संरचना (गणितीय तर्क)

Not to be confused with Mathematical model.

सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत में, एक संरचना में एक सेट (गणित) के साथ-साथ अंतिम और अंतिम संबंधों का संग्रह होता है जो उस पर परिभाषित होते हैं।

सार्वभौम बीजगणित उन संरचनाओं का अध्ययन करता है जो समूह (गणित), वलय (गणित), क्षेत्र (गणित) और वेक्टर रिक्त स्थान जैसी बीजगणितीय संरचनाओं का सामान्यीकरण करती हैं। सार्वभौमिक बीजगणित शब्द का प्रयोग प्रथम-क्रम_तर्क #प्रथम-क्रम_सिद्धांत,_मॉडल,_और_प्राथमिक_वर्ग|प्रथम-क्रम सिद्धांत बिना किसी संबंध प्रतीक के संरचनाओं के लिए किया जाता है। मॉडल थ्योरी का एक अलग दायरा है जिसमें अधिक मनमाना पहले क्रम का तर्क फर्स्ट-ऑर्डर_थ्योरीज़,_मॉडल्स,_और_एलिमेंटरी_क्लासेस|फर्स्ट-ऑर्डर थ्योरीज़ शामिल हैं, जिसमें समुच्चय सिद्धान्त के मॉडल जैसे गणित संरचनाओं की नींव शामिल है।

मॉडल-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से, संरचनाएं पहले-क्रम तर्क के शब्दार्थ को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाने वाली वस्तुएं हैं, cf। सिमेंटिक_थ्योरी_ऑफ_ट्रुथ#तर्स्की_स_थ्योरी_ऑफ_ट्रूथ|टार्स्की का सत्य का सिद्धांत या फर्स्ट-ऑर्डर_लॉजिक#सिमेंटिक्स।

मॉडल सिद्धांत में दिए गए सिद्धांत के लिए, एक संरचना को एक मॉडल कहा जाता है यदि यह उस सिद्धांत के परिभाषित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, हालांकि इसे कभी-कभी 'सिमेंटिक मॉडल' के रूप में असंबद्ध किया जाता है जब कोई गणितीय मॉडल की अधिक सामान्य सेटिंग में धारणा पर चर्चा करता है। . तर्कशास्त्री कभी-कभी संरचनाओं को व्याख्या (तर्क) के रूप में संदर्भित करते हैं, जबकि शब्द व्याख्या का आम तौर पर मॉडल सिद्धांत में एक अलग (हालांकि संबंधित) अर्थ होता है, व्याख्या (मॉडल सिद्धांत) देखें।

[[डेटाबेस सिद्धांत]] में, बिना किसी फ़ंक्शन वाली संरचनाओं का संबंधपरक डेटाबेस के मॉडल के रूप में, संबंधपरक मॉडल के रूप में अध्ययन किया जाता है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक संरचना को ट्रिपल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है ${\mathcal {A}}=(A,\sigma ,I)$ प्रवचन के एक डोमेन से मिलकर $A,$ एक हस्ताक्षर (तर्क) $\sigma ,$ और एक व्याख्या समारोह $I$ यह इंगित करता है कि डोमेन पर हस्ताक्षर की व्याख्या कैसे की जानी है। यह इंगित करने के लिए कि संरचना में एक विशेष हस्ताक्षर है $\sigma$ कोई इसे एक के रूप में संदर्भित कर सकता है $\sigma$-संरचना।

डोमेन

एक संरचना के प्रवचन का डोमेन एक मनमाना सेट है; इसे भी कहा जाता है underlying set संरचना की, इसकी carrier (विशेष रूप से सार्वभौमिक बीजगणित में), इसके universe (विशेषकर मॉडल थ्योरी में, cf. डोमेन ऑफ डिस्कोर्स#यूनिवर्स ऑफ डिस्कोर्स), या इसके domain of discourse. शास्त्रीय प्रथम-क्रम तर्क में, संरचना की परिभाषा खाली डोमेन को प्रतिबंधित करती है। कभी-कभी अंकन $\operatorname {dom} ({\mathcal {A}})$ या $|{\mathcal {A}}|$ के डोमेन के लिए प्रयोग किया जाता है ${\mathcal {A}},$ लेकिन अक्सर एक संरचना और उसके डोमेन (यानी, एक ही प्रतीक) के बीच कोई सांकेतिक भेद नहीं किया जाता है ${\mathcal {A}}$ संरचना और उसके डोमेन दोनों को संदर्भित करता है।)

