रोमानोव्स्की बहुपद

गणित में, रोमानोव्स्की बहुपद वसेवोलॉड रोमानोव्स्की द्वारा खोजे गए वास्तविक ऑर्थोगोनल बहुपदों के तीन परिमित उपसमूहों में से एक हैं। (रोमानोव्स्की फ्रेंच ट्रांसक्रिप्शन में) सांख्यिकी में संभाव्यता वितरण कार्यों के संदर्भ में। वे एडवर्ड राउत द्वारा पेश किए गए अल्प-ज्ञात रूथ बहुपदों के एक अधिक सामान्य परिवार का एक ऑर्थोगोनल उपसमुच्चय बनाते हैं 1884 में। रोमानोव्स्की बहुपद शब्द रैपोसो द्वारा आगे रखा गया था, लेस्की की वर्गीकरण योजना में तथाकथित 'छद्म-जैकोबी बहुपद' के संदर्भ में। रोमानोव्स्की-रूथ बहुपद के रूप में उन्हें संदर्भित करने के लिए यह अधिक सुसंगत लगता है, रोमानोव्स्की-बेसेल और रोमानोव्स्की-जैकोबी के साथ सादृश्य द्वारा लेस्की द्वारा ऑर्थोगोनल बहुपद के दो अन्य सेटों के लिए उपयोग किया जाता है।

मानक शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों के कुछ विपरीत, विचाराधीन बहुपद भिन्न होते हैं, जहां तक ​​मनमाना पैरामीटर के लिए केवल उनमें से एक परिमित संख्या ओर्थोगोनल हैं, जैसा कि नीचे अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

रोमनोवस्की बहुपदों के लिए अवकल समीकरण

रोमानोव्स्की बहुपद हाइपरज्यामितीय अंतर समीकरण के निम्नलिखित संस्करण को हल करते हैं

${\begin{aligned}&s(x){R_{n}^{(\alpha ,\beta )}}''(x)+t_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x){R_{n}^{(\alpha ,\beta )}}'(x)+\lambda _{n}R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0,\\[4pt]&\qquad x\in (-\infty ,+\infty ),\quad s(x)=\left(1+x^{2}\right),\quad t_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)=2\beta x+\alpha ,\quad \lambda _{n}=-n(2\beta +n-1).\end{aligned}}$

(1)

उत्सुकता से, उन्हें गणितीय भौतिकी में विशेष कार्यों पर मानक पाठ्यपुस्तकों से हटा दिया गया है और गणित में और गणितीय साहित्य में कहीं और अपेक्षाकृत दुर्लभ उपस्थिति है। स्टर्म-लिउविल सिद्धांत हैं

$w^{(\alpha ,\beta )}(x)=\left(1+x^{2}\right)^{\beta -1}\exp \left(-\alpha \operatorname {arccot} x\right);$

(2)

वे पियर्सन के अवकल समीकरण को हल करते हैं

$[s(x)w(x)]'=t(x)w(x),\quad s(x)=1+x^{2},$

(3)

जो हाइपरजोमेट्रिक के डिफरेंशियल ऑपरेटर के स्व-आसन्न ऑपरेटर|सेल्फ-एडज्वाइंटनेस को सुनिश्चित करता है साधारण अंतर समीकरण।

के लिए α = 0 और β < 0, रोमानोव्स्की बहुपदों का वजन कार्य लोरेंत्ज़ वितरण का आकार लेता है, जहाँ संबंधित बहुपदों को कॉची बहुपदों के रूप में भी दर्शाया जाता है यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में उनके अनुप्रयोगों में। रोड्रिग्स सूत्र बहुपद निर्दिष्ट करता है R^(α,β)
_n(x) जैसा

$R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=N_{n}{\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(w^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)^{n}\right),\quad 0\leq n,$

(4)

कहाँ N_n एक सामान्यीकरण स्थिरांक है। यह स्थिरांक गुणांक से संबंधित है {{mvar|c_n}डिग्री की अवधि के } n बहुपद में R^(α,β)
_n(x) अभिव्यक्ति द्वारा

$N_{n}={\frac {(-1)^{n}n!\,c_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}\lambda _{n}^{(k)}}},\quad \lambda _{n}=-n\left({t_{n}^{(\alpha ,\beta )}}'+{\tfrac {1}{2}}(n-1)s''(x)\right),$

(5)

जिसके लिए रहता है n ≥ 1.

