बीजगणितीय संचालन

± & nbsp; साइन का मतलब है कि समीकरण को A + या A - साइन के साथ लिखा जा सकता है।

गणित में, एक मूल बीजगणितीय संचालन अंकगणित की सामान्य संचालनों में से कोई एक है, जिसमें जोड़, घटाव, गुणा, भाग, एक पूर्ण संख्या की घात तक उठाना, और जड़ें लेना (आंशिक घात) सम्मिलित हैं। ये संचालनएँ संख्याओं पर की जा सकती हैं, जिस स्थिति में उन्हें अधिकतर अंकगणितीय संचालनएँ कहा जाता है। वे चरों, बीजगणितीय व्यंजकों, और अधिक सामान्यतः बीजगणितीय संरचनाओं के तत्वों जैसे समूहों और क्षेत्रों पर भी इसी तरह से प्रदर्शित किए जा सकते हैं। एक बीजगणितीय संचालन को एक समुच्चय के कार्तीय घात से उसी समुच्चय के फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

बीजगणितीय संचालन शब्द का प्रयोग उन संचालनों के लिए भी किया जा सकता है जिन्हें मूल बीजगणितीय संचालनों , जैसे डॉट उत्पाद, के संयोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। गणना और गणितीय विश्लेषण में, एक बीजगणितीय संचालन का उपयोग उन संचालनों के लिए भी किया जाता है जिन्हें विशुद्ध रूप से बीजगणितीय विधियों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक या तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ घातांक एक बीजगणितीय संचालन है, लेकिन वास्तविक या जटिल घातांक के साथ सामान्य घातांक नहीं है। साथ ही, व्युत्पन्न एक ऐसी संचालन है जो बीजगणितीय नहीं है।

संकेतन (संकेत चिन्ह)

गुणन चिह्नों को आमतौर पर छोड़ दिया जाता है, और निहित किया जाता है, जब दो चरों या पदों के बीच कोई संकारक नहीं होता है, या जब एक गुणांक का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 × x² को 3x² और 2 × x × y को 2xy लिखा जाता है। कभी-कभी, गुणन चिह्नों को या तो बिंदु या केंद्र-बिंदु से बदल दिया जाता है, ताकि x × y को या तो x.y या x·y लिखा जा सके। सादा पाठ, प्रोग्रामिंग भाषाएं, और कैलकुलेटर भी गुणन चिह्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक तारक का उपयोग करते हैं, और इसे स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाना चाहिए; उदाहरण के लिए, 3x को 3 * x के रूप में लिखा जाता है।

अस्पष्ट विभाजन चिह्न (÷) का उपयोग करने के बजाय, विभाजन को आमतौर पर एक विंकुलम (vinculum), एक क्षैतिज रेखा के साथ दर्शाया जाता है, जैसा कि 3/x + 1 में है। सादे पाठ और प्रोग्रामिंग भाषाओं में, एक स्लैश (जिसे सॉलिडस भी कहा जाता है) का उपयोग किया जाता है, उदा. 3 / (x + 1)।

प्रतिपादकों को आमतौर पर सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग करके स्वरूपित किया जाता है, जैसा कि x² में है। सादे पाठ में, टीईएक्स मार्क-अप भाषा, और कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं जैसे कि MATLAB और जूलिया, कैरेट प्रतीक, ^, घातांक का प्रतिनिधित्व करती हैं, इसलिए x² को x ^ 2 के रूप में लिखा जाता है। एडीए, फोरट्रान, पर्ल, पायथन और रूबी, जैसी प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक दोहरा तारांकन चिह्न का उपयोग किया जाता है, इसलिए x² को x ** 2 के रूप में लिखा जाता है।

प्लस-माइनस साइन, ±, का उपयोग एक के रूप में लिखे गए दो भावों के लिए शॉर्टहैंड नोटेशन के रूप में किया जाता है, एक एक्सप्रेशन को प्लस साइन के साथ, दूसरे को माइनस साइन के साथ दर्शाता है।उदाहरण के लिए, y = x ± 1 दो समीकरणों y = x + 1 और y = x - 1 का प्रतिनिधित्व करता है। कभी-कभी, इसका उपयोग धनात्मक-या-ऋणात्मक पद जैसे ±x को दर्शाने के लिए किया जाता है।

अंकगणित बनाम बीजगणितीय संचालन

बीजगणितीय संचालन अंकगणितीय संचालनों की तरह ही कार्य करती हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में देखा जा सकता है।

संचालन	अंकगणित उदाहरण	बीजगणित उदाहरण	टिप्पणियाँ ≡ means "equivalent to" ≢ means "not equivalent to"
जोड़ना	$(5\times 5)+5+5+3$ इसके समतुल्य: $5^{2}+(2\times 5)+3$	$(b\times b)+b+b+a$ इसके समतुल्य: $b^{2}+2b+a$	${\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}$
घटाव	$(7\times 7)-7-5$ इसके समतुल्य: $7^{2}-7-5$	$(b\times b)-b-a$ इसके समतुल्य: $b^{2}-b-a$	${\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}$
गुणा	$3\times 5$ अथवा $3\ .\ 5$   अथवा   $3\cdot 5$ अथवा   $(3)(5)$	$a\times b$ अथवा $a.b$   अथवा   $a\cdot b$ अथवा   $ab$	$a\times a\times a$ is the same as $a^{3}$
विभाजन	$12\div 4$ अथवा   $12/4$ अथवा   ${\frac {12}{4}}$	$b\div a$ अथवा   $b/a$ अथवा   ${\frac {b}{a}}$	${\frac {a+b}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)$
घातांक	$3^{\frac {1}{2}}$   $2^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$   $b^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$ is the same as ${\sqrt {a}}$   $b^{3}$ is the same as $b\times b\times b$

नोट: अक्षरों का उपयोग $a$ और $b$ मनमाना है, और उदाहरण समान रूप से मान्य होंगे यदि $x$ और $y$ इस्तेमाल किया गया।

अंकगणित और बीजगणितीय संचालन के गुण

Property	Arithmetic Example	Algebra Example	Comments ≡ means "equivalent to" ≢ means "not equivalent to"
Commutativity	$3+5=5+3$ $3\times 5=5\times 3$	$a+b=b+a$ $a\times b=b\times a$	Addition and multiplication are commutative and associative. Subtraction and division are not: e.g. $a-b\not \equiv b-a$
Associativity	$(3+5)+7=3+(5+7)$ $(3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)$	$(a+b)+c=a+(b+c)$ $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

यह भी देखें

• बीजगणतीय अभिव्यक्ति
• बीजगणितीय कार्य
• प्राथमिक बीजगणित
• एक द्विघात अभिव्यक्ति को फैक्टर करना
• कार्रवाई के आदेश