हस्ताक्षर

Main article: Signature (logic)

हस्ताक्षर (तर्क) $\sigma =(S,\operatorname {ar} )$ एक संरचना के होते हैं:

• एक सेट $S$ फ़ंक्शन प्रतीकों और संबंध प्रतीकों के साथ
• एक समारोह $\operatorname {ar} :\ S\to \mathbb {N} _{0}$ जो प्रत्येक प्रतीक को बताता है $s$ एक प्राकृतिक संख्या $n=\operatorname {ar} (s).$ प्राकृतिक संख्या $n=\operatorname {ar} (s)$ एक प्रतीक का $s$ की आरती कहलाती है $s$ क्योंकि यह व्याख्या की योग्यता है का $s.$

चूंकि बीजगणित में उत्पन्न होने वाले हस्ताक्षर में अक्सर केवल फ़ंक्शन प्रतीक होते हैं, बिना संबंध प्रतीकों वाले हस्ताक्षर को बीजगणितीय हस्ताक्षर कहा जाता है। ऐसे हस्ताक्षर वाली संरचना को बीजगणित भी कहा जाता है; इसे किसी क्षेत्र पर बीजगणित की धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

व्याख्या समारोह

Not to be confused with an interpretation of a model in another model.

व्याख्या कार्य $I$ का ${\mathcal {A}}$ हस्ताक्षर के प्रतीकों को कार्य और संबंध प्रदान करता है। प्रत्येक समारोह प्रतीक $f$ दया की $n$ असाइन किया गया है$n$-एरी समारोह $f^{\mathcal {A}}=I(f)$ डोमेन पर। प्रत्येक संबंध प्रतीक $R$ दया की $n$ एक सौंपा गया है $n$-आर्य संबंध $R^{\mathcal {A}}=I(R)\subseteq A^{\operatorname {ar(R)} }$ डोमेन पर। एक शून्य ($=\,0$-आरी) फ़ंक्शन प्रतीक $c$ एक स्थिर प्रतीक कहा जाता है, क्योंकि इसकी व्याख्या $I(c)$ डोमेन के एक स्थिर तत्व के साथ पहचाना जा सकता है।

जब एक संरचना (और इसलिए एक व्याख्या कार्य) संदर्भ द्वारा दी जाती है, तो प्रतीक के बीच कोई सांकेतिक भेद नहीं किया जाता है $s$ और इसकी व्याख्या $I(s).$ उदाहरण के लिए, अगर $f$ का एक बाइनरी फ़ंक्शन प्रतीक है ${\mathcal {A}},$ एक बस लिखता है $f:{\mathcal {A}}^{2}\to {\mathcal {A}}$ इसके बजाय $f^{\mathcal {A}}:|{\mathcal {A}}|^{2}\to |{\mathcal {A}}|.$

उदाहरण

मानक हस्ताक्षर $\sigma _{f}$ फ़ील्ड (गणित) के लिए दो बाइनरी फ़ंक्शन प्रतीक होते हैं $\mathbf {+}$ और $\mathbf {\times }$ जहां अतिरिक्त प्रतीकों को प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि एकात्मक कार्य प्रतीक $\mathbf {-}$ (विशिष्ट रूप से निर्धारित $\mathbf {+}$) और दो स्थिर प्रतीक $\mathbf {0}$ और $\mathbf {1}$ (विशिष्ट रूप से निर्धारित $\mathbf {+}$ और $\mathbf {\times }$ क्रमश)। इस प्रकार इस हस्ताक्षर के लिए एक संरचना (बीजगणित) में तत्वों का एक समूह होता है $A$ साथ में दो बाइनरी फ़ंक्शंस, जिन्हें एक यूनरी फ़ंक्शन और दो विशिष्ट तत्वों के साथ बढ़ाया जा सकता है; लेकिन इस बात की कोई आवश्यकता नहीं है कि यह किसी भी क्षेत्र के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करे। परिमेय संख्याएँ $\mathbb {Q} ,$ वास्तविक संख्याएँ $\mathbb {R}$ और जटिल संख्याएँ $\mathbb {C} ,$ किसी अन्य क्षेत्र की तरह माना जा सकता है $\sigma$-संरचना एक स्पष्ट तरीके से:

$${\begin{alignedat}{3}{\mathcal {Q}}&=(\mathbb {Q} ,\sigma _{f},I_{\mathcal {Q}})\\{\mathcal {R}}&=(\mathbb {R} ,\sigma _{f},I_{\mathcal {R}})\\{\mathcal {C}}&=(\mathbb {C} ,\sigma _{f},I_{\mathcal {C}})\\\end{alignedat}}$$