== रोमनोवस्की और जैकोबी == के बहुपदों के बीच संबंध Askey द्वारा दिखाए गए वास्तविक ऑर्थोगोनल बहुपदों के इस परिमित अनुक्रम को काल्पनिक तर्क के जैकोबी बहुपदों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है और इस तरह इसे अक्सर जटिल जैकोबी बहुपद कहा जाता है। अर्थात्, रोमानोव्स्की समीकरण (1) औपचारिक रूप से जैकोबी समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है,

${\begin{aligned}&\left(1-x^{2}\right){P_{n}^{(\gamma ,\delta )}}''(x)+t_{1}^{(\gamma ,\delta )}(x){P_{n}^{(\gamma ,\delta )}}'(x)+\lambda _{n}P_{n}^{(\gamma ,\delta )}(x)=0,\\[4pt]&\qquad t_{1}^{(\gamma ,\delta )}(x)=\delta -\gamma -(\gamma +\delta +2)x,\quad \lambda _{n}=n(n+\gamma +\delta +1),\quad x\in \left[-1,1\right],\end{aligned}}$

(6)

प्रतिस्थापन के माध्यम से, वास्तव में x,

$x\to ix,\quad {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\to -i{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}},\quad \gamma =\delta ^{\ast }=\beta -1+{\frac {\alpha i}{2}},$

(7)

जिस स्थिति में कोई पाता है

$R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=i^{n}P_{n}^{\left(\beta -1+{\frac {i}{2}}\alpha ,\beta -1-{\frac {i}{2}}\alpha \right)}(ix),$

(8)

(जेकोबी बहुपदों के लिए उपयुक्त रूप से चुने गए सामान्यीकरण स्थिरांक के साथ)। कुइजलर्स एट अल में दाईं ओर जटिल जैकोबी बहुपदों को (1.1) के माध्यम से परिभाषित किया गया है। (2003) जो आश्वासन देता है (8) x में वास्तविक बहुपद हैं। चूंकि उद्धृत लेखक केवल वास्तविक जैकोबी इंडेक्स के लिए गैर-हर्मिटियन (जटिल) ऑर्थोगोनलिटी स्थितियों पर चर्चा करते हैं, उनके विश्लेषण और परिभाषा के बीच ओवरलैप होता है (8) of Romanovski polynomials केवल तभी मौजूद होता है जब α = 0. हालांकि इस अजीबोगरीब मामले की जांच के लिए इस लेख की सीमाओं से परे अधिक जांच की आवश्यकता होती है। की उलटा ध्यान दें (8) के अनुसार

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(-i)^{n}R_{n}^{\left(i(\alpha -\beta ),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )+1)\right)}(-ix),$

(9)

कहाँ हैं, P^(α,β)
_n(x) एक वास्तविक जैकोबी बहुपद है और

$R_{n}^{\left(i(\alpha -\beta ),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )+1)\right)}(-ix)$ एक जटिल रोमानोव्स्की बहुपद होगा।

रोमनोवस्की बहुपदों के गुण

स्पष्ट निर्माण

वास्तव में α, β और n = 0, 1, 2, ..., एक समारोह R^(α,β)
_n(x) परिभाषित किया जा सकता समीकरण में रोड्रिग्स सूत्र द्वारा (4) जैसा

$R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\equiv {\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(w^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)^{n}\right),$

(10)

कहाँ w^(α,β) वही वजन कार्य है जैसा कि (2), और s(x) = 1 + x² हाइपरजियोमेट्रिक डिफरेंशियल इक्वेशन के दूसरे डेरिवेटिव का गुणांक है जैसा कि (1).

ध्यान दें कि हमने सामान्यीकरण स्थिरांक चुना है N_n = 1, जो बहुपद में उच्चतम डिग्री के गुणांक के विकल्प के बराबर है, जैसा कि समीकरण द्वारा दिया गया है (5). यह रूप लेता है

$c_{n}={\frac {1}{n!}}\prod _{k=0}^{n-1}{\bigl (}2\beta (n-k)+n(n-1)-k(k-1){\bigr )},\quad n\geq 1.$

(11)

यह भी ध्यान दें कि गुणांक c_n पैरामीटर पर निर्भर नहीं करता है α, लेकिन केवल पर β और, के विशेष मूल्यों के लिए β, c_n गायब हो जाता है (यानी, सभी मूल्यों के लिए

$\beta ={\frac {k(k-1)-n(n-1)}{2(n-k)}}$ कहाँ k = 0, ..., n − 1). यह अवलोकन नीचे संबोधित एक समस्या उत्पन्न करता है।

बाद के संदर्भ के लिए, हम डिग्री 0, 1 और 2 के बहुपदों को स्पष्ट रूप से लिखते हैं,

$\int _{-\infty }^{+\infty }w^{(\alpha ,\beta )}(x)R_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0$