हैं कि रेखा के माध्यम से है या नहीं a और b रेखा के माध्यम से तिरछा है c और d यह देखकर कि क्या टेट्राहेड्रॉन आयतन सूत्र गैर-शून्य परिणाम देता है:

$V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{matrix}}\right]\right|.$

निकटतम बिंदु

See also: Line–line intersection § Nearest points to skew lines

See also: Triangulation (computer vision) § Mid-point method

वैक्टर के रूप में दो पंक्तियों को व्यक्त करना:

${\text{Line 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}}$

${\text{Line 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}}$

का क्रॉस उत्पाद $\mathbf {d_{1}}$ और $\mathbf {d_{2}}$ रेखाओं के लंबवत है।

$\mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}}$

लाइन 2 के साथ अनुवाद द्वारा गठित विमान $\mathbf {n}$ बिंदु शामिल है $\mathbf {p_{2}}$ और लंबवत है $\mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n}$.

इसलिए, उपर्युक्त समतल के साथ रेखा 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु, जो रेखा 1 पर भी बिंदु है जो रेखा 2 के निकटतम है, द्वारा दिया गया है

$\mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}}$

इसी प्रकार, रेखा 2 पर रेखा 1 के निकटतम बिंदु द्वारा दिया गया है (जहाँ $\mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n}$ )

$\mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}}$

दूरी

निकटतम अंक $\mathbf {c_{1}}$ और $\mathbf {c_{2}}$ रेखा 1 और रेखा 2 को मिलाने वाला सबसे छोटा रेखाखंड बनाएं:

$d=\Vert \mathbf {c_{1}} -\mathbf {c_{2}} \Vert .$

दो तिरछी रेखाओं में निकटतम बिंदुओं के बीच की दूरी को अन्य सदिशों का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है:

$\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;$

$\mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .$

यहाँ 1×3 वेक्टर x विशेष बिंदु के माध्यम से रेखा पर एक मनमानी बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है a साथ b रेखा की दिशा और वास्तविक संख्या के मान का प्रतिनिधित्व करता है $\lambda$ यह निर्धारित करना कि बिंदु रेखा पर कहाँ है, और इसी तरह मनमाने बिंदु के लिए y विशेष बिंदु के माध्यम से लाइन पर c दिशा में d.

इकाई वेक्टर के रूप में बी और डी का क्रॉस उत्पाद लाइनों के लंबवत है

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {d} |}}$

रेखाओं के बीच लंबवत दूरी तब है

$d=|\mathbf {n} \cdot (\mathbf {c} -\mathbf {a} )|.$

(यदि |b × d| शून्य है तो रेखाएं समानांतर हैं और इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है)।

दो से अधिक पंक्तियाँ

See also: Line–line intersection § More than two lines

कॉन्फ़िगरेशन

तिरछी रेखाओं का विन्यास रेखाओं का एक समूह है जिसमें सभी जोड़े तिरछे होते हैं। दो विन्यासों को समस्थानिक कहा जाता है यदि एक विन्यास को लगातार दूसरे में परिवर्तित करना संभव है, परिवर्तन के दौरान अपरिवर्तनीय बनाए रखते हुए कि सभी जोड़ी रेखाएं तिरछी रहती हैं। दो रेखाओं के किन्हीं भी दो विन्यासों को आसानी से समस्थानिक के रूप में देखा जाता है, और तीन से अधिक आयामों में समान संख्या वाली रेखाओं के विन्यास हमेशा समस्थानिक होते हैं, लेकिन तीन आयामों में तीन या अधिक रेखाओं के कई गैर-समस्थानिक विन्यास मौजूद होते हैं। 'R' में n रेखाओं के गैर समस्थानिक विन्यासों की संख्या³, n = 1 से शुरू होकर, है

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (sequence A110887 in the OEIS).