तीनों मामलों में हमारे द्वारा दिए गए मानक हस्ताक्षर हैं

$$\sigma _{f}=(S_{f},\operatorname {ar} _{f})$$

साथ $S_{f}=\{+,\times ,-,0,1\}$ और

$${\begin{alignedat}{3}\operatorname {ar} _{f}&(+)&&=2,\\\operatorname {ar} _{f}&(\times )&&=2,\\\operatorname {ar} _{f}&(-)&&=1,\\\operatorname {ar} _{f}&(0)&&=0,\\\operatorname {ar} _{f}&(1)&&=0.\\\end{alignedat}}$$

व्याख्या कार्य $I_{\mathcal {Q}}$ है:

$I_{\mathcal {Q}}(+):\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {Q}$ परिमेय संख्याओं का जोड़ है,

$I_{\mathcal {Q}}(\times ):\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {Q}$ परिमेय संख्याओं का गुणन है,

$I_{\mathcal {Q}}(-):\mathbb {Q} \to \mathbb {Q}$ वह कार्य है जो प्रत्येक तर्कसंगत संख्या लेता है $x$ को $-x,$ और

$I_{\mathcal {Q}}(0)\in \mathbb {Q}$ संख्या है $0,$ और

$I_{\mathcal {Q}}(1)\in \mathbb {Q}$ संख्या है $1;$

और $I_{\mathcal {R}}$ और $I_{\mathcal {C}}$ समान रूप से परिभाषित हैं। इसलिए, परिमित मॉडल सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके बाधा संतुष्टि # बाधा संतुष्टि और समरूपता समस्या की जटिलता का अध्ययन किया जा सकता है।

एक अन्य अनुप्रयोग डेटाबेस सिद्धांत में है, जहां डेटाबेस का एक रिलेशनल मॉडल अनिवार्य रूप से एक रिलेशनल स्ट्रक्चर के समान होता है। यह पता चला है कि डेटाबेस पर एक संयोजन क्वेरी को डेटाबेस मॉडल के समान हस्ताक्षर में किसी अन्य संरचना द्वारा वर्णित किया जा सकता है। संबंधपरक मॉडल से क्वेरी का प्रतिनिधित्व करने वाली संरचना के लिए एक समरूपता क्वेरी के समाधान के समान ही है। इससे पता चलता है कि संयोजक क्वेरी समस्या भी समाकारिता समस्या के समतुल्य है।

संरचनाएं और प्रथम-क्रम तर्क

See also: Model theory § First-order logic, and Model theory § Definability

संरचनाओं को कभी-कभी प्रथम-क्रम संरचनाओं के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह भ्रामक है, क्योंकि उनकी परिभाषा में कुछ भी उन्हें किसी विशिष्ट तर्क से बांधता नहीं है, और वास्तव में वे शब्दार्थ वस्तुओं के रूप में उपयुक्त हैं, दोनों पहले क्रम के तर्क के बहुत सीमित अंशों के लिए जैसे कि सार्वभौमिक बीजगणित में उपयोग किया जाता है, और दूसरे क्रम के तर्क के लिए। प्रथम-क्रम तर्क और मॉडल सिद्धांत के संबंध में, संरचनाओं को अक्सर मॉडल कहा जाता है, यहां तक ​​कि प्रश्न मॉडल क्या है? कोई स्पष्ट उत्तर नहीं है।

संतुष्टि संबंध

प्रत्येक प्रथम-क्रम संरचना ${\mathcal {M}}=(M,\sigma ,I)$ संतोष सम्बन्ध है ${\mathcal {M}}\vDash \phi$ सभी सूत्रों के लिए परिभाषित $\,\phi$ की भाषा से मिलकर भाषा में ${\mathcal {M}}$ के प्रत्येक तत्व के लिए एक स्थिर प्रतीक के साथ $M,$ जिसकी व्याख्या उस तत्व के रूप में की जाती है। इस संबंध को टार्स्की की टी-स्कीमा का उपयोग करके आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है।

संरचना ${\mathcal {M}}$ एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) का एक मॉडल कहा जाता है $T$ यदि की भाषा ${\mathcal {M}}$ की भाषा के समान है $T$ और हर वाक्य में $T$ से संतुष्ट है ${\mathcal {M}}.$ इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक वलय, छल्लों की भाषा के लिए एक संरचना है जो प्रत्येक वलय के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है, और ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों का एक मॉडल सेट सिद्धांत की भाषा में एक संरचना है जो प्रत्येक ZFC स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है।

निश्चित संबंध

एक $n$-आर्य संबंध $R$ ब्रह्मांड पर (अर्थात डोमेन) $M$ संरचना का ${\mathcal {M}}$ परिभाषित करने योग्य कहा जाता है (या स्पष्ट रूप से परिभाषित करने योग्य cf. बेथ निश्चितता, या $\emptyset$-परिभाषित करने योग्य, या से मापदंडों के साथ निश्चित $\emptyset$सी एफ नीचे) यदि कोई सूत्र है $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})$ ऐसा है कि

$$R=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in M^{n}:{\mathcal {M}}\vDash \varphi (a_{1},\ldots ,a_{n})\}.$$

दूसरे शब्दों में, $R$ निश्चित है अगर और केवल अगर कोई सूत्र है $\varphi$ ऐसा है कि

$$(a_{1},\ldots ,a_{n})\in R\Leftrightarrow {\mathcal {M}}\vDash \varphi (a_{1},\ldots ,a_{n})$$

सही है।

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला विशिष्ट तत्वों की निश्चितता है। तत्व $m$ का $M$ में निश्चित है ${\mathcal {M}}$ यदि और केवल यदि कोई सूत्र है $\varphi (x)$ ऐसा है कि

$${\mathcal {M}}\vDash \forall x(x=m\leftrightarrow \varphi (x)).$$

मापदंडों के साथ निश्चितता

एक रिश्ता $R$ कहा जाता है कि मापदंडों के साथ परिभाषित किया जा सकता है (या $|{\mathcal {M}}|$-निश्चित) यदि कोई सूत्र है $\varphi$ मापदंडों के साथ से ${\mathcal {M}}$ ऐसा है कि $R$ का प्रयोग करके निश्चित किया जा सकता है $\varphi .$ एक संरचना के प्रत्येक तत्व को पैरामीटर के रूप में तत्व का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।

कुछ लेखक बिना मापदंडों के निश्चित अर्थ के लिए निश्चित का उपयोग करते हैं, जबकि अन्य लेखकों का मतलब मापदंडों के साथ निश्चित है। मोटे तौर पर, परिपाटी का अर्थ है कि बिना मापदंडों के परिभाषित किया जा सकता है, सेट सिद्धांतकारों के बीच अधिक सामान्य है, जबकि विपरीत सम्मेलन मॉडल सिद्धांतकारों के बीच अधिक सामान्य है।

निहित निश्चितता

ऊपर से याद करें कि ए $n$-आर्य संबंध $R$ ब्रह्मांड पर $M$ का ${\mathcal {M}}$ यदि कोई सूत्र है तो स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})$ ऐसा है कि

$$R=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in M^{n}:{\mathcal {M}}\vDash \varphi (a_{1},\ldots ,a_{n})\}.$$

यहाँ सूत्र $\varphi$ संबंध को परिभाषित करने के लिए प्रयोग किया जाता है $R$ के हस्ताक्षर के ऊपर होना चाहिए ${\mathcal {M}}$ इसलिए $\varphi$ उल्लेख नहीं हो सकता $R$ खुद, के बाद से $R$ के हस्ताक्षर में नहीं है ${\mathcal {M}}.$ यदि कोई सूत्र है $\varphi$ की भाषा युक्त विस्तारित भाषा में ${\mathcal {M}}$ और एक नया प्रतीक $R,$ और संबंध $R$ पर ही संबंध है ${\mathcal {M}}$ ऐसा है कि ${\mathcal {M}}\vDash \varphi ,$ तब $R$ परोक्ष रूप से परिभाषित किया जा सकता है ${\mathcal {M}}.$ बेथ निश्चितता द्वारा | बेथ की प्रमेय, प्रत्येक निहित रूप से परिभाषित संबंध स्पष्ट रूप से निश्चित है।