रूल्ड सतहें

नेस्टेड hyperboloid पर तिरछी रेखाओं द्वारा प्रक्षेपी स्थान का एक फाइबर बंडल।

यदि कोई एक रेखा L को दूसरी रेखा M तिरछी रेखा के चारों ओर घुमाता है, लेकिन इसके लंबवत नहीं है, तो L द्वारा परिचालित क्रांति की सतह एक शीट का हाइपरबोलॉइड है। उदाहरण के लिए, चित्रण में दिखाई देने वाले तीन हाइपरबोलॉइड केंद्रीय सफेद ऊर्ध्वाधर रेखा M के चारों ओर एक रेखा L को घुमाकर इस तरह से बनाए जा सकते हैं। इस सतह के भीतर L की प्रतियां एक रेगुलस (ज्यामिति) बनाती हैं; हाइपरबोलॉइड में रेखाओं का एक दूसरा परिवार भी होता है जो M से उसी दूरी पर तिरछा होता है, जो L से समान दूरी पर होता है, लेकिन विपरीत कोण के साथ जो विपरीत रेगुलस बनाता है। दो रेगुली हाइपरबोलॉइड को एक शासित सतह के रूप में प्रदर्शित करते हैं।

इस शासित सतह का एक परिबद्ध परिवर्तन एक ऐसी सतह का निर्माण करता है जिसमें सामान्य रूप से L के चारों ओर L को घुमाकर निर्मित गोलाकार क्रॉस-सेक्शन के बजाय एक अण्डाकार क्रॉस-सेक्शन होता है; ऐसी सतहों को एक शीट के हाइपरबोलॉइड्स भी कहा जाता है, और फिर से परस्पर तिरछी रेखाओं के दो परिवारों द्वारा नियंत्रित किया जाता है। एक तीसरे प्रकार की शासित सतह अतिपरवलयिक परवलयज है। एक शीट के अतिपरवलयज की तरह, अतिपरवलयिक परवलयज में तिरछी रेखाओं के दो परिवार होते हैं; दो परिवारों में से प्रत्येक में रेखाएँ एक सामान्य तल के समानांतर होती हैं, हालांकि एक दूसरे के लिए नहीं। 'आर' में कोई भी तीन तिरछी रेखाएँ³ इनमें से किसी एक प्रकार की ठीक एक शासित सतह पर स्थित हैं।

गैलुची प्रमेय

यदि तीन तिरछी रेखाएं तीन अन्य तिरछी रेखाओं से मिलती हैं, और तीन के पहले सेट का अनुप्रस्थ दूसरे सेट के किसी तिर्यक रेखा से मिलता है।

उच्च आयामों में तिरछा फ्लैट

उच्च-आयामी अंतरिक्ष में, आयाम के एक फ्लैट (ज्यामिति) को के-फ्लैट के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस प्रकार, एक रेखा को 1-फ्लैट भी कहा जा सकता है।

डी-डायमेंशनल स्पेस के लिए तिरछी रेखाओं की अवधारणा को सामान्य बनाना, एक आई-फ्लैट और एक जे-फ्लैट 'तिरछा' हो सकता है यदि

i + j < d. जैसा कि 3-स्पेस में रेखाओं के साथ होता है, तिरछे फ्लैट वे होते हैं जो न तो समानांतर होते हैं और न ही एक दूसरे को काटते हैं।

एफ़िन ज्यामिति | एफ़िन डी-स्पेस में, किसी भी आयाम के दो फ्लैट समानांतर हो सकते हैं। हालाँकि, प्रक्षेपी ज्यामिति में, समानता मौजूद नहीं है; दो फ्लैटों को या तो काटना चाहिए या तिरछा होना चाहिए। होने देना I किसी आई-फ्लैट पर बिंदुओं का समुच्चय हो, और मान लीजिए J जे-फ्लैट पर बिंदुओं का समूह हो। प्रोजेक्टिव डी-स्पेस में, यदि i + j ≥ d फिर का चौराहा I और J में एक (i+j−d)-फ्लैट होना चाहिए। (ए 0-फ्लैट एक बिंदु है।)

या तो ज्यामिति में, यदि I और J के-फ्लैट पर प्रतिच्छेद करता है, के लिए k ≥ 0, फिर के अंक I ∪ J a (i+j−k)-फ्लैट निर्धारित करें।

यह भी देखें

• दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी
• पीटरसन-मॉर्ले प्रमेय

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W., "Skew Lines", MathWorld