कई क्रमबद्ध संरचनाएं

ऊपर परिभाषित संरचनाओं को कभी-कभी कहा जाता हैone-sorted structureउन्हें अधिक सामान्य से अलग करने के लिएmany-sorted structureएस। कई-सॉर्ट की गई संरचना में डोमेन की मनमानी संख्या हो सकती है। सॉर्ट हस्ताक्षर का हिस्सा हैं, और वे विभिन्न डोमेन के लिए नामों की भूमिका निभाते हैं। हस्ताक्षर (तर्क)#अनेक-सॉर्टेड सिग्नेचर|मैनी-सॉर्टेड सिग्नेचर यह भी निर्धारित करते हैं कि किस प्रकार के कई-सॉर्टेड स्ट्रक्चर के फ़ंक्शन और संबंध परिभाषित किए जाते हैं। इसलिए, फ़ंक्शन प्रतीकों या संबंध प्रतीकों की समानताएं अधिक जटिल वस्तुएं होनी चाहिए जैसे कि प्राकृतिक संख्याओं के बजाय टुपल्स ऑफ सॉर्ट।

वेक्टर रिक्त स्थान, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित तरीके से दो क्रमबद्ध संरचनाओं के रूप में माना जा सकता है। वेक्टर रिक्त स्थान के दो क्रमबद्ध हस्ताक्षर में दो प्रकार वी (वैक्टर के लिए) और एस (स्केलर्स के लिए) और निम्नलिखित फ़ंक्शन प्रतीक शामिल हैं:

+S and ×S of arity (S, S; S). −S of arity (S; S). 0S and 1S of arity (S).

+V of arity (V, V; V). −V of arity (V; V). 0V of arity (V).

× of arity (S, V; V).

यदि V क्षेत्र F पर सदिश स्थान है, तो संबंधित दो-क्रमबद्ध संरचना ${\mathcal {V}}$ वेक्टर डोमेन के होते हैं $|{\mathcal {V}}|_{V}=V$, स्केलर डोमेन $|{\mathcal {V}}|_{S}=F$, और स्पष्ट कार्य, जैसे सदिश शून्य $0_{V}^{\mathcal {V}}=0\in |{\mathcal {V}}|_{V}$, अदिश शून्य $0_{S}^{\mathcal {V}}=0\in |{\mathcal {V}}|_{S}$, या अदिश गुणन $\times ^{\mathcal {V}}:|{\mathcal {V}}|_{S}\times |{\mathcal {V}}|_{V}\rightarrow |{\mathcal {V}}|_{V}$.

बहु-वर्गीकृत संरचनाओं को अक्सर एक सुविधाजनक उपकरण के रूप में उपयोग किया जाता है, भले ही उन्हें थोड़े प्रयास से टाला जा सके। लेकिन उन्हें शायद ही कभी एक कठोर तरीके से परिभाषित किया जाता है, क्योंकि यह सामान्यीकरण को स्पष्ट रूप से पूरा करने के लिए सीधा और थकाऊ (इसलिए अप्रतिबंधित) है।

अधिकांश गणितीय प्रयासों में, छँटाई पर अधिक ध्यान नहीं दिया जाता है। एक कई तरह का तर्क हालांकि स्वाभाविक रूप से एक प्रकार के सिद्धांत की ओर जाता है। जैसा कि बार्ट जैकब्स कहते हैं: एक तर्क हमेशा एक प्रकार के सिद्धांत पर एक तर्क होता है। बदले में यह जोर श्रेणीबद्ध तर्क की ओर ले जाता है क्योंकि एक प्रकार के सिद्धांत पर एक तर्क स्पष्ट रूप से एक (कुल) श्रेणी से मेल खाता है, तर्क को कैप्चर करना, किसी अन्य (आधार) श्रेणी पर रेशेदार श्रेणी होना, प्रकार सिद्धांत पर कब्जा करना।

अन्य सामान्यीकरण

आंशिक बीजगणित

सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत दोनों (संरचनाओं या) बीजगणित की कक्षाओं का अध्ययन करते हैं जो एक हस्ताक्षर और स्वयंसिद्धों के एक सेट द्वारा परिभाषित होते हैं। मॉडल सिद्धांत के मामले में इन स्वयंसिद्धों में पहले क्रम के वाक्यों का रूप है। सार्वभौमिक बीजगणित की औपचारिकता कहीं अधिक प्रतिबंधात्मक है; अनिवार्य रूप से यह केवल प्रथम-क्रम के वाक्यों की अनुमति देता है, जिनमें शब्दों के बीच सार्वभौमिक रूप से मात्रात्मक समीकरणों का रूप होता है, उदा। $\forall$एक्स$\forall$y (x + y = y + x)। एक परिणाम यह है कि मॉडल सिद्धांत की तुलना में सार्वभौमिक बीजगणित में एक हस्ताक्षर का चुनाव अधिक महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, समूहों का वर्ग, जिसमें हस्ताक्षर में बाइनरी फ़ंक्शन प्रतीक × और निरंतर प्रतीक 1 शामिल है, एक प्रारंभिक वर्ग है, लेकिन यह विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) नहीं है। यूनिवर्सल बीजगणित एक यूनरी फ़ंक्शन प्रतीक जोड़कर इस समस्या को हल करता है ^-1.

फील्ड्स के मामले में यह स्ट्रैटेजी सिर्फ जोड़ने के लिए काम करती है। गुणन के लिए यह विफल रहता है क्योंकि 0 में गुणक व्युत्क्रम नहीं होता है। इससे निपटने का एक तदर्थ प्रयास 0 को परिभाषित करना होगा⁻¹ = 0. (यह प्रयास विफल हो जाता है, अनिवार्य रूप से क्योंकि इस परिभाषा के साथ 0 × 0^-1 = 1 सत्य नहीं है।) इसलिए, स्वाभाविक रूप से किसी को आंशिक कार्यों की अनुमति देने के लिए प्रेरित किया जाता है, यानी ऐसे कार्य जो केवल उनके डोमेन के सबसेट पर परिभाषित होते हैं। हालाँकि, धारणाओं को सामान्य बनाने के कई स्पष्ट तरीके हैं जैसे कि सबस्ट्रक्चर, होमोमोर्फिज्म और आइडेंटिटी।

टाइप की गई भाषाओं के लिए संरचनाएं

प्रकार सिद्धांत में, कई प्रकार के चर होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का एक प्रकार होता है। प्रकारों को आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है; दिए गए दो प्रकार δ और σ का एक प्रकार σ → δ भी है जो प्रकार σ की वस्तुओं से प्रकार δ की वस्तुओं के कार्यों का प्रतिनिधित्व करता है। टाइप की गई भाषा के लिए एक संरचना (सामान्य प्रथम-क्रम शब्दार्थ में) में प्रत्येक प्रकार की वस्तुओं का एक अलग सेट शामिल होना चाहिए, और फ़ंक्शन प्रकार के लिए संरचना में उस प्रकार के प्रत्येक ऑब्जेक्ट द्वारा दर्शाए गए फ़ंक्शन के बारे में पूरी जानकारी होनी चाहिए।

उच्च-क्रम की भाषाएँ

Main article: Second-order logic

उच्च-क्रम तर्क के लिए एक से अधिक संभावित शब्दार्थ हैं, जैसा कि द्वितीय-क्रम तर्क पर लेख में चर्चा की गई है। पूर्ण उच्च-क्रम शब्दार्थ का उपयोग करते समय, एक संरचना के लिए केवल टाइप 0 की वस्तुओं के लिए एक ब्रह्मांड की आवश्यकता होती है, और टी-स्कीमा को विस्तारित किया जाता है ताकि उच्च-क्रम प्रकार पर एक क्वांटिफायर मॉडल द्वारा संतुष्ट हो और केवल अगर यह अलग-अलग हो सत्य। प्रथम-क्रम शब्दार्थ का उपयोग करते समय, प्रत्येक उच्च-क्रम प्रकार के लिए एक अतिरिक्त क्रम जोड़ा जाता है, जैसा कि कई क्रमबद्ध प्रथम क्रम भाषा के मामले में होता है।

संरचनाएं जो उचित वर्ग हैं

सेट सिद्धांत और श्रेणी सिद्धांत के अध्ययन में, कभी-कभी संरचनाओं पर विचार करना उपयोगी होता है जिसमें एक सेट के बजाय प्रवचन का डोमेन उचित वर्ग होता है। ऊपर चर्चा किए गए सेट मॉडल से अलग करने के लिए इन संरचनाओं को कभी-कभी क्लास मॉडल कहा जाता है। जब डोमेन एक उचित वर्ग है, तो प्रत्येक कार्य और संबंध प्रतीक को उचित वर्ग द्वारा भी प्रदर्शित किया जा सकता है।

बर्ट्रेंड रसेल के 'गणितीय सिद्धांत' में, संरचनाओं को उनके डोमेन के रूप में उचित वर्ग रखने की भी अनुमति थी।

यह भी देखें

• Mathematical structure

संदर्भ

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• Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg; Thomas, Wolfgang (1994), Mathematical Logic (2nd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94258-2
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• Rothmaler, Philipp (2000), Introduction to Model Theory, London: CRC Press, ISBN 978-90-5699-313-9

बाहरी संबंध

• Semantics section in Classical Logic (an entry of Stanford Encyclopedia of Philosophy)